定積分及其應(yīng)用(精講精練)38頁

1、第5章 定積分及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì).掌握變上限定積分的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法.熟練應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分，熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法.了解定積分在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用，會(huì)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積.定積分和不定積分是積分學(xué)中密切相關(guān)的兩個(gè)基本概念,定積分在自然科學(xué)和實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用.本章將從實(shí)例出發(fā)介紹定積分的概念、性質(zhì)和微積分基本定理,最后討論定積分在幾何、物理上的一些簡單應(yīng)用.5.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分無論在理論上還是實(shí)際應(yīng)用上，都有著十分重要的意義，它是整個(gè)高等數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一.5.1.1實(shí)例分析1.曲邊梯形的面積在初等數(shù)學(xué)

2、中,我們已經(jīng)學(xué)會(huì)計(jì)算多邊形和圓的面積,至于任意曲邊所圍成的平面圖形的面積,只有依賴于曲邊梯形并利用極限的方法才能得到比較完滿的解決.所謂曲邊梯形,就是在直角坐標(biāo)系中,由直線及曲線所圍成的圖形，如圖5.1(a),(b),(c)都是曲邊梯形.a o xa o b xya o b xbyy(a)(b)(c)圖5.1現(xiàn)在求時(shí)，在連續(xù)區(qū)間上圍成的曲邊梯形的面積A（如圖5.1(a),(b)所示），用以往的知識(shí)沒有辦法解決.為了求得它的面積，我們按下述步驟來計(jì)算：(1)分割將曲邊梯形分割成小曲邊梯形在區(qū)間內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)：，把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間：，第個(gè)小區(qū)間的長度為，過每個(gè)分點(diǎn)作垂直于軸的直線段，它們把曲邊梯

3、形分成個(gè)小曲邊梯形（圖5.2），小曲邊梯形的面積記為. o xy圖5.2(2)近似用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積在小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作以為底，為高的小矩形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，則.(3)求和求個(gè)小矩形面積之和個(gè)小矩形面積之和近似等于曲邊梯形之和，即.(4)取極限令，當(dāng)分點(diǎn)無限增多且時(shí)，和式的極限便是曲邊梯形的面積A，即.2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其速度是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，求物體在時(shí)刻到間所經(jīng)過的路程.我們知道，勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式是：，現(xiàn)設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度是隨時(shí)間的變化而連續(xù)變化的，不能直接用此公式計(jì)算路程，而采用以下方法計(jì)算：(1)分割把整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間分

4、成個(gè)時(shí)間段在時(shí)間間隔內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)：，把分成個(gè)小區(qū)間：，第個(gè)小區(qū)間的長度為第個(gè)時(shí)間段內(nèi)對(duì)應(yīng)的路程記作.(2)近似在每個(gè)小區(qū)間上以勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程近似代替變速直線運(yùn)動(dòng)的路程在小區(qū)間上任取一點(diǎn),用速度近似代替物體在時(shí)間上各個(gè)時(shí)刻的速度，則有.(3)求和求個(gè)小時(shí)間段路程之和將所有這些近似值求和，得到總路程的近似值，即.(4)取極限令，當(dāng)分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無限增多且時(shí)，和式的極限便是所求的路程.即 從上面兩個(gè)實(shí)例可以看出，雖然二者的實(shí)際意義不同，但是解決問題的方法卻是相同的，即采用“分割-近似-求和-取極限”的方法，最后都?xì)w結(jié)為同一種結(jié)構(gòu)的和式極限問題.類似這樣的實(shí)際問題還有很多，我們拋開實(shí)際問題的具體意

5、義，抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)特征，從數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)加以研究，就引出了定積分的概念.5.1.2定積分的概念定義5.1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，任取分點(diǎn)把區(qū)間任意分割成個(gè)小區(qū)間，第個(gè)小區(qū)間的長度為，記.在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)作和式，當(dāng)時(shí)，若極限存在（這個(gè)極限值與區(qū)間的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)），則稱函數(shù)在上可積，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即 . 其中，“”稱為被積函數(shù)，“”稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區(qū)間.根據(jù)定積分的定義，前面所討論的兩個(gè)實(shí)例可分別敘述為：曲邊梯形的面積是曲線在區(qū)間上的定積分.().變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所走過的路程等于速度函數(shù)在時(shí)間間

