無窮級數(shù)_習題課PPT學習教案

1、會計學1 無窮級數(shù)無窮級數(shù)_習題課習題課 常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù) 一 般 項 級 數(shù) 正 項 級 數(shù) 冪級數(shù)三角級數(shù) 收 斂 半 徑 R 泰勒展開式 函 數(shù)數(shù) 任 意 項 級 數(shù) 傅氏展開式 傅氏級數(shù)泰勒級數(shù) 0)(xRn n u 為為常常數(shù)數(shù)( ) nn uux為為函函數(shù)數(shù) 滿足狄 氏條 件 0 xx 取取 在收斂 級數(shù)與數(shù) 條件下 相互轉化 主要內容 數(shù)或函數(shù) 第1頁/共60頁 第2頁/共60頁 4.掌握冪級數(shù)的收斂半徑, 收斂區(qū)間和收斂 域的求法.了解冪級數(shù)的主要性質. 5.會求較簡單函數(shù)的冪級數(shù)展開式及和函數(shù). 6.理解傅里葉級數(shù)的收斂定理. 7.掌握函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的方法. 第3頁

2、/共60頁 1 0lim. nn n n uu 1 0lim, nn n n uu 1 1 n n 二 要點提示 常用來判定級數(shù)是發(fā)散的.切不可用來判定 由此可得:若 則級數(shù) 必發(fā)散. 若 收斂,則 級數(shù)是收斂的,例如調和級數(shù) 就是發(fā)散的. 1.級數(shù)收斂的必要條件: 第4頁/共60頁 1 1 p n n p-級數(shù) 1 1 n n 調和級數(shù) 1 n n aq 等比級數(shù) 使用比較判別法時,必須熟記一些斂散性 已知的正項級數(shù)作為“參照”級數(shù),如 第5頁/共60頁 判定一個正項級數(shù)的斂散性,常按下列順序: 0lim, n n u (4)級數(shù)收斂的定義: (3)用比較判別法. (2)用比值或根值判別法,

3、若失效. (1) 則發(fā)散. 同時考慮到級數(shù)的基本性質. 部分和數(shù)列極限是否存在. 第6頁/共60頁 3.任意項級數(shù) 萊布尼茲判別法的條件是交錯級數(shù)收斂的充分條件而不是必要條件. 當不滿足條件時,不能判定級數(shù)必發(fā)散. 第7頁/共60頁 2.若用正項級數(shù)的比值判別法判定 發(fā)散, 1 n n u 1 n n u ， 注意 對于任意項級數(shù) 若 收斂,則稱 絕對收斂. 1 n n u 1 n n u 1. 可先考查任意項級數(shù)是否絕對收斂； 若 發(fā)散而 收斂,則稱 條件收斂. 1 n n u 1 n n u 1 n n u 則級數(shù) 也發(fā)散. 1 n n u 第8頁/共60頁 0 00 ,(0,0,1,2,

4、) n n nnn nn a xaxxan 對對于于或或 1 lim n n n a l a 若若， 1 ,0 ,0 0, l l Rl l 1.收斂半徑和收斂區(qū)間 (二)冪級數(shù) 則則收收斂斂半半徑徑為為 第9頁/共60頁 ,)R R (,R R .,RR (,)R R 收斂域： 或 或或 ,RR 00 ,xR xR 或或 收斂區(qū)間為 第10頁/共60頁 0 , n n ux 1 12 0 1lim, n n n ux xx x ux 12 ,x x 從而得收斂區(qū)間為 求出 的范圍 第11頁/共60頁 2.冪級數(shù)的重要性質 (1)在收斂區(qū)間 內和函數(shù) 連續(xù). (2)可逐項求導. (3)可逐項積

5、分. ,R RS x 逐項求導或逐項積分后的冪級數(shù)與原冪 級數(shù)有相同的收斂半徑, 但在收斂域可能改變. 第12頁/共60頁 3.冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的和函數(shù)的求法 在熟記幾個常用的冪級數(shù)的和函數(shù)的基礎上, 對照已知級數(shù)的特點,可通過恒等變形,變量代換及逐項求導或積分的方法來求和函數(shù). 第13頁/共60頁 0 = ! n n fx a n lim0 n n Rx ， 0 0 n n n fxaxx 按按公公式式， 這通常是較困難的. (1)直接展開法: 展開,但必須證明余項的極限 第14頁/共60頁 注意兩點: 1.熟記幾個常用初等函數(shù)的馬克勞林展出式. 2.根據(jù)已知展開式寫出所求展開式相應的

