驚訝,思考到感嘆

1、驚訝，思考到感嘆 -集合論悖論，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)及其它 集合論的著名悖論： 1、自然數(shù)與正偶數(shù)誰多 2、伽利略悖論 3、希爾伯特旅館 4、香迪悖論 5、康托爾悖論 6、羅素悖論 7、巴拿赫-塔爾斯分球悖論 8、湯姆森燈悖論 9、布萊克玻璃球悖論 10、圓周率機(jī) 11、忒修斯的船 12、谷堆悖論 13、禿頭悖論 無窮統(tǒng)帥：康托爾 羅素（英國(guó)哲學(xué)家、 數(shù)學(xué)家、社會(huì)學(xué)家 。1950 年諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)獲得者 ） Part one:集合論產(chǎn)生前的主要悖論： 部分=整體？ 自然數(shù)和正偶數(shù)誰多？ 自然數(shù)：1、2、3n 正偶數(shù)：1、4、62n 有多少個(gè)自然數(shù)，就有 多少個(gè)正偶數(shù)，但正 偶數(shù)又是自然數(shù)的一 部分！

2、伽利略悖論 自然數(shù)：1、2、3n 平方數(shù)：1、4、 9n2 仍然是整體與部分的關(guān) 系，究竟一個(gè)更大， 或是-相等？ 這樣的悖論產(chǎn)生的根本原因： 無限與無限可否比較？ 無限是否可以容納無限？ 希爾伯特旅館 狀況描述： 1、希爾伯特旅館有無限個(gè)房間 2、所有房間都住滿了人 3、又有無限個(gè)人想投宿 QUESTION: How to do? One of the keys: 所有在宿的人搬到房號(hào)為原來房號(hào) 兩倍的房間里，便可空出無限房間， 給新來的無限的人。 香迪悖論 情景描述： 1、香迪認(rèn)為：“我”用兩年的時(shí) 間只寫了“我”生活中頭兩天 的事情，按照這個(gè)速度，我永 遠(yuǎn)也寫不完自已的傳記。 2、羅素認(rèn)

3、為：如果確實(shí)有“永遠(yuǎn)” 存在的話，那么按那個(gè)速度， 香迪的傳記不會(huì)遺漏任何部分。 原因：香迪的每一天，都有 未來指定的一年去記錄， 絕無例外！ 再舉兩個(gè)例子拖延時(shí)間： Part two:康托爾集合論及其主要觀點(diǎn) 面對(duì)部分=整體；無限能否比 較等看似無法解決的問題或 難以解釋的悖論，康托爾克 服重重困難千辛萬 苦荊棘滿途終于， 終于，創(chuàng)立了-集合論。 康托爾是德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日 生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。 康托爾11歲時(shí)移居德國(guó)，在德國(guó)讀中學(xué)。1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世 大學(xué)，翌年入柏林大學(xué)，主修數(shù)學(xué)，1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。 1867年

4、以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過講師資 格考試，后在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。 集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，康托爾在研究函數(shù)論時(shí)產(chǎn)生了探索無窮集和 超窮數(shù)的興趣。康托爾肯定了無窮數(shù)的存在，并對(duì)無窮問題進(jìn)行了哲學(xué) 的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí) 的基礎(chǔ)。 集合論的主要觀點(diǎn)： 1、定義：如果能夠根據(jù)某一法則，使集合M與集合N中的元素建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān) 系，那么，集合M與集合N等勢(shì)或具有相同的基數(shù)。 （在數(shù)學(xué)上，基數(shù)(cardinal number)也叫勢(shì)(cardinality)，指集合論中刻畫任意集 合所含元素?cái)?shù)量多少的一個(gè)