6、隔上的定積分.關(guān)于定積分的定義作以下幾點(diǎn)說明：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是可積的；閉區(qū)間上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)也是可積的.定積分是一個(gè)確定的常數(shù)，它取決于被積函數(shù)和積分區(qū)間，而與積分變量使用的字母的選取無關(guān)，即有.在定積分的定義中，有，為了今后計(jì)算方便，我們規(guī)定：.容易得到 .5.1.3定積分的幾何意義設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，由曲線及直線所圍成的曲邊梯形的面積記為.由定積分的定義及5.1.1實(shí)例1，容易知道定積分有如下幾何意義：（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，（3）如果在上有時(shí)取正值，有時(shí)取負(fù)值時(shí)，那么以為底邊，以曲線為曲邊的曲邊梯形可分成幾個(gè)部分，使得每一部分都位于軸的上方或下方.這時(shí)定積分在幾何上表示上述

7、這些部分曲邊梯形面積的代數(shù)和，如圖5.3所示，有其中分別是圖5.3中三部分曲邊梯形的面積，它們都是正數(shù).例5.1.1 利用定積分的幾何意義，證明.證 令 ，顯然，則由和直線，所圍成的曲邊梯形是單位圓位于軸上方的半圓.如圖5.4所示.因?yàn)閱挝粓A的面積，所以 半圓的面積為.由定積分的幾何意義知： .5.1.4定積分的性質(zhì)由定積分的定義，直接求定積分的值，往往比較復(fù)雜，但易推證定積分具有下述性質(zhì)，其中所涉及的函數(shù)在討論的區(qū)間上都是可積的.性質(zhì)5.1.1 被積表達(dá)式中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前，即.性質(zhì)5.1.2 兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)定積分的代數(shù)和，即.這一結(jié)論可以推廣到任意有限多個(gè)函數(shù)代

8、數(shù)和的情形.性質(zhì)5.1.3（積分的可加性）對(duì)任意的點(diǎn)，有.注意 的任意性意味著不論是在之內(nèi)，還是在之外，這一性質(zhì)均成立.性質(zhì)5.1.4如果被積函數(shù)為常數(shù)),則.特別地,當(dāng)時(shí),有.性質(zhì)5.1.5（積分的保序性）如果在區(qū)間上,恒有，則.性質(zhì)5.1.6（積分估值定理）如果函數(shù)在區(qū)間上有最大值和最小值,則性質(zhì)5.1.7 (積分中值定理) 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則在內(nèi)至少有一點(diǎn),使得 .證 因在內(nèi)連續(xù)，所以在內(nèi)有最大值和最小值，由性質(zhì)5.1.6知： 從而有 這就說：是介于與之間的一個(gè)實(shí)數(shù).由連續(xù)函數(shù)的介值定理1.10知：至少存在一點(diǎn)，使得.即 .o a b xy圖5.5注 性質(zhì)5.1.7的幾何意義是:由

9、曲線,直線和軸所圍成曲邊梯形的面積等于區(qū)間上某個(gè)矩形的面積,這個(gè)矩形的底是區(qū)間,矩形的高為區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)處的函數(shù)值，如圖5.5所示.顯然，由性質(zhì)5.1.7可得，稱為函數(shù)在區(qū)間上的平均值.這是求有限個(gè)數(shù)的平均值的拓廣.性質(zhì)5.1.8(對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)) 設(shè)在對(duì)稱區(qū)間上連續(xù),則有如果為奇函數(shù),則；如果為偶函數(shù),則.例5.1.2 估計(jì)定積分的值.解 設(shè),，令,得駐點(diǎn)，比較及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值,有,.顯然在區(qū)間上連續(xù),則在上的最小值為,最大值為，由定積分的估值性質(zhì),得.例5.1.3 比較定積分與的大小.解 因?yàn)樵趨^(qū)間上,有,由定積分保序性質(zhì),得.定積分定積分的原始思想可以追溯到古希臘古希臘人在

10、丈量形狀不規(guī)則的土地的面積時(shí)，先盡可能地用規(guī)則圖形(例如矩形和三角形)把要丈量的土地分割成若干小塊，并且忽略那些邊邊角角的不規(guī)則的小塊計(jì)算出每一小塊規(guī)則圖形的面積，然后將它們相加，就得到土地面積的近似值后來看來，古希臘人丈量土地面積的方法就是面積思想的萌芽在十七世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)家們沒有重視古希臘人的偉大思想，當(dāng)時(shí)流行的方法是不可分量法這種方法認(rèn)為面積和體積可以看作是由不可分量的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生出來的這種方法沒有包含極限概念，也沒有采用代數(shù)與算數(shù)的方法因此，不可分量的思想沒有取得成功雖然積分概念未能很好得建立起來，然而，到牛頓那個(gè)年代，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)能夠計(jì)算許多簡單的函數(shù)的積分雖然十三世紀(jì)就出現(xiàn)了利用分割區(qū)

