34基本不等式

1、 北京第屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)， 會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的 弦圖設(shè)計(jì)的。 新課引入新課引入 abS 2 1 直角三角形 22 Sab 正方形ABCD 4SS 正方形ABCD直角三角形 abba2 22 A B C D E(FGH) a b 32 2 ,3 .1 1501120 mmm m ：某工廠(chǎng)建造一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋貯水池， 其容積為4800深度為如果池底每 的造價(jià)為元，池壁每的造價(jià)為元， 問(wèn)：怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？ 最低總造價(jià)為多少元？ 引例 3 x 1600 240000720Lx x 求函數(shù)最值? 22 2abab1.試比較代數(shù)式與 的大小. 22 2.abab 重要不等式：

2、如果a、bR,那么 （當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)取“=”號(hào)） 問(wèn)：在重要不等式中，a=b是a2+b2=2ab成立的- 條件？ “當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)取“=”號(hào)”的含義： 22 1 .,2.ababab當(dāng)時(shí)取等號(hào) 即a=b 22 2 .,2ababab僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 即a=b. 22 2.abab綜上所述,a=b是成立的充要條件 22 20abab 2 ab ab 2 a b ab 何時(shí)取等號(hào)？何時(shí)取等號(hào)？ 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào) 不等式成立的條件？ a0,b0 .ab 定理： a+b 如果a、b是正數(shù),那么 2 （當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)取“=”號(hào)） :, 2 ab a ba b 定義稱(chēng)為的算術(shù)平均數(shù),稱(chēng) ab

3、為的幾何平均數(shù). 兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 均值不等式 要證要證： 只要證只要證： 要證要證，只要證，只要證 要證要證，只要證，只要證 ab ba 2 abba2 02abba 0)( 2 ba 式顯然成立式顯然成立.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，時(shí)， 中的等號(hào)成立中的等號(hào)成立. 分析法：執(zhí)果索因分析法：執(zhí)果索因 ab ba 2 證明基本不等式：證明基本不等式：)0, 0(ba 22 2.abab 重要不等式： 如果a、bR,那么 （當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)取“=”號(hào)） .ab 均值不等式： a+b 如果a、b是正數(shù),那么 2 （當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)取“=”號(hào)） 注意點(diǎn)： 1.上述兩個(gè)不

4、等式成立的條件不同. 2.兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng). 3.不等式 的幾何解釋. .ab a+b a、b是正數(shù) 2 4.注意不等式的結(jié)構(gòu). 稱(chēng)該定理為和積不等式,運(yùn)用該不 等式可作和與積之間的不等變換. 1., .3,. 2 .3,. x y xy xy 例 已知都是正數(shù)，求證： 1 如果那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2 3 9 如果那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值 4 , .,. 2 .,. x y xyp xys 變式：已知都是正數(shù)： 1 如果是定值求和x+y的最小值 如果是定值 求積xy的最大值 , x yxy x+y 解：都是正數(shù)， 2 1 .xypp x+y 當(dāng)時(shí)，則 2

5、 2,xypxy 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 2xyxyp 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和有最小值 2 . 2 S xySxy當(dāng)時(shí)，則 2 , 4 S xyxy當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 2 4 S xyxy當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，積有最大值 積為定值和最小. 和為定值積最大, 反思研究: 利用均值不等式求最值要注意： “一正一正” “二定二定” “三相等三相等” 字母均要為正 和為定值或積為定值 等號(hào)應(yīng)能取到 練習(xí)練習(xí) 2 2 1 1.0 81 2. 3.38302 yxx x yx x yxxx 求下列函數(shù)的最值 1. 一正 ; 二定 ; 三相等 反思研究: 2. 均值不等式常用變式: 2abab 2 2 ab ab 課堂小結(jié)課堂小結(jié)

6、22 2.abab 1.重要不等式： 如果a、bR,那么（當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)取“=”號(hào)） .ab 均值不等式： a+b 如果a、b是正數(shù),那么 2 （當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí)取“=”號(hào)） 2. 利用均值不等式求最值要注意： 一正 ; 二定 ; 三相等 3. 均值不等式常用變式: 2abab 2 2 ab ab 變式思考變式思考 1 1.1 1 2.8302 1 3.0 yxx x yxxx yxx x 求下列函數(shù)的最值 32 2 ,3 .1150 1120 mmm m ：某工廠(chǎng)建造一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋貯水池，其容積 為4800深度為如果池底每的造價(jià)為元， 池壁每的造價(jià)為元， 問(wèn)：怎樣設(shè)計(jì)水池能使所總造價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少元？ 引例 1600 240000720Lx x 4800 ,. 3 xmm x 解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為則另一邊的長(zhǎng)度為 1600 , x x 注意到均為正且積為常數(shù) 1600 240000720 2 x x