無窮級數(shù)PPT學習教案

1、會計學1 無窮級數(shù)無窮級數(shù) (1) 數(shù)項級數(shù)的概念 定義2 ,lim n n SS 1 n n Su 若級數(shù)第n部分和序列S1, S2, , Sn, 的極限存在, 即 且S稱為此級數(shù)的和. 記作 則稱級數(shù) 收斂. 1 n n u 若 不存在, lim n n S 則稱此級數(shù)發(fā)散. 第1頁/共47頁 例 1 判別級數(shù) 1 1 ln n n n 的收斂性. 例 2 判斷級數(shù) 1 1 1 1 2 n n n 的收斂性. 例 3 判斷級數(shù) 1 3 n n 的收斂性. 第2頁/共47頁 結(jié)論: 121 1 nn n aqaaqaqaq 的收斂性. 1 1 . 1 n n a aq q (2) 當 時,

2、級數(shù)發(fā)散. 1q (1) 當 時, 級數(shù)收斂, 且 1q 討論等比 (幾何) 級數(shù) (公比為 q) 第3頁/共47頁 例 4 判斷級數(shù) 1 1 n n 的收斂性. 調(diào)和級數(shù) 1 1 n n 發(fā)散. 第4頁/共47頁 (2) 級數(shù)的基本性質(zhì) 1) 若 和 都收斂, 則對任意常數(shù) k, l, 1 n n u 1 n n v 3) 一個級數(shù)添加或去掉有限項, 不改變其收斂性. 1 nn n lvku 也收斂. 2) 若 發(fā)散, 而 收斂, 則對任意非零常數(shù) k, l, 1 n n u 1 n n v 1 nn n lvku 發(fā)散. 第5頁/共47頁 (2) 級數(shù)的基本性質(zhì) 1) 若 和 都收斂, 則

3、對任意常數(shù) k, l, 1 n n u 1 n n v 1 nn n lvku 也收斂. 2) 若 發(fā)散, 而 收斂, 則對任意非零常數(shù) k, l, 1 n n u 1 n n v 1 nn n lvku 發(fā)散. 例: 判斷級數(shù) 和 1 21 2 n n n 的收斂性. 34 3ln23ln3ln 23 第6頁/共47頁 (3) 級數(shù)收斂的必要條件 若收斂, 則 1 n n u ;lim0 n n u 若 , 則 一定發(fā)散. 1 n n u lim0 n n u 問: 則 收斂嗎? 1 n n u 若 ,lim0 n n u 例: 級數(shù) 1 1 , n n 調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù) 1 1 ln. n

4、 n n 例: 級數(shù) 11 1 ;1. 1002 n nn n nn 第7頁/共47頁 2. 掌握正項級數(shù)的比值數(shù)別法。會用正項級數(shù)的比較判別法。 定義 每項都是非負數(shù) 的級數(shù) 稱為正項級數(shù). 1 n n u 0 n u 1) 比較判別法 ,0 , nn uvcc 若兩個正項級數(shù) 和 從某一項開始滿足條件: 1 n n u 1 n n v 則:(1) 當級數(shù) 收斂時, 也收斂; 1 n n u 1 n n v (2) 當級數(shù) 發(fā)散時, 也發(fā)散; 1 n n u 1 n n v 第8頁/共47頁 結(jié)論: 討論 p 級數(shù) 1 1 p n n 的收斂性. (1) 當 p=1 時, 1 1 n n 稱

5、 為調(diào)和級數(shù), 是發(fā)散的. (2) 當 p1 時, 1 1 p n n 收斂. 例: 判定正項級數(shù) 和 的收斂性 . 3 1 1 43nn 2 1 1 3nnn 第9頁/共47頁 1) 比較判別法 (極限形式) 若兩個正項級數(shù) 和 滿足 1 n n u 1 n n v ,lim n n n u a v (i) 時, 和都收斂或都發(fā)散; 0a 1 n n u 1 n n v (ii) a=0 時, 若 收斂, 則 也收斂; 1 n n v 1 n n u (iii) 時, 若 發(fā)散, 則 也發(fā)散. 1 n n v 1 n n u a 第10頁/共47頁 例 5 判定下列級數(shù)的收斂性 2 11 1

6、1 11 11 1;2; 1 3 12 3;4sin; ln1 12 5ln 1;61cos; nn nn nn n n nn n nn nn 第11頁/共47頁 2) 比值判別法 (極限形式) (i) 當 q1 或 時, 級數(shù) 發(fā)散; 1 n n u 第12頁/共47頁 例 6 判定下列級數(shù)的收斂性 4 11 2 1 11 3 3 11 3 1;2; !4 cos 3 3tan;4; 22 1 5;6 3 3 n nn nn nn nn n n n n n n nn n n 注: 若un含 , 通常用比值判別法; !, nn nna 若un為n的有理分式, 無理分式時, 通常用比較法. 第1