11、間作和式并計(jì)算面積的朦朧思想(奧雷姆，法國數(shù)學(xué)家)但是建立黎曼積分(即定積分)的嚴(yán)格定義的努力基本上由柯西開始他比較早地用函數(shù)值的和式的極限定義積分(他還定義了廣義積分)但是柯西對(duì)于積分的定義僅限于連續(xù)函數(shù)1854年，黎曼指出了積分的函數(shù)不一定是連續(xù)的或者分段連續(xù)的，從而把柯西建立的積分進(jìn)行了推廣他把可積函數(shù)類從連續(xù)函數(shù)擴(kuò)大到在有限區(qū)間中具有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)黎曼給出關(guān)于黎曼可積的兩個(gè)充分必要條件其中一個(gè)是考察函數(shù)的振幅；另一個(gè)充分必要條件就是對(duì)于區(qū)間的每一個(gè)劃分，構(gòu)造積分上和與積分下和:S= s=其中M和m分別是函數(shù)在每個(gè)子區(qū)間上的最大值和最小值.在黎曼可積的充分必要條件就是至今，這個(gè)定理

12、仍然經(jīng)常出現(xiàn)在微積分和數(shù)學(xué)分析的教科書中達(dá)布(法國數(shù)學(xué)家)對(duì)于黎曼的積分的定義作了推廣他嚴(yán)格地證明了不連續(xù)函數(shù)，甚至有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)，只要間斷點(diǎn)可以被包含在長度可以任意小的有限個(gè)區(qū)間之內(nèi)就是可積分的在牛頓和萊布尼茲之前，微分和積分作為兩種數(shù)學(xué)運(yùn)算、兩種數(shù)學(xué)問題，是分別加以研究的雖然有不少數(shù)學(xué)家已經(jīng)開始考慮微分和積分之間的聯(lián)系，然而只有萊布尼茲和牛頓(各自獨(dú)立地)將微分和積分真正溝通起來，明確地找到了兩者之間內(nèi)在的直接的聯(lián)系，指出微分和積分是互逆的兩種運(yùn)算而這正是建立微積分的關(guān)鍵所在牛頓在1666年發(fā)表的著作流數(shù)簡論中，從確定面積率的變化入手，通過反微分計(jì)算面積，把面積計(jì)算看作是求切線的逆

13、從而得到了微積分基本定理在1675年，萊布尼茲就認(rèn)識(shí)到，作為求和過程的積分是微分的逆他于16751676年給出了微積分基本定理并于1693年給出了這個(gè)定理的證明簡單直觀并且便于應(yīng)用，是黎曼積分的優(yōu)點(diǎn).黎曼積分的缺點(diǎn)主要是理論方面的一方面,黎曼積分的可積函數(shù)類太小基本上是“分段連續(xù)函數(shù)”構(gòu)成的函數(shù)類另一方面，黎曼積分在處理諸如函數(shù)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分、重積分的交換積分順序以及函數(shù)空間的完備性這樣一些重要的理論問題時(shí)，存在許多不可克服的障礙于是在上一世紀(jì)末到本世紀(jì)初，一種新的積分理論勒貝格積分應(yīng)運(yùn)而生它是黎曼積分的推廣，勒貝格積分的建立是積分學(xué)領(lǐng)域的重大發(fā)展它在很大程度上克服了黎曼積分在理論上遇到的上述

14、困難勒貝格積分是近代分析數(shù)學(xué)發(fā)展的重要?jiǎng)恿突A(chǔ)習(xí)題5.11.用定積分表示由曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積.2.利用定積分的幾何意義,作圖證明：(1) (2)3.不計(jì)算定積分,比較下列各組積分值的大小.(1), (2),(3), (4), 4.利用定積分估值性質(zhì),估計(jì)下列積分值所在的范圍.(1) (2)(3) (4)5.試用積分中值定理證明.5.2 定積分的基本公式定積分就是一種特定形式的極限，直接利用定義計(jì)算定積分是十分繁雜的，有時(shí)甚至無法計(jì)算.本節(jié)將介紹定積分計(jì)算的有力工具牛頓萊布尼茲公式.5.2.1變上限定積分定義5.2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，對(duì)于任意，在區(qū)間上也連續(xù)，所以函數(shù)在上也

