對(duì)幾節(jié)課的敘述與問題討論

1、對(duì)幾節(jié)課的敘述與問題討論 金成梁一、認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù) “負(fù)數(shù)”進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)教材，2001年是第3次?！罢龜?shù)與負(fù)數(shù)”的概念，是在認(rèn)識(shí)了“相反意義的量”的基礎(chǔ)上引進(jìn)的。為了表示相反意義的量，用以往學(xué)習(xí)過的一種數(shù)是不夠的。需要另外用某種符號(hào)表示兩種相反的意義，用來取代日常生活中使用的形形色色的表示相反意義的詞語。如“零上5”用“+5”表示，“零下5”就用“5”表示。前面添上了正號(hào)“+”的數(shù)，如“+5”叫做“正數(shù)”；前面添上了負(fù)號(hào)“”的數(shù)，如“5”，就叫“負(fù)數(shù)”。因此，為了認(rèn)識(shí)正、負(fù)數(shù)，形成“正數(shù)”與“負(fù)數(shù)”的概念，首先要認(rèn)識(shí)“相反意義的量”。在兩種相反意義的量中，哪一種意義的量用正數(shù)表示？本來可以有不同的選

2、擇。我們可以隨意選擇一種意義的量，并用正數(shù)表示它，那么另一種相反意義的量就用負(fù)數(shù)表示，但有習(xí)慣用法。如收入和支出，總是用正數(shù)表示收入；盈利和虧損，總是用正數(shù)表示盈利。 “相反方向的量”是“相反意義的量”的一種特例。如第4頁例4，“向東2100米”與“向西2100米”是一對(duì)相反方向的量，“向南1500米”與“向北1500米”也是一對(duì)相反方向的量。對(duì)于每一對(duì)相反方向的量，我們都可以用正數(shù)表示其中一個(gè)方向的量，和它方向相反的量則可用負(fù)數(shù)表示。但例4在一幅圖中出示了兩對(duì)相反方向的量，事實(shí)上，像這樣的相反方向的量在同一平面內(nèi)還有很多對(duì)，要用數(shù)學(xué)概念和符號(hào)把它們同時(shí)、分別表示清楚，僅僅用正數(shù)和負(fù)數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不

3、夠的。這就是說，僅僅用正數(shù)和負(fù)數(shù)來表示同一平面內(nèi)不同方向的量是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。高中數(shù)學(xué)將告訴我們，為了表示同一平面內(nèi)不同方向的量，可以用“平面向量”這樣的數(shù)學(xué)模型。解題時(shí)，先要弄清楚題目中有哪兩種“相反意義的量”，約定：哪種意義的量用正數(shù)表示，則相反的另一種意義的量就只能用負(fù)數(shù)表示。有教師在教學(xué)中說“生活中很多地方用到了正數(shù)與負(fù)數(shù)”，這不符合事實(shí)，只能說“生活中很多地方會(huì)遇到相反意義的量”。因?yàn)檫@些相反意義的量并沒有用正、負(fù)數(shù)表示，僅僅是在同一種數(shù)的前面添上了表示相反意義的詞語。為了使這種自然語言與符號(hào)語言的混合語言轉(zhuǎn)化為單一的數(shù)學(xué)符號(hào)語言，我們引入了正數(shù)與負(fù)數(shù)?？傊纬伞跋喾匆饬x的量”的概念，

4、是學(xué)習(xí)“正數(shù)與負(fù)數(shù)”的關(guān)鍵。二、長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)小學(xué)生第一次直觀地認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體是在一年級(jí)（上冊(cè)）。教師讓學(xué)生看一些長(zhǎng)方體形狀的物體，在他們的記憶中留下長(zhǎng)方體的表象。這些表象就成了他們以后判斷一個(gè)物體的形狀是不是長(zhǎng)方體的唯一依據(jù)。六年級(jí)學(xué)生認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體，將從感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)跨一大步。從根據(jù)表象儲(chǔ)備的對(duì)照來判斷改變?yōu)楦鶕?jù)一個(gè)圖形的特征來判斷是不是長(zhǎng)方體。為了系統(tǒng)地、全面地認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體的特征，首先要弄清楚從哪幾方面去研究。當(dāng)然，教師可以告訴學(xué)生應(yīng)該從面、棱和頂點(diǎn)三方面去研究長(zhǎng)方體的特征，但也可以引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)應(yīng)該從這三方面去研究。為了幫助多數(shù)學(xué)生想到這一點(diǎn)，可以用類比的方法啟發(fā)：長(zhǎng)方形有哪些特征

5、？長(zhǎng)方形的特征，我們是從哪幾方面去研究的？那么，長(zhǎng)方體的特征，我們可以從哪幾方面去研究呢？學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體特征的研究和發(fā)現(xiàn)可能只是點(diǎn)滴的、不全面的。教師要不斷地把學(xué)生的思維引向“縱深”和被他們忽視的方面，以達(dá)到完整、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。還要告訴學(xué)生：長(zhǎng)方體的諸多特征中，最基本（可由它引伸出其他特征）的是： 由六個(gè)面圍成的，每個(gè)面都是長(zhǎng)方形。這可以作為判斷一個(gè)物體的形狀是不是長(zhǎng)方體的依據(jù)。為了劃分出最基本的特征，首先要把握各項(xiàng)特征之間的邏輯聯(lián)系，以及該組特征與立體幾何長(zhǎng)方體的定義中表述的概念內(nèi)涵的等價(jià)性。為了認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體的每一項(xiàng)特征，學(xué)生可能用到了思維水平不同的方法。教師要幫助學(xué)生弄清自己得出結(jié)論所用的方法，