7、3頁/共47頁 3. 了解級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。 (1) 交錯級數(shù) 定義 各項正負項相間的級數(shù) (un0) 11 1234 1 11 nn nn n uuuuuu 稱為交錯級數(shù). 第14頁/共47頁 萊布尼茲定理 1 1 ,10 n n n n uu 若一個交錯級數(shù) 滿足如下條件: 1 , nn uu (1) 從某項開始即數(shù)列un從某項開始單調(diào)遞減 ; ;lim0 n n u (2 ) 則交錯級數(shù) 收斂. 1 1 1 n n n u 例: 級數(shù) 和 1 1 1 1 n n n 1 1 1 1. ln1 n n n 第15頁/共47頁 (2) 絕對收斂與條件收斂 定

8、義 若 收斂, 則 收斂, 且稱 為絕對收斂; 1 n n u 1 n n u 1 n n u 若 發(fā)散, 但 收斂, 則稱 為條件收斂. 1 n n u 1 n n u 1 n n u 例: 判別下列級數(shù)的收斂性 11 2 11 11 1;1. nn nn nn 第16頁/共47頁 1 10 2 32 11 21 sin 1 2 12 1 1cos1 31ln4 n p nn n nn n nn nn nn n 例 7 判別下列級數(shù)是否收斂, 如果收斂, 是絕對收斂還 是條件收斂? 第17頁/共47頁 1 1 1 n p n n 絕對收斂, 當p1時;絕對收斂, 當p1時; ：條件收斂, 當

9、0p1時;：條件收斂, 當01時;絕對收斂, 當p1時; ：條件收斂, 當0p1時;：條件收斂, 當0p1時; 發(fā)散,當p0時.發(fā)散,當p0時. 結(jié)論: 練 (2007年高數(shù)二) 對于冪級數(shù) 下列說法正確的是( ) 1 1 1, n p n n (A) 當p1時, 發(fā)散 (B) 當p1時, 條件收斂 (D) 當p1時, 絕對收斂 第19頁/共47頁 1 , lim0_, nn n n uu 1.1.對于級數(shù)是它收斂的條件對于級數(shù)是它收斂的條件 題型一：數(shù)項級數(shù)性質(zhì)、斂散性判定. _不是它收斂的條件。不是它收斂的條件。 1 _, n n u n n 2 2. .部部分分和和數(shù)數(shù)列列 S S 有有

10、界界, ,是是正正項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的條條件件 11 _; nn nn uu 3 3. .若若級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂, ,則則級級數(shù)數(shù)必必定定 11 _; nn nn uu 若若級級數(shù)數(shù)條條件件收收斂斂, ,則則級級數(shù)數(shù)必必定定 第20頁/共47頁 1 , lim0_, nn n n uu 1.1.對于級數(shù)是它收斂的必要條件對于級數(shù)是它收斂的必要條件 題型一：數(shù)項級數(shù)性質(zhì)、斂散性判定. _不是它收斂的 充分條件。不是它收斂的 充分條件。 1 _, n n u n n 2 2. .部部分分和和數(shù)數(shù)列列 S S 有有界界, ,是是正正項項級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的 充充要要 條條件件 11 _;

11、nn nn uu 3 3. .若若級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂, ,則則級級數(shù)數(shù)必必定定 收收斂斂 11 _; nn nn uu 若若級級數(shù)數(shù)條條件件收收斂斂, ,則則級級數(shù)數(shù)必必定定發(fā)發(fā)散散 第21頁/共47頁 練 (2007年高數(shù)二) 級數(shù) 收斂的必要條件為_. 1 n n u 練 (2006年高數(shù)二) 若級數(shù) 收斂, 則 的取值范圍是_. 31 1 1 n n 第22頁/共47頁 10 121 4. 11 ;2;30,0 . ln n s n nnn a as nnn n 判定下列級數(shù)的收斂性判定下列級數(shù)的收斂性 1 1 練 (2006年高數(shù)二) 判別正項級數(shù) 的斂散性. 2 1 1 ln

12、1 n n n 第23頁/共47頁 練 (2006年高數(shù)二)級數(shù) 為( ) 0 cos 1 n n n (A) 絕對收斂 (B) 條件收斂 (C) 發(fā)散 (D) 無法判斷 練 (2007年高數(shù)二) 確定級數(shù) 的收斂性. 3 1 sin ! n nn n 第24頁/共47頁 1 011 5. ;2;3. ! nn n nnn xx nx nn 判定下列級數(shù)的收斂性判定下列級數(shù)的收斂性 1 1 練 (2005年高數(shù)二) 設(shè)級數(shù) 和 都發(fā)散, 則級數(shù) 是( ) 1 n n a 1 n n b 1 nn n ab (A)發(fā)散 (B) 條件收斂 (C) 絕對收斂 (D) 無法判斷 第25頁/共47頁 二

13、、冪級數(shù) 1. 冪級數(shù)的概念 2. 冪級數(shù)的基本性質(zhì) 3. 將簡單的初等函數(shù)展開為冪級數(shù) 第26頁/共47頁 1. 了解冪級數(shù)的概念。 定義形如 2 012 0 nn nn n a xaa xa xa x 或 2 001020 0 0 n n n n n axxaaxxaxx axx (ai為常數(shù))的級數(shù), 稱為冪級數(shù). 第27頁/共47頁 2. 掌握求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的方法。 1 lim n n n a a 當 時, 1 x 級數(shù)絕對收斂; 當 時, 1 x 級數(shù)發(fā)散. 稱為冪級數(shù) 的收斂半徑. 1 R 0 n n n a x 當 時, 0 ;R 當 時, 0 .R 第28頁/共4