15、可積.顯然對(duì)于上的每一個(gè)的取值，都有唯一對(duì)應(yīng)的定積分和對(duì)應(yīng)，因此是定義在上的函數(shù).記為，.稱叫做變上限定積分,有時(shí)又稱為變上限積分函數(shù).o a x b xy圖5.6變上限積分函數(shù)的幾何意義是：如果，對(duì)上任意x，都對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)曲邊梯形的面積，如圖5.6中的陰影部分.因此變上限積分函數(shù)有時(shí)又稱為面積函數(shù).函數(shù)具有如下重要性質(zhì).定理5.1 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，且.證 給定函數(shù)的自變量的改變量，函數(shù)有相應(yīng)的改變量.則.由定積分的中值定理，存在，使成立.所以.由定理5.1可知，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)就是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).由定理5.1我們有下面的結(jié)論.定理5.2（原函數(shù)存在定理）

16、如果在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在，且其中的一個(gè)原函數(shù)為.注 這個(gè)定理一方面肯定了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一定有原函數(shù)（解決了第四章第一節(jié)留下的原函數(shù)存在問題），另一方面初步地揭示積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.為下一步研究微積分基本公式奠定基礎(chǔ).例5.2.1 計(jì)算.解 =.例5.2.2 求.解 當(dāng)時(shí)，此極限為型不定式，兩次利用洛必塔法則有= =例5.2.3 求.解 注意，此處的變上限積分的上限是，若記，則函數(shù)可以看成是由與復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得=.一般地有，如果可導(dǎo)，則.上式可作為公式直接使用.例5.2.4 求極限.解 因?yàn)?，所以這個(gè)極限是型的未定式，利用洛必塔法則得= =.5

17、.2.2微積分基本公式定理5.3 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且是的任意一個(gè)原函數(shù)，那么.證 由定理5.2知，是在區(qū)間的一個(gè)原函數(shù)，則與相差一個(gè)常數(shù)C，即.又因?yàn)?，所?于是有.所以 成立.為方便起見，通常把簡記為或，所以公式可改寫為上述公式稱為牛頓萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式，又稱為微積分基本公式.定理5.3揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它把求定積分的問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.確切地說，要求連續(xù)函數(shù)在上的定積分，只需要求出在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，然后計(jì)算就可以了.例5.2.5 計(jì)算.解 因?yàn)?，所?.例5.2.6 求.解 =.例5.2.7 求.解 根據(jù)定積分性質(zhì)5.1

18、.3，得=.例5.2.8 求極限解 根據(jù)定積分定義,得牛頓與萊布尼茲牛頓（Newton，Isaac，16431727）英國物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家.經(jīng)典物理學(xué)理論體系的建立者.萊布尼茲（Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716）是17、18世紀(jì)之交德國最重要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，一個(gè)舉世罕見的科學(xué)天才.他博覽群書，涉獵百科，對(duì)豐富人類的科學(xué)知識(shí)寶庫做出了不可磨滅的貢獻(xiàn).微積分創(chuàng)立的優(yōu)先權(quán)，數(shù)學(xué)上曾掀起了一場激烈的爭論.實(shí)際上，牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茲，但萊布尼茲成果的發(fā)表則早于牛頓.萊布尼茲在1684年10月發(fā)表的教師學(xué)報(bào)上的論文，“一種求極

19、大極小的奇妙類型的計(jì)算”，在數(shù)學(xué)史上被認(rèn)為是最早發(fā)表的微積分文獻(xiàn).牛頓在1687年出版的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學(xué)家G、W萊布尼茲的通信中，我表明我已經(jīng)知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，這位最卓越的科學(xué)家在回信中寫道，他也發(fā)現(xiàn)了一種同樣的方法.他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號(hào)而外.”（但在第三版及以后再版時(shí)，這段話被刪掉了.）因此，后來人們公認(rèn)牛頓和萊布尼茲是各自獨(dú)立地創(chuàng)建微積分的.牛頓從物理學(xué)出發(fā)，運(yùn)用集合方法研究微積分，其應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣高于

20、萊布尼茲.萊布尼茲則從幾何問題出發(fā)，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則，其數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的.萊布尼茲認(rèn)識(shí)到好的數(shù)學(xué)符號(hào)能節(jié)省思維勞動(dòng)，運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一.因此，他發(fā)明了一套適用的符號(hào)系統(tǒng)，如，引入dx表示x的微分，表示積分，等等.這些符號(hào)進(jìn)一步促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展.1713年，萊布尼茲發(fā)表了微積分的歷史和起源一文，總結(jié)了自己創(chuàng)立微積分學(xué)的思路，說明了自己成就的獨(dú)立性.你知道為什么稱為牛頓-萊布尼茲公式了吧！習(xí)題5.21. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) (2) (3) (4)2.求下列函數(shù)的極限：(1) (2)(3) (4)3.求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小

