旋轉(zhuǎn)曲面的面積PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1 旋轉(zhuǎn)曲面的面積旋轉(zhuǎn)曲面的面積 下面討論曲邊梯形的面積下面討論曲邊梯形的面積. . 作法作法 ： （）（）分割分割 這些點(diǎn)把這些點(diǎn)把 a, ,b 分割成分割成n個小區(qū)間個小區(qū)間 x, ,xi, , i=1,2, n.再再用直線用直線x= xi, ,i=1,2,=1,2,，n-1-1 把曲邊梯形分割成把曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形個小曲邊梯形. . 依次為依次為 a=x0 x1x2xnxn=b, 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 內(nèi)任取內(nèi)任取n-1-1個分點(diǎn)，它們個分點(diǎn)，它們 xO y a b y=f(x) x1xi- 1 xix n 首頁首頁 第1頁/共16頁 （iiii）近似求和近似求和 當(dāng)分

2、割當(dāng)分割 a,b 的點(diǎn)分點(diǎn)較多的點(diǎn)分點(diǎn)較多, ,又分割又分割 首頁首頁 得較細(xì)密時(shí)得較細(xì)密時(shí), ,由于由于f為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), ,它在每個小它在每個小 區(qū)間上的值變化不大區(qū)間上的值變化不大, ,從而可用這些小矩形的面積近似從而可用這些小矩形的面積近似 替代相應(yīng)小曲邊梯形的面積替代相應(yīng)小曲邊梯形的面積. . 和就可作為該曲邊梯形面積和就可作為該曲邊梯形面積S S的近似值的近似值, ,即即 1 ( ) n ii i Sfx iii 1 (xxx). i , 在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間 xi-1-1, ,xi 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) 作以作以f( )( )為高，為高， xi-1,xi 為底的小矩形為

3、底的小矩形. . i xO y a b y=f(x) x1xi- 1 xix n 于是于是, , n 個小矩形面積之個小矩形面積之 i 第2頁/共16頁 注意到注意到(1)(1)式右邊的和式既依賴于對區(qū)間式右邊的和式既依賴于對區(qū)間 a, b 有關(guān)有關(guān). .可以想象可以想象, ,當(dāng)分點(diǎn)無限增多當(dāng)分點(diǎn)無限增多, ,且對且對 a, b 無限細(xì)無限細(xì) 分時(shí)分時(shí), ,如果此和式與某一常數(shù)無限接近如果此和式與某一常數(shù)無限接近, ,且與分點(diǎn)且與分點(diǎn)xi, , 形的面積形的面積S. . 的分割的分割, ,又與所有中間點(diǎn)又與所有中間點(diǎn) ( ( i=1,2,，n）的取法）的取法 i 中間中間 點(diǎn)的選取無關(guān)點(diǎn)的選取

4、無關(guān), ,則就把此常數(shù)定義作為曲邊梯則就把此常數(shù)定義作為曲邊梯 i 首頁首頁 （iiiiii）取極限取極限 n b ii a T 0 i 1 Sf ()xf ( x )dx. lim 第3頁/共16頁 引入問題：引入問題：上述過程顯然是比較上述過程顯然是比較繁瑣的，那么遇到一個繁瑣的，那么遇到一個 實(shí)際問題如何直接利用定積分表示呢？實(shí)際問題如何直接利用定積分表示呢？ 我們看出，在引出我們看出，在引出的積分表達(dá)式的步驟中，關(guān)鍵是的積分表達(dá)式的步驟中，關(guān)鍵是 第二步第二步. . 這一步是確定的近似值這一步是確定的近似值. . 完成了這一步，再求和完成了這一步，再求和 取極限取極限，從而求得，從而求

