第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量

1、動態(tài)電路的相量分析法和 s域分析法 1 2 v 瞬時功率瞬時功率 瞬時功率瞬時功率P P定義為能量對時間的導(dǎo)數(shù)，是由同一時刻的電壓定義為能量對時間的導(dǎo)數(shù)，是由同一時刻的電壓 與電流的乘積來確定的：與電流的乘積來確定的： v 在時間區(qū)間在時間區(qū)間t t0 0、t t1 1內(nèi)，給予二端元件或單口網(wǎng)絡(luò)的能內(nèi)，給予二端元件或單口網(wǎng)絡(luò)的能 量為：量為： )()()(titu dt dw tp 1 0 1 0 )()()()(),( 0110 t t t t twtwdttitu dt dw ttw v如果如果u(t)u(t)和和i(t)i(t)的參考方向一致，則的參考方向一致，則P(t)P(t)就是流入

2、元就是流入元 件或網(wǎng)絡(luò)的能量的變化率，件或網(wǎng)絡(luò)的能量的變化率，p(t)p(t)稱為該元件或網(wǎng)絡(luò)所稱為該元件或網(wǎng)絡(luò)所 吸收的功率。因此，吸收的功率。因此，P(t)0P(t)0，就表示能量確實(shí)流入元，就表示能量確實(shí)流入元 件或網(wǎng)絡(luò)；件或網(wǎng)絡(luò)；p(t)0p(t)0，就表示能量實(shí)際上流出元件或網(wǎng)，就表示能量實(shí)際上流出元件或網(wǎng) 絡(luò)。絡(luò)。 3 v如果元件是電阻元件，流人的能量將變換成熱能而被如果元件是電阻元件，流人的能量將變換成熱能而被 消耗，不可能再行流出。因此，對電阻元件來說，消耗，不可能再行流出。因此，對電阻元件來說， p(t)p(t)不可能為負(fù)。不可能為負(fù)。 v如果元件是動態(tài)元件，流入的能量可以被

3、存儲起來，如果元件是動態(tài)元件，流入的能量可以被存儲起來， 而在其他時刻再行流出，送回外電路。因此，對這類而在其他時刻再行流出，送回外電路。因此，對這類 元件來說，元件來說，p(t)p(t)有時為正，有時為負(fù)。有時為正，有時為負(fù)。 v流入動態(tài)元件的能量可以為正或負(fù)，以電容為例，視流入動態(tài)元件的能量可以為正或負(fù)，以電容為例，視u u2 2(t)(t)大大 于或小于于或小于u u2 2(t(t0 0) )而定。亦即而定。亦即P(t)P(t)可能為正或?yàn)樨?fù)，但動態(tài)元件可能為正或?yàn)樨?fù)，但動態(tài)元件 的儲能卻總為正，因?yàn)榈膬δ軈s總為正，因?yàn)閡 u2 2(t)(t)或或i i2 2(t)(t)總是大于零的。儲

4、能可以總是大于零的。儲能可以 增加或減小，但儲能不可能為負(fù)值。增加或減小，但儲能不可能為負(fù)值。 4 5 6 施加于電阻兩端的電壓：)cos()(tUtu m 電阻吸收的瞬時功率： 流過該電阻的電流： )cos( )( )(t R U R tu ti m )2(cos1 )2(cos1 22 )2(cos1 2 1 )(cos)()()( 2 tIU t IU tIU tIUtitutp mm mm mm 2 7 v平均功率：瞬時功率在一個周期之內(nèi)的平均值平均功率：瞬時功率在一個周期之內(nèi)的平均值 8 v電阻的平均功率：電阻的平均功率： v通常功率指平均功率，又稱為有功功率（通常功率指平均功率，又

5、稱為有功功率（active power， 對應(yīng)無功功率）對應(yīng)無功功率） T dttpP 0 )( R U UIdttUIdttpP TT 2 00 )2cos(1 )( v流過流過2020電阻的電流為電阻的電流為 i(t)=8cos(314t+60i(t)=8cos(314t+60 ) )， 求電阻的平均功率。求電阻的平均功率。 解：解： 9 R 2 1 22 2 m IRI R U P )(640208 2 1 R 2 1 22 WIP m v電感功率電感功率 v設(shè)電感兩端電壓：設(shè)電感兩端電壓：u(t)=Uu(t)=Um mcos(cos(t)t) 10 90 90 0 L U L U Lj

6、 U Z U m mmm L m I )sin()90cos()(t L U t L U ti mm )2sin( )sin()cos(2 2 1 )sin()cos()()()( tUI ttIU ttIUtitutp mm mm 電感平均功率電感平均功率P=0（吸收（吸收/釋放）釋放） 11 )sin()( )cos()( )2sin()( tIti tUtu tUItp m m )2cos1 ( 2 1 )2cos1 ( 22 1 )(sin 2 1 )( 2 1 2 2 2 2 2 tLI t I L tLI tLiW m m L v定義：電感儲能的最大變化率。定義：電感儲能的最大變化