21、值.4.求由曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積.5.求下列定積分的值：(1) (2)(3) (4)(5) (6)5.3 定積分的積分法在第四章我們學(xué)習(xí)了用換元積分法和分部積分法求已知函數(shù)的原函數(shù).把它們稍微改動(dòng)就是定積分的換元積分法和分部積分法.但最終的計(jì)算總是離不開牛頓-萊布尼茲公式.5.3.1定積分的換元積分法定理5.4 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且滿足下列條件：（1），且，；（2）在區(qū)間上單調(diào)且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；（3）當(dāng)從變到時(shí)，從單調(diào)地變到.則有上述公式稱為定積分的換元積分公式.在應(yīng)用該公式計(jì)算定積分時(shí)需要注意以下兩點(diǎn)：從左到右應(yīng)用公式，相當(dāng)于不定積分的第二換元法.計(jì)算時(shí)，用把原積分變量換成

22、新變量，積分限也必須由原來的積分限和相應(yīng)地?fù)Q為新變量的積分限和，而不必代回原來的變量，這與不定積分的第二換元法是完全不同的.從右到左應(yīng)用公式，相當(dāng)于不定積分的第一換元法（即湊微分法）.一般不用設(shè)出新的積分變量，這時(shí)，原積分的上、下限不需改變，只要求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，就可以直接應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式求出定積分的值.例5.3.1 求.解 令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是=例5.3.2 求.解法一設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是=.解法二=.解法一是變量替換法，上下限要改變；解法二是湊微分法，上下限不改變.例5.3.3 求.解 令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是=.例5.3.4 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，證明：（1）如果為奇函

23、數(shù)，則；（2）如果為偶函數(shù)，則.這結(jié)論是定積分的性質(zhì)5.1.8，下面我們給出嚴(yán)格的證明.證 由定積分的可加性知，對(duì)于定積分，作代換，得=，所以 =（1）如果為奇函數(shù)，即，則，于是 .（2）如果為偶函數(shù)，即，則，于是 .例5.3.5 求下列定積分：（1） （2）解 （1）因?yàn)楸环e函數(shù)是奇函數(shù)，且積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，所以=.（2）被積函數(shù)是偶函數(shù)，積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，所以=，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是=.2.分部積分法定理5.5 設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有.上述公式稱為定積分的分部積分公式.選取的方式、方法與不定積分的分部積分法完全一樣.例5.3.6 求.解 =.例5.3.7 求.解 =.

24、例5.3.8 求.解 令，則，,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.于是=.此題先利用換元積分法，然后應(yīng)用分部積分法.習(xí)題 5.31.求下列定積分的值：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)2.求下列定積分：(1) (2)(3) (4)5.4 定積分的應(yīng)用由于定積分的概念和理論是在解決實(shí)際問題的過程中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，因而它的應(yīng)用非常廣泛.問題1 在機(jī)械制造中，某凸輪橫截面的輪廓線是由極坐標(biāo)方程確定的，要計(jì)算該凸輪的面積和體積.問題2 修建一道梯形閘門，它的兩條底邊各長6m和4m，高為6m,較長的底邊與水面平齊，要計(jì)算閘門一側(cè)所受水的壓力.為了解決這些問題，下面先介紹運(yùn)用定積分解

25、決實(shí)際問題的常用方法微元法，然后討論定積分在幾何和物理上的一些簡單應(yīng)用.讀者通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，不僅要掌握一些具體應(yīng)用的計(jì)算公式，而且還要學(xué)會(huì)用定積分解決實(shí)際問題的思想方法.5.4.1定積分應(yīng)用的微元法為了說明定積分的微元法，我們先回顧求曲邊梯形面積A的方法和步驟：(1)將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，相應(yīng)得到個(gè)小曲邊梯形，小曲邊梯形的面積記為；(2)計(jì)算的近似值，即（其中）；(3)求和得的近似值，即；(4)對(duì)和取極限得.下面對(duì)上述四個(gè)步驟進(jìn)行具體分析：第(1)步指明了所求量（面積）具有的特性：即在區(qū)間上具有可分割性和可加性.o a b xy圖5.7第(2)步是關(guān)鍵，這一步確定的是被積表達(dá)式的雛形.這可