5、得的精確值的精確值. 在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中, 為簡便起見為簡便起見 省略下標(biāo)省略下標(biāo)i，用表示，用表示 a，b 上任一小區(qū)間上任一小區(qū)間 x，x+x 上的上的 窄曲邊梯形的面積窄曲邊梯形的面積: : = 首頁首頁 第4頁/共16頁 取任一小區(qū)間取任一小區(qū)間 x，x+x 上的左端點(diǎn)為上的左端點(diǎn)為，這樣，這樣 的近似值為以點(diǎn)的近似值為以點(diǎn)x處的函數(shù)值處的函數(shù)值 f ( (x) )為高為高, ,x為底的矩形面為底的矩形面 f ( (x) )x = = f ( (x) )dx. . 積，即積，即 由于當(dāng)由于當(dāng)x趨于零時(shí)趨于零時(shí), , - - f( (x) )x = o(= o(x ),),根據(jù)微分

6、根據(jù)微分 定義知，定義知， dA= =f( (x) )dx. .于是于是, , 取極限取極限, , 得：得： b a T0 f ( x )dxf ( x )dx. lim = f（x）dx 首頁首頁 第5頁/共16頁 一般地，我們歸納出所求量一般地，我們歸納出所求量的積分表達(dá)式的步驟的積分表達(dá)式的步驟. . (1) (1) 選取積分變量及變化區(qū)間；選取積分變量及變化區(qū)間； (2) (2) 設(shè)想把區(qū)間設(shè)想把區(qū)間 a,b 分成分成n個小區(qū)間個小區(qū)間, ,取其中任一小取其中任一小 區(qū)間并記作區(qū)間并記作 x, x+x ，求出相應(yīng)于此小區(qū)間的，求出相應(yīng)于此小區(qū)間的 部分量部分量的近似值的近似值f（x）d

7、x； 首頁首頁 (3) (3) 以以f（x）dx作為被積表達(dá)式，得到所求量作為被積表達(dá)式，得到所求量 的積分表達(dá)式的積分表達(dá)式: : b a f ( x )dx. 第6頁/共16頁 用上述步驟來建立積分表達(dá)式的方法通常稱為用上述步驟來建立積分表達(dá)式的方法通常稱為微元法微元法 （或（或元素法元素法）, ,其中其中f( (x) )dx為所求量的元素為所求量的元素. . 在實(shí)際問題中，若所求量為面積，則稱在實(shí)際問題中，若所求量為面積，則稱f(x)dx 為面積元素為面積元素, ,所求量為功，則稱所求量為功，則稱f（x）dx為功元素為功元素. . 顯然，微元法要比按顯然，微元法要比按“分割，近似求和，取

8、極限分割，近似求和，取極限”三三 個步驟導(dǎo)出定積分簡便得多，那么一個實(shí)際問題的所求量個步驟導(dǎo)出定積分簡便得多，那么一個實(shí)際問題的所求量 滿足什么條件才可以考慮用微元法求解呢？滿足什么條件才可以考慮用微元法求解呢？ 首頁首頁 第7頁/共16頁 （1 1） 所求量所求量關(guān)于分布區(qū)間必須是代數(shù)可加的，即若把區(qū)間關(guān)于分布區(qū)間必須是代數(shù)可加的，即若把區(qū)間 a,b 分成許多部分區(qū)間，則所求量分成許多部分區(qū)間，則所求量也相應(yīng)地分成許多也相應(yīng)地分成許多 可以用微元法的條件：可以用微元法的條件： 部分量，且所求量等于部分量之和部分量，且所求量等于部分量之和= = ； （2 2） 能把能把的微小增量的微小增量 近

9、似地表示為近似地表示為x的線性形式的線性形式 f( (x) )x， 且當(dāng)且當(dāng)x 趨于零時(shí)趨于零時(shí), ,f(x)x =o(x). 從而從而f( (x) )dx. 首頁首頁 第8頁/共16頁 首頁首頁 對于前三節(jié)所求的平面圖形面積、立體體積和曲線對于前三節(jié)所求的平面圖形面積、立體體積和曲線 弧長，改用微元法來處理，所求量的微元表達(dá)式分別為弧長，改用微元法來處理，所求量的微元表達(dá)式分別為: : A x，并有，并有dA= = dx； yy A（x）x，并有，并有dV= = A（x）dx； s x，并有，并有ds= = dx. . 2 1 y 2 1 y 第9頁/共16頁 二、旋轉(zhuǎn)曲面的面積二、旋轉(zhuǎn)曲面