7、率。 12 UItUItpQL maxmax 2sin)( v 無功功率與儲能關(guān)系無功功率與儲能關(guān)系 LL L WLIUIQ LIUILjIZU 2 2 電感的無功功率等于其儲能平均值的2倍。 儲能越多，能量每秒往返的次數(shù)越多，則能量往 返的規(guī)模也越大。 v 無功功率量綱：（區(qū)別于有功功率）無功功率量綱：（區(qū)別于有功功率） var（乏）（乏）=V*A=W 1313 v 電容功率電容功率 v 設(shè)電容電流：設(shè)電容電流：i(t)=Imsin(t)= Imcos(t-90) C I C I C I I Cj IZ m mmm mm cU 180 90 901 )cos()cos()(tUt C I t

8、u m m )2sin( )sin()cos(2 2 1 )sin()cos()()()( tUI ttIU ttIUtitutp mm mm 電容平均功率電容平均功率P=0（吸收（吸收/釋放）釋放） )sin()( )cos()( )2sin()( tIti tUtu tUItp m m )2cos1 ( 2 1 )2cos1 ( 22 1 )(cos 2 1 )( 2 1 2 2 2 2 2 tCU t U C tCU tCuW m m C 15 v定義：電容儲能的最大變化率。定義：電容儲能的最大變化率。 UItUItpQC maxmax 2sin)( v 無功功率與儲能關(guān)系無功功率與儲能

9、關(guān)系 CC c WCUUIQ CUIUCj Z U I 2 2 電容的無功功率為負(fù)，其值等于其儲能 平均值的2倍。 v在正弦穩(wěn)態(tài)條件下求圖中各電阻的平均功率在正弦穩(wěn)態(tài)條件下求圖中各電阻的平均功率 的總和，各電感、電容平均儲能的總和，以的總和，各電感、電容平均儲能的總和，以 及電源的平均功率。及電源的平均功率。 16 17 v首先做出相量模型：首先做出相量模型： v列出網(wǎng)孔方程：列出網(wǎng)孔方程： v解得：解得： 18 v電阻平均功率總和：電阻平均功率總和： v電感平均儲能總和：電感平均儲能總和： v電容平均儲能總和：電容平均儲能總和： )(356. 0)2 . 0563. 0( 222 2 2 1

10、 WRIRIP )(178.0)2 .0563.0( 2 1 2 1 2 1 222 2 2 1 JLILIP )(0698.0)1 .036.0( 2 1 2 1 2 1 )(36.0|5 .021| )(1 .0 222 2 2 1 221 2 2 JCUCUW VjjIZRZIU V C I U C CL 19 )7 .50cos(563. 0 )2(cos 2 )7 .50cos(563. 0 )7 .50sin()2sin()2cos( )7 .50cos()2cos()2cos( 563. 02 )7 .502cos()2cos( 563. 02 )7 .502cos(563. 0

11、2)2cos(2 1 )()( 1 )7 .502cos(563. 02)( 7 .50563. 0 0 2 0 0 0 00 1 1 T T T T TT dtt T dttt dttt T dttt T dttt T dttitu T P tti I v電源平均功率：電源平均功率： 0.356W=電阻平均功率和電阻平均功率和 v問題：如果問題：如果R R、L L、C C組成一個單口網(wǎng)絡(luò)，組成一個單口網(wǎng)絡(luò)， 該網(wǎng)絡(luò)平均功率如何計(jì)算？該網(wǎng)絡(luò)平均功率如何計(jì)算？ v等于端口電壓有效值和端口電流有效值等于端口電壓有效值和端口電流有效值 乘積？乘積？ v9-39-3例題：例題： 20 T dttitu

12、 T p UI tti ttu 0 )7 .50cos(563. 0)()( 1 563. 0563. 01 )7 .502cos(2563. 0)( )2cos(2)( v含動態(tài)元件的單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率不等于電含動態(tài)元件的單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率不等于電 壓有效值和電流有效值的乘積。壓有效值和電流有效值的乘積。 vabab端口的等效電路：端口的等效電路： 21 375. 1125. 1 7 .50776. 1 7 .50563. 0 01 01,7 .50563. 0 j I U Z UI 圖為等效電路相量圖。圖為等效電路相量圖。 22 coscos )(356. 0563. 0633. 0 7

13、.50cos633. 0563. 0125. 1 7 .50563. 0125. 1 111 1 1 UIIUIUP WIU UU RIU R R R R 即 在一般情況下，若單口網(wǎng)絡(luò)端口電壓與端口電流的在一般情況下，若單口網(wǎng)絡(luò)端口電壓與端口電流的 相位差角為相位差角為，則電阻部分的電壓應(yīng)為，則電阻部分的電壓應(yīng)為Ucos ， 計(jì)算平均功率的公式應(yīng)為計(jì)算平均功率的公式應(yīng)為P=UIcos ：單口網(wǎng)絡(luò)端口電壓與端口電流的單口網(wǎng)絡(luò)端口電壓與端口電流的相位差角，相位差角， 即單口網(wǎng)絡(luò)的即單口網(wǎng)絡(luò)的阻抗角阻抗角 l=0=0，單口網(wǎng)絡(luò)為電阻類型，平均功率即，單口網(wǎng)絡(luò)為電阻類型，平均功率即P=UIP=UI l