26、以從以下過程來理解：由于分割的任意性，在實(shí)際應(yīng)用中，為了簡便起見，對(duì)省略下標(biāo)，得，用表示內(nèi)的任一小區(qū)間，并取小區(qū)間的左端點(diǎn)為，則的近似值就是以為底，為高的小矩形的面積（如圖5.7陰影部分），即.通常稱為面積元素，記為. 將(3),(4)兩步合并，即將這些面積元素在上“無限累加”，就得到面積.即.一般說來，用定積分解決實(shí)際問題時(shí)，通常按以下步驟來進(jìn)行：（1）確定積分變量，并求出相應(yīng)的積分區(qū)間；（2）在區(qū)間上任取一個(gè)小區(qū)間，并在小區(qū)間上找出所求量的微元；（3）寫出所求量的積分表達(dá)式，然后計(jì)算它的值.利用定積分按上述步驟解決實(shí)際問題的方法叫做定積分的微元法.注 能夠用微元法求出結(jié)果的量一般應(yīng)滿足以下

27、兩個(gè)條件：是與變量的變化范圍有關(guān)的量；對(duì)于具有可加性，即如果把區(qū)間分成若干個(gè)部分區(qū)間，則相應(yīng)地分成若干個(gè)分量.ya o b x圖5.85.4.2定積分求平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)系下面積的計(jì)算(1)由曲線和直線所圍成曲邊梯形的面積的求法前面已經(jīng)介紹，此處不再敘述.(2)求由兩條曲線，及直線所圍成平面的面積（如圖5.8所示）.下面用微元法求面積.取為積分變量，.在區(qū)間上任取一小區(qū)間，該區(qū)間上小曲邊梯形的面積可以用高，底邊為的小矩形的面積近似代替，從而得面積元素.寫出積分表達(dá)式，即.求由兩條曲線，及直線所圍成平 o xyd y+dyyc面圖形（如圖5.9）的面積.這里取為積分變量，用類似 (2)的

28、方法可以推出：.例5.4.1 求由曲線與圖5.9所圍圖形的面積.解 先畫出所圍的圖形（如圖5.10）由方程組，得兩條曲線的交點(diǎn)為，取為積分變量，.由公式得.o 2 8 xA(2,-2) y4-2B(8,4) 圖5.11o 1 2 xy A (1,1)圖5.10例5.4.2 求曲線與所圍圖形的面積.解 畫出所圍的圖形（如圖5.11）.由方程組得兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，取為積分變量，.將兩曲線方程分別改寫為得所求面積為.注 本題若以為積分變量，由于圖形在兩個(gè)區(qū)間上的構(gòu)成情況不同，因此需要分成兩部分來計(jì)算，其結(jié)果應(yīng)為：.顯然，對(duì)于例5.4.2選取作為積分變量，不如選取作為積分變量計(jì)算簡便.可見適當(dāng)選取

29、積分變量，可使計(jì)算簡化.例5.4.3 求曲線在區(qū)間上所圍平面圖形的面積.解 如圖5.12所示，曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，選取作為積分變量，于是，所求面積為.0 xy 圖5.122.極坐標(biāo)系下面積的計(jì)算設(shè)曲邊扇形由極坐標(biāo)方程與射線所圍成（如圖5.13所示）.下面用微元法求它的面積A.以極角為積分變量，它的變化區(qū)間是，相應(yīng)的小曲邊扇形的面積近似等于半徑為，中心角為的圓扇形的面積，從而得面積微元為于是，所求曲邊扇形的面積為 .O 2a x圖5.14xo圖5.13例5.4.4 計(jì)算心形線所圍圖形的面積（如圖5.14）.解 此圖形對(duì)稱于極軸，因此所求圖形的面積是極軸上方部分圖形面積的兩倍.對(duì)于極軸上方部分圖形，

30、取為積分變量，由上述公式得：.這個(gè)結(jié)果就是本節(jié)前面問題1提到的凸輪橫截面的面積，如果知道凸輪的厚度，可進(jìn)一步求出它的體積，這里不再贅述.3定積分求體積(1)旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)而成的立體.這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成（如圖5.15）.取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在上任取一小區(qū)間，相應(yīng)薄片的體積近似于以為底面圓半徑，為高的小圓柱體的體積，從而得到體積元素為，于是，所求旋轉(zhuǎn)體體積為.o xydy+dyyy圖5.16co a x x+dx b xy 圖5.15類似地，由曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一

31、周而成（如圖5.16），所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 .例5.4.5 求由橢圓繞軸及軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解 (1)繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體如圖5.17所示,它可看作上半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成.取為積分變量,由公式所求橢球體的體積為.(2)繞軸旋轉(zhuǎn)的橢球體,可看作右半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成（如圖5.18所示）,取為積分變量, ,由公式所求橢球體體積為bo xy 圖5.18-b .當(dāng)時(shí),上述結(jié)果為,這就是大家所熟悉的球體的體積公式.(2)平行截面面積為已知的立體體積設(shè)一物體被垂直于某直線的平面所截的面積可求，則該物體可用定積分求其體積.不妨設(shè)直線為軸，則在處的截面面積是的已知連續(xù)函數(shù)，