14、7頁 1 lim n n n a a 當 時, 1 x 級數(shù)絕對收斂; 當 時, 1 x 級數(shù)發(fā)散. 稱為冪級數(shù) 的收斂半徑. 1 R 0 n n n a x 當 時, 0 ;R 當 時, 0 .R 稱為冪級數(shù) 的收斂區(qū)間. ,RR 0 n n n a x 第29頁/共47頁 1 lim n n n a a 稱為冪級數(shù) 的收斂半徑. 1 R 0 n n n a x 當 時, 0 ;R 當 時, 0 .R 稱為冪級數(shù) 的收斂區(qū)間. ,RR 0 n n n a x 稱為冪級數(shù) 的收斂區(qū)間. 00 ,xR xR 0 0 n n n axx 第30頁/共47頁 1 lim n n n a a 稱為冪級

15、數(shù) 的收斂半徑. 1 R 0 n n n a x 稱為冪級數(shù) 的收斂區(qū)間. ,RR 0 n n n a x 加上 中收斂的區(qū)間端點, 稱為收斂域. ,RR xR (2) 在收斂區(qū)間內(nèi), 第n部分和Sn(x)=a0+a1x+an-1xn-1 的極限稱為冪級數(shù)的和函數(shù). 第31頁/共47頁 例 1 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域. 2 1 11 0 35 12 3 1 31 n nn n n nn n n n x x nn x n 題型二：冪級數(shù)的收斂區(qū)間、和函數(shù). 練 (2007年高數(shù)二) 確定冪級數(shù) 收斂半徑及收斂域, 其中a為正常數(shù). 1 1 1 n n n x na 第32頁/共47頁 注

16、: 冪級數(shù) 0 00 ,1, kn kn nn nn a xaxxk 且且 都要用比值法求收斂半徑. 1 lim n n n u u 如果任意項級數(shù) 1 lim n n n u l u 則: 當 l1 時, 級數(shù)發(fā)散. 定理 12 1 nn n uuuu 滿足條件: 第33頁/共47頁 注: 冪級數(shù) 0 00 ,1, kn kn nn nn a xaxxk 且且 都要用比值法求收斂半徑. 如果任意項級數(shù) 1 lim n n n u l u 則: 當 l1 時, 級數(shù)發(fā)散. 定理 12 1 nn n uuuu 滿足條件: 例2. 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間 . 221 00 1 132 4

17、 nnn n nn xx 第34頁/共47頁 注: 冪級數(shù) 0 00 ,1, kn kn nn nn a xaxxk 且且 都要用比值法求收斂半徑. 1 lim n n n u u 例2. 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間. 221 00 1 132 4 nnn n nn xx 例3. 求 的收斂半徑和收斂區(qū)間. 0 1 1 2 n n n x n 例4 . 冪級數(shù) 的收斂半徑為_. 2 0 2 n n x n 第35頁/共47頁 3. 了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和、差、逐項求導與逐項積分）。 1) 若 的收斂半徑分別為R1和R2, 則 00 , nn nn nn a xb x 的收

18、斂半徑 R=minR1, R2. 0 n nn n abx 2) 若冪級數(shù) 則其和函數(shù) f(x) 在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù). 0 , n n n a xf x 第36頁/共47頁 1 1 n n n fxna xRxR 3) 冪級數(shù) 在收斂區(qū)間 內(nèi)可逐項求導, 且 0 n n n a xf x ,RR 4) 冪級數(shù) 在收斂區(qū)間 內(nèi)可逐項求積分, 0 n n n a xf x ,RR 即任意 ,xRR 有 1 0 0 1 1 x n n n f t dta x n 第37頁/共47頁 例 5 (1) 求 的和函數(shù); 1 1 n n nx (2) 求 的和函數(shù). 1 1 n n n x n 練 求 的和函

19、數(shù). 41 14 1 n n x n 第38頁/共47頁 2 0 00 00 !2! 0 ! n n n n n ff xffxx n f x n 形如 為 f(x) 的麥克勞林級數(shù). 4. 會運用ex，sinx，cosx，ln（1+x），1/（1-x）的麥克勞林（Maclaurin）級數(shù)，將一些簡單的初等函數(shù)展開為x或x-x0的冪級數(shù)。 第39頁/共47頁 2 0 00 00 !2! 0 ! n n n n n ff xffxf xx n f x n 如果在收斂區(qū)間內(nèi), 稱為 f(x) 的麥克勞林展開式. 2 0 00 00 !2! 0 ! n n n n n ff xffxx n f x n 則 第40頁/共47頁 幾個函數(shù)的麥克勞林展開公式 0 21 0 0 1 0 (1)() ! (2) sin( 1)() (21)! 1 (3)( 11) 1 (4) ln(1)( 1)( 11) 1 n x