5、概念。） 2、與自然數(shù)集具有相同基數(shù)的集合，叫可數(shù)集，正偶數(shù)集，整數(shù)集，自然數(shù)的 平方數(shù)集等，都是可數(shù)集。（所以，為什么部分=整體，簡(jiǎn)單來說表達(dá)的是 “勢(shì)”或“基數(shù)”相等。） 3、實(shí)數(shù)集比可數(shù)集有更高的等級(jí)，他稱之為不可數(shù)集，并證明N維空間上的點(diǎn) 集都是不可數(shù)集。 4、（1891年成功證明）康托爾定理：對(duì)任意一個(gè)集合來說，它的冪集（即一個(gè) 集合所有子集組成的集合）基數(shù)總是大于原集基數(shù)。 5、還有一些原則比較深，不明，忽略掉 ALL IN ALL：20世紀(jì)初，整個(gè)數(shù)學(xué)界陶醉在“一切數(shù)學(xué)成果都可建立在集合論 上。” Part 3:兩個(gè)悖論及第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 1899年康托爾的最大基數(shù)悖論： 取S是一

6、切集合的集合，根據(jù)康托 爾定理，S的冪集基數(shù)大于S的基數(shù)。 但S是一切集合的集合，它的基數(shù) 不可能小于其他集合的基數(shù)。 1902年羅素悖論： 把所有集合分為2類，第一類中 的集合以其自身為元素，第二 類中的集合不以自身為元素， 假令第一類集合所組成的集合 為P，第二類所組成的集合為Q， 于是有： P=A AA Q=A AA（：不屬于的 符號(hào)，因?yàn)閷?shí)在找不到） 問，QP 還是 QQ 這就是著名的“羅素悖論” ， 其直接導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)！ 他仍然是羅素，只是換了發(fā)型 （明確說法） 羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排 中律，一個(gè) 元素或者屬

7、于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對(duì)于一個(gè)給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對(duì) 這個(gè)看似合理的問題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根 據(jù)定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。 三大數(shù)學(xué)危機(jī) 其實(shí)，在羅素之前集合論中就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數(shù)悖論。 1899年，康托爾自己發(fā)現(xiàn)了最大基數(shù)悖論。但是，由于這兩個(gè)悖論都涉及集合中的許多復(fù)雜理論，所以只是在數(shù)學(xué)起了 一點(diǎn)小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所 以，羅素悖論一提出就在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)

8、界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動(dòng)。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心 地說：“一個(gè)科學(xué)家所遇到的最不合心意的事莫過于是在他的工作即將結(jié)束時(shí)，其基礎(chǔ)崩潰了。羅素先生的一封信正好 把 我置于這個(gè)境地?！贝鞯陆鹨惨虼送七t了他的什么是數(shù)的本質(zhì)和作用一文的再版。可以說，這一悖論就象在平靜的 數(shù) 學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。 危機(jī)產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造，通過對(duì)集合定 義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則?！斑@些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充 分 廣闊，使康托爾集合論中一切有價(jià)

9、值的內(nèi)容得以保存下來。”1908年，策梅羅在自已這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化 集 合論體系，后來經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進(jìn)，稱為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。除 ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中 出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。但在另一方面，羅素悖論對(duì)數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使 得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進(jìn)一步發(fā) 展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭(zhēng)，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)

10、流派，而各派的工作又 都促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展等等。 常識(shí)補(bǔ)充：三大數(shù)學(xué)危機(jī) NO.1：無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)（希帕索斯悖論 ） 前人觀點(diǎn)：一切數(shù)均可表成整數(shù)或 整數(shù)之比 ！（源自畢達(dá)哥拉斯） 面臨問題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì) 角線長(zhǎng)度是多少呢？ 危機(jī)結(jié)束：開始重視演譯推理，并 由此建立了幾何公理體系 NO.2：無窮小是零嗎？ （貝克萊悖論 ） 疑點(diǎn)：無窮小dx既等于零又不等于 零，召之即來，揮之即去 ，微積分 的這種處理方式是否合理？ 危機(jī)解除：在阿貝爾、柯西、戴德 金和康托爾等數(shù)學(xué)家的努力下，微 積分有了嚴(yán)格的理論及定義基礎(chǔ)。 成果：偉大的數(shù)學(xué)分析的誕生！ NO.3：羅素悖論 通俗版：理發(fā)師悖論：理發(fā)師