32、求該物體介于和之間的體積（如圖5.19）.o a x x+dx b x圖5.19取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在微小區(qū)間上近似不變，即把上的立體薄片近似看作為底，為高的柱片，從而得到體積元素.于是該物體的體積為.例5.4.6 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角，計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積.（如圖5.20）解 取這平面與圓柱體的底面交線為軸-R o x R xyA (x)圖5.20建立如圖5.20的直角坐標(biāo)系，則底面圓的方程為.立體中過點(diǎn)且垂直于軸的截面是一個(gè)直角三角形.它的直角邊分別為，即.因而截面面積為.故所求立體體積為.4.定積分在物理上的應(yīng)用舉例(1)變力作功由物

33、理學(xué)知道,物體在常力的作用下,沿力的方向作直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)物體發(fā)生了位移時(shí),力對(duì)物體所作的功是.但在實(shí)際問題中,物體在發(fā)生位移的過程中所受到的力常常是變化的,這就需要考慮變力作功的問題.由于所求的功是一個(gè)整體量,且對(duì)于區(qū)間具有可加性,所以可以用微元法來求這個(gè)量.設(shè)物體在變力的作用下,沿軸由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn),如圖5.21所示,且變力方向與軸方向一致.取為積分變量,a x x+dx b xF(x)圖5.21.在區(qū)間上任取一小區(qū)間,該區(qū)間上各點(diǎn)處的力可以用點(diǎn)處的力近似代替.因此功的微元為，因此,從到這一段位移上變力所作的功為.例5.4.7 彈簧在拉伸過程中,所需要的力與彈簧的伸長量成正比,即(為比例系數(shù)).已

34、知彈簧拉長時(shí),需力,要使彈簧伸長,計(jì)算外力所做的功.解 由題設(shè),時(shí),.代入,得.從而變力為,由上述公式所求的功為.(2)液體的壓力由物理學(xué)知道,在液面下深度為處的壓強(qiáng)為,其中是液體的密度,是重力加速度.如果有一面積為的薄板水平地置于深度為處,那么薄板一側(cè)所受的液體壓力.但在實(shí)際問題中,往往要計(jì)算薄板豎直放置在液體中(如前面問題2中的閘門)時(shí)，其一側(cè)所受到的壓力.由于壓強(qiáng)p隨液體的深度而變化,所以薄板一側(cè)所受的液體壓力就不能用上述方法計(jì)算,但可以用定積分的微元法來加以解決.設(shè)薄板形狀是曲邊梯形,為了計(jì)算方便,建立如圖5.22所示的坐標(biāo)系,曲邊方程為.取液體深度為積分變量,o y axx+dx b

35、 x圖5.22,在上取一小區(qū)間,該區(qū)間上小曲邊平板所受的壓力可近似地看作長為,寬為的小矩形水平地放在距液體表面深度為的位置上時(shí),一側(cè)所受的壓力.因此所求的壓力微元為:.于是，整個(gè)平板一側(cè)所受壓力為. 下面我們來看本節(jié)前面問題2的答案.例5.4.8 修建一道梯形閘門，它的兩條底邊各長6m和4m，高為6m,較長的底邊與水面平齊，要計(jì)算閘門一側(cè)所受水的壓力.解 根據(jù)題設(shè)條件.建立如圖5.23所示的坐標(biāo)系，的方程為.取為積分變量,在上任一小區(qū)間的壓力微元為，從而所求的壓力為 .5.定積分在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用舉例在第3章我們研究了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)問題的應(yīng)用，可以對(duì)經(jīng)濟(jì)函數(shù)進(jìn)行邊際分析和彈性分析，但在實(shí)際中往往還要涉及

36、到已知邊際函數(shù)或彈性函數(shù)，來求原函數(shù)的問題，就需要利用定積分或不定積分來完成，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系有：(1)已知邊際成本，求總成本.有，其中是固定成本，一般不為零.(2)已知邊際收益，求總成本.有.其中被稱為自然條件，意指當(dāng)銷售量為0時(shí)，自然收益為0.下面通過實(shí)例說明定積分在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用.例5.4.9 已知某產(chǎn)品邊際成本函數(shù)且固定成本為1000元，求總成本函數(shù)C(Q).解 .例5.4.10 某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品（百臺(tái)）的邊際成本為=2（萬元/百臺(tái)）設(shè)固定成本為0，邊際收益為(萬元/百臺(tái)).求：（1）生產(chǎn)量為多少時(shí)，總利潤L最大？最大總利潤是多少？（2）在利潤最大的生產(chǎn)量的基礎(chǔ)上又生產(chǎn)了50臺(tái)，總