6、收斂區(qū)間. 逐項求導或積分后,原級數(shù)的收斂半徑不變, 但收斂域可能會變. 第15頁/共60頁 2 0 2 0 21 35 0 23 1 1 1 111 ; 1 1; !2! 1 sin; 21 !3!5! ln 1111 . 23 nn n nn x n n n n n n n xxxxx x xxx exx nn xxx xxx n xxx xxx n 第16頁/共60頁 (1,2,), nn ucvn 三 思考與分析 11 , nn nn uv 則 同斂散. 11 , nn nn uv (2)設 是正項級數(shù), c為大于零的常數(shù), 1 lim0, nn n n uu (1)若 則 必定收斂.

7、 第17頁/共60頁 答：均不正確. 2 11 ,. nn uv nn (2)反例,考慮 0lim, n n u (1) 則 發(fā)散. 0 n n u 第18頁/共60頁 11 , nn nn uv 0lim,() n n n u ll v 11 , nn nn uv 則 同斂散. 設 為正項級數(shù), 若 第19頁/共60頁 有 證明: 也收斂. 若 均收斂,且對一切自然數(shù) , nnn acb 1 n n c 11 (1,2,), nnnnn nn acb nab 且且 1 n n c 11 , nn nn ab n 證明: 均收斂,由比較判別法知 收斂. 第20頁/共60頁 答：不正確. 因為證

8、明中使用了比較判別法, 而比較判別法只適用于正項級數(shù), 題目中并未指出級數(shù)是正項級數(shù).正確方法如下: 第21頁/共60頁 (1,2,) nnn acb n證證明明：由由，可可得得 11 nnnn nn baca 故故與與均均為為正正項項級級數(shù)數(shù)， 111 () nnnn nnn abba 與與收收斂斂，從從而而收收斂斂 1 nn n ca 也也收收斂斂， , nnnn ccaa而而 11 (). nnnn nn ccaa 故故收收斂斂 由正項級數(shù)的比較判別法 0, nnnn baca 第22頁/共60頁 22 11 nn nn ab 2 22 22 2 20 nnnnnn nnnn abaab

9、b aba b 證證明明： ， 11 . nnnn nn a ba b 收收斂斂，從從而而絕絕對對收收斂斂 根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法可知 22 11 nn nn ab 由題意知, 和 收斂, 22 1 2 nnnn a bab 絕對收斂. 1 nn n a b 22 1 1 () 2 nn n ab 故 也收斂, 第23頁/共60頁 1 1 1(0) n nn n u u 1 ( )(1,2,); ( ) lim0; nnn n a uu nbu 1 1 1 n n n u 當(c)成立時,由萊布尼茲定理可得. 收斂. 當(d)成立時, 絕對收斂, 因此必定收斂. 1 ( ) n n du 1

10、 ( )(1,2,)lim0; nnn n c uu nu ， 第24頁/共60頁 1 1 234 222 1 1 23 1 134 1.12.tan; 3356 sin 3.;4.; 1234 ln10 111111ln 5.; 6.1. 310320330 n n n n n n n aaaan n n ； 判定下列級數(shù)的斂散性,若收斂,是絕對 收斂還是條件收斂? 練習題 第25頁/共60頁 1 lim10 2 n n n n 1 1 1 2 n n n n 由于一般項 所以發(fā)散. 134 1.1 356 ； 第26頁/共60頁 1 1 2.tan; 3n n n 21 1 21 tan

11、111 33 limlim1 33 tan 33 nn n nn n nn un un 所以級數(shù)收斂. 由正項級數(shù)的比值判別法 第27頁/共60頁 1 2 1 2 1 limlim n n n nn n a nu a au n 1a 當當時時，發(fā)發(fā)散散， 1a 當當時時，絕絕對對收收斂斂， 1 22 11 11 1,. n nn a nn 當當時時，級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂 1 2 1 1 n n n a n 234 222 3.; 1234 aaaa 解 原級數(shù)為 由比值法 第28頁/共60頁 1 11 1 ln10 ln10 n n q 而而 所以原級數(shù)絕對收斂. sin1 , ln10l