11、宣布了這樣一條原則：他給所 有不給自己刮臉的人刮臉，并 且，只給村里這樣的人刮臉。 原因：當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為：“一切 數(shù)學(xué)成果都可建立在集合論 上?！倍_素悖論簡(jiǎn)潔到只涉 及集合概念本身外不涉及別的 概念。 危機(jī)（較為圓滿地）解除：公 理化集合論體系 ，如ZF系統(tǒng)， NBG系統(tǒng)等。 成果：現(xiàn)代三大數(shù)學(xué)流派- 邏輯主義、形式主義和直覺主 義 希帕索斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發(fā)現(xiàn)密切相關(guān)。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。 天文學(xué)家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數(shù)學(xué)與人類的實(shí)踐活動(dòng)中有著極其廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是人類最 早認(rèn)識(shí)到的平

12、面幾何定理之一。在我國(guó)，最早的一部天文數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中就已有了關(guān)于這一定理的初步認(rèn)識(shí)。不過， 在我國(guó)對(duì)于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國(guó)時(shí)期的趙爽才用面積割補(bǔ)給出它的第一種證明。 在國(guó)外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達(dá)哥拉斯。因而國(guó)外一般稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”。并且據(jù)說畢達(dá)哥拉 斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個(gè)帶神秘色彩的稱號(hào)：“百牛定理”。 畢達(dá)哥拉斯 畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個(gè)合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別： 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)

13、基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則 是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓 人”。畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā) 現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無理數(shù)2 的 誕生。小小2的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 為之大為恐慌。實(shí)際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念這都是一個(gè)

14、極大的 沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識(shí)的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時(shí) 是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測(cè)量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí)，這個(gè)斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗(yàn)所確信的， 完全符合常識(shí)的論斷居然被小小的2的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識(shí)，多么荒謬的事！它簡(jiǎn)直把以前所知道的事情根 本推翻了。更糟糕的是，面對(duì)這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史 上一場(chǎng)大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。 歐多克索斯 二百年后，大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。他本人的著作

15、已失傳，他的成果被保 存在歐幾里德幾何原本一書第五篇中。歐多克索斯的巧妙方法可以避開無理數(shù)這一“邏輯上的丑聞”，并保留住與之相關(guān) 的一些結(jié)論，從而解決了由無理數(shù)出現(xiàn)而引起的數(shù)學(xué)危機(jī)。但歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過避免直接出現(xiàn)無 理數(shù)而實(shí)現(xiàn)的。這就生硬地把數(shù)和量肢解開來。在這種解決方案下，對(duì)無理數(shù)的使用只有在幾何中是允許的，合法的，在代數(shù) 中就是非法的，不合邏輯的?；蛘哒f無理數(shù)只被當(dāng)作是附在幾何量上的單純符號(hào)，而不被當(dāng)作真正的數(shù)。一直到18世紀(jì)，當(dāng)數(shù) 學(xué)家證明了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時(shí)，擁護(hù)無理數(shù)存在的人才多起來。到十九世紀(jì)下半葉，現(xiàn)在意義上的實(shí)數(shù)理論建立起 來后，無理數(shù)本質(zhì)被徹

16、底搞清，無理數(shù)在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根。無理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，一方面使人類對(duì)數(shù)的 認(rèn)識(shí)從有理數(shù)拓展到實(shí)數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。 貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)導(dǎo)源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學(xué)理論與實(shí)踐認(rèn)識(shí)的提高，十七世紀(jì)幾乎在同一時(shí)期，微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊 布尼茲各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運(yùn)用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微 積分理論都是不嚴(yán)格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對(duì)作為基本概念的無窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的。因而，從微積分誕

17、生時(shí)就遭到了一 些人的反對(duì)與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國(guó)大主教貝克萊。 1734年，貝克萊以“渺小的哲學(xué)家”之名出版了一本標(biāo)題很長(zhǎng)的書分析學(xué)家；或一篇致一位不信 神數(shù)學(xué)家的論文，其中審查一下近代分析學(xué)的對(duì)象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點(diǎn)有更清晰的表達(dá)，或更明顯的推理。在這本書中，貝克萊對(duì) 牛頓的理論進(jìn)行了攻擊。例如他指責(zé)牛頓，為計(jì)算比如說 x2 的導(dǎo)數(shù)，先將 x取一個(gè)不為0的增量 x ，由 (x + x)2 - x2 ，得到 2xx + (x2) ，后再被 x 除， 得到 2x + x ，最后突然令 x = 0 ，求得導(dǎo)數(shù)為 2x 。這是“依靠雙重錯(cuò)誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果”。因