6、并力求使他們學(xué)會(huì)和掌握思維水平更高的方法。如長(zhǎng)方體有幾個(gè)頂點(diǎn)、幾條棱，除“逐個(gè)計(jì)數(shù)”和“分組計(jì)數(shù)”（即“按群計(jì)數(shù)”）外，還應(yīng)該教會(huì)學(xué)生“推算”的方法：因?yàn)殚L(zhǎng)方體的每個(gè)面內(nèi)有4條棱；共有6個(gè)面；每條棱都為兩個(gè)相鄰的面所共有；所以，長(zhǎng)方體共有462=12（條）棱。關(guān)于長(zhǎng)方體中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)可用類似的方法推算。這樣，我們就引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)用“數(shù)數(shù)”的方法提升到運(yùn)用“推算”的方法。后者實(shí)質(zhì)上是根據(jù)長(zhǎng)方體的諸多特征的內(nèi)在聯(lián)系，由長(zhǎng)方體的基本特征推出其它特征，具有訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維的重大意義。為了使學(xué)生認(rèn)識(shí)“長(zhǎng)方體的對(duì)面全等”，教師們想了很多辦法：如制作一個(gè)長(zhǎng)方形紙片，分別與兩個(gè)相對(duì)的面疊合；或者先弄清對(duì)面的形狀

7、（都是長(zhǎng)方形），然后，對(duì)它們的長(zhǎng)與寬分別量一量、比一比，以得出“分別相等”的結(jié)論，從而認(rèn)定它們“完全一樣”（即全等）的長(zhǎng)方形。諸如此類的方法實(shí)質(zhì)上都是“實(shí)驗(yàn)的方法”。在數(shù)學(xué)探究中，實(shí)驗(yàn)的方法只能用于得出猜想，不能作為獲得定論的依據(jù)。 因此，在得出“相對(duì)的面完全相同”這一結(jié)論時(shí)，首先要使學(xué)生明確“什么是相對(duì)的面”。長(zhǎng)方體有6個(gè)面。對(duì)于某一個(gè)面來說，都有4個(gè)面分別和它有一條公共的邊。這些都是“和這個(gè)面相鄰的面”。另一個(gè)面和它沒有公共的邊，叫做這個(gè)面的“對(duì)面”?！跋鄬?duì)的棱”也應(yīng)該首先明確它的意義，或者改為“互相平行的每一組棱”。討論問題時(shí)不首先明確討論的對(duì)象，不明確概念，往往是導(dǎo)致混亂或“無謂爭(zhēng)論”

8、的原因。其次，應(yīng)該承認(rèn)部分學(xué)生所用的“憑觀察，運(yùn)用直覺思維作出判斷”，或者“兩次疊合”，或者“量一量，比一比”都是正確的、合理的。但這種“觀察的方法”“實(shí)驗(yàn)的方法”得出的只是“猜想”，不是“定論”。在數(shù)學(xué)中，為了得出正確的結(jié)論必須經(jīng)過嚴(yán)密的論證。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，從低年級(jí)到高年級(jí)，要逐漸增加論證的內(nèi)容，使學(xué)生得到越來越多的邏輯推理的訓(xùn)練，以減少升入中學(xué)后學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的困難，保證他們的“可持續(xù)發(fā)展”。在學(xué)生交流時(shí)，可以引導(dǎo)他們將“觀察（直覺）的方法”“實(shí)驗(yàn)的方法”與“論證的方法”相結(jié)合：ABCD是長(zhǎng)方形AB=CD AEFB與CGHDBFGC是長(zhǎng)方形BF=CG 完全相同三、六年級(jí)（上冊(cè)）列方程解決

9、實(shí)際問題這是學(xué)生在五年級(jí)（下冊(cè)）的基礎(chǔ)上第二輪學(xué)習(xí)“列方程解決實(shí)際問題”，目的是鞏固“方程”的概念，提高“解方程”以及“列方程解決實(shí)際問題”的能力。如由簡(jiǎn)單的“比多、比少關(guān)系”和“倍數(shù)關(guān)系”擴(kuò)大到復(fù)合型關(guān)系“幾倍多幾”或“幾倍少幾”。教師要設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生適應(yīng)這種擴(kuò)展。教學(xué)時(shí)，可以復(fù)習(xí)方程的意義、解方程的方法及其依據(jù)，以及列方程解實(shí)際問題的一般步驟，幫助學(xué)生“溫故知新”。進(jìn)而運(yùn)用變式訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)會(huì)解答更復(fù)雜的方程，并且進(jìn)一步掌握列方程的分析法與綜合法。教學(xué)例1時(shí)，要幫助學(xué)生弄清題意，分清條件和問題：大雁塔高64m大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22 m 小雁塔高多少米？ 問題注意用兩種觀點(diǎn)看待已知條件所表述的數(shù)量關(guān)系：對(duì)于“大雁塔的高度”和“小雁塔的高度”來說，是“幾倍少幾”的復(fù)合型數(shù)量關(guān)系；對(duì)于“大雁塔的高度”和“小雁塔高度的2倍”來說，則是“多幾（少幾）”的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系。通過復(fù)合型數(shù)量關(guān)系向簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系的化歸，訓(xùn)練學(xué)生辯證地看問題，感受化歸思想方法的運(yùn)用，提高根據(jù)數(shù)量關(guān)系列方程的能力。讓學(xué)生注意：設(shè)“小雁塔的高度”是x米后，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列方