12、n10 nn n 解解 是收斂的等比級數(shù), 1 sin 4.; ln10 n n n 第29頁/共60頁 11 11 310 n nn n 與與的的一一般般項項之之和和 1 1 3n n 收收斂斂， 1 1 10 n n 而而發(fā)發(fā)散散， 解 原級數(shù)可看作 由級數(shù)的基本性質,原級數(shù)發(fā)散. 為為一一般般項項的的級級數(shù)數(shù)， 23 111111 5.; 310320330 第30頁/共60頁 1lnln1 13 , nnn n nnn 解解 1 1 ln 1 n n n n 故故發(fā)發(fā)散散 2 ln1lnln (1)03 , xxn x xxn 又又單單調調減減少少， ln (2)lim0, n n n

13、 由萊布尼茲定理知， 1 1 ln 6.1 n n n n 1 1 n n 而而發(fā)發(fā)散散， 從而條件收斂.交錯級數(shù)收斂, 第31頁/共60頁 1 1 lim, 2 n n n a a 2,R 2,2 . 解 由于 21 1 1 2 n n n x 求 的收斂區(qū)間. 收斂區(qū)間為 故收斂半徑為 1.下列運算是否正確? 第32頁/共60頁 21 2 1 1 21 2 limlim, 2 2 n n n n nn n n x uxx xux 2, 2 . 故原級數(shù)的收斂區(qū)間為 當 即 時,原級數(shù)收斂. 2 1,2 2 x x 正確方法為: 第33頁/共60頁 2 11 2 (1);(2) n n nn

14、 xn xn 1 limlim1,1. 1 n nn n an R an 11 1 1 n n nn t t nn 當當時時，收收斂斂, , 11 1 1. n nn t t nn 當當時時，發(fā)發(fā)散散 1 n n t n 則原級數(shù)變?yōu)?2,tx (1)令 2.求 的收斂域. 第34頁/共60頁 11,t 121,x 2 1 . n n n t 11,t 故原級數(shù)的收斂區(qū)間為 或 11.xx 1 11, x 即 原級數(shù)化為 解 所給級數(shù)不是冪級數(shù), 原級數(shù)的收斂域為 因此,收斂域為 1,3 .即即 2 1 (2) n n n x 不難知收斂區(qū)間為 1 ,t x 引入變換 第35頁/共60頁 22

15、2 111 2121 !1 ! nnn nnn n S xxxx nnn 2 2 211, x S xxe 2 1 21 ! n n n x n ., 0 21 2! n n n n 解 收斂區(qū)間為 法1.拆成兩個級數(shù)之和,再分別求和. 212 01 21 ! nn nn xx nn 0 , ! n x n x e n 22 2 00 21 ! nn nn xx x nn ,x 第36頁/共60頁 2 1 21 , ! n n n S xx n 221 11 00 211 ! xx nn nn n S x dxx dxx nn .,x 則級數(shù)在收斂區(qū)間內可逐項積分: 2 22 10 11 11

16、 , ! nnx nn xxxxx ex nn 22 2 0 1211, x xx S xS x dxx exe 第37頁/共60頁 2 22 1 21 211 ! nx n n S xxxe n 2 11 121121 !2!22 n n nn nn S nn 1 2 0 2111 12111 2!22 n n n Se n 0 21 2! n n n n 求 令 1 2 x 則 1 2 2.e 第38頁/共60頁 解 0 1 (2) 1 n n nx n 00 2 1 n n nn x nx n 4. 求冪級數(shù) 0 1 (2) 1 n n nx n 的和函數(shù). 0 2 n n nx 的收斂

17、域為 1,1 . 0 1 n n x n 的收斂域為 1,1). 的收斂域為 1,1 . 0 1 ( )(2) 1 n n S xnx n 設 (1) (2) 第39頁/共60頁 1 01 22, nn nn nxxnx 1 1 ( ), n n A xnx 設設 1 00 1 ( ) xx n n A x dxnxdx 1n n x , 1x x 1| x ( ) 1 x A x x , )1( 1 2 x 0 22( ) n n nxxA x 2 2 . (1) x x (1) 第40頁/共60頁 0 1 n n x n 1 0 1 1 n n x xn 0 0 1 x n n x dx