14、= =9090，單口網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)為純電感性或純電容性，平，單口網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)為純電感性或純電容性，平 均功率為均功率為0 0 l-90 -90 90,90,|90,單口網(wǎng)絡(luò)平均功率小于單口網(wǎng)絡(luò)平均功率小于0 0，對外提供功率，對外提供功率 23 單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部含電源或受控源單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部含電源或受控源 24 定義：定義：S=UIS=UI 視在功率視在功率（apparent powerapparent power） l區(qū)別于平均功率，二者一般不相等區(qū)別于平均功率，二者一般不相等 l單位：單位：VAVA（伏安）（伏安） l功率因數(shù)：功率因數(shù)： cos S P 視在功率意義：能夠反映設(shè)備的容量視在功率意義：能夠反

15、映設(shè)備的容量 例如發(fā)電機(jī)、例如發(fā)電機(jī)、UPS電源等等電源等等 額定功率的標(biāo)稱值為視在功率，實(shí)際工作時能額定功率的標(biāo)稱值為視在功率，實(shí)際工作時能 夠提供的最大功率要乘以功率因數(shù)夠提供的最大功率要乘以功率因數(shù)cos 25 內(nèi)部不含電源的單口網(wǎng)絡(luò)N0的平均功率也可以根據(jù)功 率守恒法則來計(jì)算： 一般來說，網(wǎng)絡(luò)吸收的總瞬時功率P應(yīng)為各元件吸收 的瞬時功率的總和， p=pk 對上式兩端取一周期的平均值，可得 P=Pk 若元件為電感或電容，則該元件的平均功率為零。因 此對不含電源的單口網(wǎng)絡(luò)來說，消耗的平均功率 P=網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部各電阻消耗的平均功率的總和 =端口處所接電源提供的平均功率 電路如圖所示，求電路的P，

16、S和。 )(5000 6 . 0 3000 )(30003)1010( 3 1 1010)3(10 13 100 6 . 0) 3 4 arctgcos(cos ) 3 4 arctgsin() 3 4 arctgcos(26 . 12 . 1)2/() 13( 1 22 電容性 ：解 W P S WRIP arctgj jZR U I jjjjZ L R )(30006 . 05000cos )(500010050 3 4 50 3 4 arg2 100 6 . 0) 3 4 arctgcos(cos ) 3 4 arctgsin() 3 4 arctgcos(26 . 12 . 1)2/(

17、) 13( 2 WSP WUIS arctg tg Z U I jjjjZ Z 電容性 ：解 v單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率定義：單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率定義： 29 sinUIQ )(2 CL CL WW QQQ 無功功率守恒 v單口網(wǎng)絡(luò)的視在功率：單口網(wǎng)絡(luò)的視在功率： 22 QPS v一般情況下：一般情況下：S SSSk k v無功功率計(jì)算：無功功率計(jì)算： 30 Im Im sin 2 2 YUQ ZIQ UIQ 31 )sin()UIcos(-UI IUS , IUIUIU IU j IIUU 則 設(shè) )(2 CL WWP jQPS 復(fù)功率復(fù)功率 定義：定義： S 復(fù)功率 的模即為視在功率S。 復(fù)功率的

18、實(shí)部P應(yīng)為網(wǎng)絡(luò)中各電阻元件消耗功率的總 和，虛部Q應(yīng)為網(wǎng)絡(luò)中各動態(tài)元件無功功率的代數(shù)和， 且WL應(yīng)為網(wǎng)絡(luò)中所有電感儲能平均值的總和，WC應(yīng) 為網(wǎng)絡(luò)中所有電容儲能平均值的總和。這一關(guān)系稱為 復(fù)功率守恒。 S 32 正弦穩(wěn)態(tài)條件下，負(fù)載從電源獲得最大功率的條件？正弦穩(wěn)態(tài)條件下，負(fù)載從電源獲得最大功率的條件？ 交流電源的電壓為US，其內(nèi)阻抗為ZS=RS+jXS。 負(fù)載阻抗則為ZL=RL+jXL。 分析兩種情況： 負(fù)載的電阻及電抗均可獨(dú)立地變化 負(fù)載阻抗角固定而?？筛淖?v計(jì)算負(fù)載電阻的功率：計(jì)算負(fù)載電阻的功率： 33 22 2 2 22 )()( )()( )()( LSLS S LLL LSLS S LSLS S XXRR U RRIP XXRR U I XXjRR U I 34 22 2 2 )()( LSLS S LLL XXRR U RRIP 由于XL只出現(xiàn)在分母中，顯然，對任何RL值來說，當(dāng) XL=-XS時分母之值為最小，此即為所求的XL值。 2 2 )( LS S LL RR U RP 此時 由電阻網(wǎng)絡(luò)最大功率傳輸定理可得，RL=