18、為無窮小量在牛頓的理論中一會(huì)兒說是零，一會(huì)兒 又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的幽靈”。貝克萊的攻擊雖說出自維護(hù)神學(xué)的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。 數(shù) 學(xué)史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”?；\統(tǒng)地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當(dāng)時(shí)實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既 是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個(gè)矛盾。這一問題的提出在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了一定的混亂，由此導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。 牛頓與萊布尼茲 針對(duì)貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過完善自己的理論來解決，但都沒有獲得完全成功。這使數(shù)學(xué)家們陷入了尷尬境地。一

19、方面微積分在應(yīng)用中大 獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論。這種情況下對(duì)微積分的取舍上到底何去何從呢？ “幾代數(shù)學(xué)家，包括達(dá)朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，數(shù)量驚人前所未有的處女地被開墾出來，微積分理論獲 得了空前豐富。18世紀(jì)有時(shí)甚至被稱為“分析的世紀(jì)”。然而，與此同時(shí)十八世紀(jì)粗糙的，不嚴(yán)密的工作也導(dǎo)致謬誤越來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動(dòng) 了數(shù)學(xué)家們的神經(jīng)。下面僅舉一無窮級(jí)數(shù)為例。 無窮級(jí)數(shù)S11111到底等于什么？ 當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為一方面S（11）（11）0；另一方面，S1（11）（11）1，那么豈非01？這一矛盾竟使傅立葉那樣 的

20、數(shù)學(xué)家困惑不解，甚至連被后人稱之為數(shù)學(xué)家之英雄的歐拉在此也犯下難以饒恕的錯(cuò)誤。他在得到 1 + x + x2 + x3 + . = 1/(1- x) 后，令 x = 1，得出 S1111112！ 由此一例，即不難看出當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的混亂局面了。問題的嚴(yán)重性在于當(dāng)時(shí)分析中任何一個(gè)比較細(xì)致的問題，如級(jí)數(shù)、積分的收斂性、微分積分的換序、 高階微分的使用以及微分方程解的存在性都幾乎無人過問。尤其到十九世紀(jì)初，傅立葉理論直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)問題的徹底暴露。這樣，消除不諧和音， 把分析重新建立在邏輯基礎(chǔ)之上就成為數(shù)學(xué)家們迫在眉睫的任務(wù)。到十九世紀(jì)，批判、系統(tǒng)化和嚴(yán)密論證的必要時(shí)期降臨了。 柯西 使分析基

21、礎(chǔ)嚴(yán)密化的工作由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西邁出了第一大步?？挛饔?821年開始出版了幾本具有劃時(shí)代意義的書與論文。其中給出了分析學(xué)一系列基本 概念的嚴(yán)格定義。如他開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運(yùn)算化為一系列不等式的推導(dǎo)。這就是所謂極限概念的“算術(shù)化”。后來，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯 給出更為完善的我們目前所使用的“- ”方法。另外，在柯西的努力下，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級(jí)數(shù)的和等概念也建立在了較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。不過，在 當(dāng)時(shí)情況下，由于實(shí)數(shù)的嚴(yán)格理論未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善。 柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨(dú)立深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實(shí)數(shù)體系。 魏爾斯特拉斯的理論可歸結(jié)為遞增有界數(shù)列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”來定義無理數(shù)。1892年，另一個(gè)數(shù) 學(xué)家創(chuàng)用“區(qū)間套原理”來建立實(shí)數(shù)理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作。數(shù)學(xué)分析的無矛 盾性問題歸納為實(shí)數(shù)論的無矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。重建微積分學(xué)基礎(chǔ)，這項(xiàng)重要而困難的工作 就這樣經(jīng)過許多杰出學(xué)者的努力而勝利完成了。微積分學(xué)堅(jiān)實(shí)牢固