10、的面積 這一部分我們要利用微元法推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式這一部分我們要利用微元法推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式. . （不妨設(shè)（不妨設(shè) f( (x)0)0）這段曲線繞）這段曲線繞x x軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)曲面. . 首頁首頁 設(shè)平面光滑曲線設(shè)平面光滑曲線C的方程為的方程為 ( ), , yf x xa b 第10頁/共16頁 下面用微元法導(dǎo)出它的面積公式下面用微元法導(dǎo)出它的面積公式. . （1 1） 積分變量積分變量x, , 變化區(qū)間變化區(qū)間 a,b; （2 2） 任取任取 a, b 上小區(qū)間上小區(qū)間 x, x+x,通過通過x軸上點(diǎn)軸上點(diǎn)x與與x+x 分別作垂直于分別作垂直于x軸的平

11、面軸的平面, ,它們在旋轉(zhuǎn)曲面上截下一條狹它們在旋轉(zhuǎn)曲面上截下一條狹 帶帶. .當(dāng)當(dāng)x很小時(shí)很小時(shí), ,此狹帶的面積近似于一圓臺的側(cè)面積，此狹帶的面積近似于一圓臺的側(cè)面積， 其中，其中，y=f(x+ +x)-)-f( (x). ). s 22 f xf xxxy 2 y 2 f ( x )y1x x = 首頁首頁 即，即， 第11頁/共16頁 所以得到，所以得到， 2 2 2 ( )121( ). y f xyxf xfxxox x 2 21.dSf xfx dx 首頁首頁 由于由于 2 2 00 lim0, lim11 ( ) xx y yfx x 以及以及 連續(xù)，可以保證：連續(xù)，可以保證：

12、 ( )f x （3 3） 以以 為被積表達(dá)式，為被積表達(dá)式， 2 21,dSfxfx dx 得旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式得旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式 (3)(3) S= = 2 21. b a fxfx dx 第12頁/共16頁 事實(shí)上，由（）知，事實(shí)上，由（）知， b 2 a S2fx1fx dx = b 2 a dy 2fx1() dx dx = b 22 a 2fxdxdy = 2y( t )ds = 22 dxdy 2y( t ) ()() dt dtdt = 22 2y(t ) x (t )y (t )dt. 首頁首頁 如果光滑曲線由參數(shù)方程如果光滑曲線由參數(shù)方程 x=x( (t),),y=y(

13、(t),),t , 且且 y( (t) )0，那么由弧微分知識推知曲線，那么由弧微分知識推知曲線C繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得軸旋轉(zhuǎn)所得 旋轉(zhuǎn)曲面的面積為旋轉(zhuǎn)曲面的面積為 22 2( )( )( ).Sy txtyt dt (4) 第13頁/共16頁 弧段繞弧段繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得球帶的面積軸旋轉(zhuǎn)所得球帶的面積. . 得到得到 特別當(dāng)特別當(dāng)x1=-R, x2=R 時(shí)，得球的表面積時(shí)，得球的表面積 S球球= = 4R. . 解解 對曲線對曲線 y = = 在區(qū)間在區(qū)間 x1, x2 上應(yīng)用公式上應(yīng)用公式(3)(3)， 22 Rx 2 1 2 x 22 22 x x S2Rx1d x Rx 2 1 x 21 x 2 Rdx 2 R xx . = 首頁首頁 例例1 1 計(jì)算圓計(jì)算圓 在在 上的上的 222 xyR 12 , x xR R 第14頁/共16頁 所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積所得旋轉(zhuǎn)曲