18、x 0 0 1 x n n x dx x 0 11 1 x dx xx 1 ln(1),x x 1| x 00 2 1 n n nn x nx n 0 1 ( )(2) 1 n n S xnx n 2 2 (1) x x 1 ln(1),x x | 1,0 xx 故 (2) 第41頁/共60頁 (1)將 展開成x的冪級數(shù) 2 ln43f xxx (2)將 展開成x-1的冪級數(shù). 1 2 fx x (3)將 展開成x的冪級數(shù). arctan2fxx 第42頁/共60頁 ln 13ln 1ln 3f xxxxx 解(1) 1 1 0 1 ln31. 31 n n n x n 1111, 3 x x

19、 其其中中且且 故收斂區(qū)間為 1,1). ln 1ln3ln 1 3 x x 1 1 00 1 ln311 131 n n nn nn xx nn 第43頁/共60頁 1111 2 1 2313 1 3 fx x xx 1 11, 3 x .4 , 2 故收斂區(qū)間為 1 00 111 11. 333 n n nn n nn x x 第44頁/共60頁 2 2 3arctan2, 14 x x 2 2 0 00 2 arctan2212 14 xx nn n xdxxdx x 由逐項積分的性質可得, 2 2 2 0 111 1 ( 1) (2 ) , 142 21(2 ) nn n x xx 2

20、1 21 21 00 212 1, 2121 nn n n n nn x x nn 11 . 22 x 0 1 1 n n x x 第45頁/共60頁 x y o 6. 0,0 ( ) ,0 x f x xx 寫出函數(shù) 的傅里葉級數(shù)的和函數(shù). 2 2 3 作周期延拓， 由狄利克雷充分條件，解 和函數(shù) ( ), ( ) 0 , 22 f xx S x x 第46頁/共60頁 1 1lim(). nn n n uu 1 1 ,lim0, nnnn n n aaaa ， 則該級數(shù)( ). (a)條件收斂 (b)絕對收斂 (c)發(fā)散 (d)可能收斂可能發(fā)散 (a)1；(b)0；(c)不存在；(d)不能

21、確定 (2)對任意級數(shù) 若 且 a d 第47頁/共60頁 11n n n n vu 2 11 nnn nn aubu v 1 12 1 0 lim limlim n n n nn nn u ab u cuduuu 存存在在 部分和數(shù)列有界 1n n u (4)當下列條件( )成立時, 收斂. 11 min(,)max(,) nnnn nn cu vdu v cba, da, 第48頁/共60頁 1 3 n n n a xx 2 3 11 11 3!1 1.2. 1 3.2 sin,03.1 32 n n nn n n n nn nn nn xn x 二.判定下列級數(shù)的斂散性 (a)發(fā)散 (b

22、)條件收斂 (c )絕對收斂 (d)不能確定 2x c 第49頁/共60頁 3 11 1 22 11 1cos 1.2. 2 112! 3.,03. ! n nn nn nn nx n n ann a n n 21 11 121 1.2. 22 n n nn nn xn x n 四.求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間 第50頁/共60頁 七.證明:若 和 絕對收斂,則 0 21 n n nx 11 nn nn uv 1 1 2n n n 2 1 32 f x xx 2. 展開為 的冪級數(shù). 2 1 1 fx x 1. 展開為x的冪級數(shù). 六.將函數(shù)展開為冪級數(shù) 1 nn n u v 也絕對收斂. 4x 第

23、51頁/共60頁 2 1 3.lim0, nnnn n n uuuu 收收斂斂有有（某某一一項項之之后后） 22 1 ;min,. 2 nnnnnnn u vuvu vu n自測題參考答案 由正項級數(shù)的比較判別法可得(b),(c). 由正項級數(shù)的比較判別法可得(a). 提提示示： 類似地, 第52頁/共60頁 就是在 內收斂,故在 處收斂. 1 326 n n n axxx 若若在在處處收收斂斂，則則 二. 1.發(fā)散,2.發(fā)散(比較),3.收斂, 4.發(fā)散(必要條件) 處絕對收斂,為什么? 考慮: 5.由冪級數(shù)收斂域的特點,在 處收斂, 3x 3,3 2x 第53頁/共60頁 2 (2)lim0, n an n 2222 111 1 1 11 ( ) anaaan nnnn nn 由萊布尼茲判別法,交錯級數(shù)收斂,從而原級數(shù)條件收斂. 2 1 /1 3.lim10, 1/ n n