37、利潤減少多少？解 （1）因，所以利潤函數(shù)，則，令，得唯一駐點(diǎn)，且有.故，即產(chǎn)量為2.5百臺(tái)時(shí)，有最大利潤，最大利潤為萬元.（2）在2.5百臺(tái)的基礎(chǔ)上又生產(chǎn)了50臺(tái)，即生產(chǎn)3百臺(tái)，此時(shí)利潤為萬元.即利潤減少了0.25萬元.習(xí)題5.41.求下列曲線圍成平面圖形的面積.(1) (2) (3) (4)(5) （6）2.求由直線與曲線及它在點(diǎn)處的法線所圍成圖形的面積.3.求下列平面圖形分別繞軸,軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的立體的體積.(1)及 (2)及4.有一彈簧,用的力可以把它拉長,求把彈簧拉長時(shí)力所做的功.5.有一圓柱形貯水桶,高,底圓半徑為,桶內(nèi)裝深的水,試問要將桶內(nèi)的水全部吸出要作多少功?6.求曲線所圍成圖形

38、的面積. 7.已知物體作變速直線運(yùn)動(dòng)的速度為,求該物體在前5秒內(nèi)經(jīng)過的路程.8.設(shè)一沿軸運(yùn)動(dòng)的物體所受的外力是(牛頓),試問當(dāng)此物體從(米)處移到(米)處時(shí)外力所做的功.9.一水庫閘門的形狀為直角梯形,上底為,下底為,高為,求當(dāng)水面與上底相齊時(shí),閘門一側(cè)所受的壓力.10.已知某產(chǎn)品的的固定成本為1萬元，邊際收益和邊際成本分別為（單位：萬元/百臺(tái)） .(1)求產(chǎn)量由1百臺(tái)增加到5百臺(tái)時(shí)，總收益增加了多少？(2)求產(chǎn)量由2百臺(tái)增加到5百臺(tái)時(shí)，總成本增加了多少？(3)求產(chǎn)量為多少時(shí)，總利潤最大；(4)求總利潤最大時(shí)的總收益、總成本和總利潤.5.5 廣義積分前面討論定積分的定義時(shí)，要求函數(shù)的定義域只能

39、是有限區(qū)間，并且被積函數(shù)在積分區(qū)間上是有界的.但是在實(shí)際問題中，還會(huì)遇到函數(shù)的定義域是無窮區(qū)間，或，或被積函數(shù)為無界的情況.前者稱為無限區(qū)間上的積分，后者稱為無界函數(shù)的積分.一般地，我們把這兩種情況下的積分稱為廣義積分，而前面討論的定積分稱為常義積分.本節(jié)將介紹廣義積分的概念和計(jì)算方法.5.5.1無窮區(qū)間上的廣義積分無窮積分定義5.3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù), 取，若極限 存在,則稱此極限為函數(shù)在 上的廣義積分,記作,即 .此時(shí)也稱廣義積分收斂；如果上述極限不存在, 就稱發(fā)散.類似地，定義f(x)在區(qū)間上的廣義積分為.f(x)在(-, +)上的廣義積分定義為.其中為任意實(shí)數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)上式右端兩個(gè)積

40、分同時(shí)收斂時(shí)，稱廣義積分收斂，否則稱其發(fā)散.從廣義積分的定義可以直接得到廣義積分的計(jì)算方法，即先求有限區(qū)間上的定積分，再取極限.例5.5.1 計(jì)算廣義積分.解 任取實(shí)數(shù)，則 .例5.5.2 計(jì)算.解 =.所以，廣義積分是發(fā)散.利用極限的性質(zhì)，可以把定積分的分部積分法、換元積分法推廣到廣義積分.例5.5.3 計(jì)算.解 .注 顯然這里的極限是不定式，利用洛必達(dá)法則可得其結(jié)果為零.例5.5.4 判斷的收斂性.解 .顯然時(shí),沒有極限,所以廣義積分是發(fā)散的.例5.5.5 求曲線與直線所圍成的圖形的面積.圖5.24o 1 xy解 如圖5.24所示，陰影部分的面積可以看作函數(shù)在的定積分，故所求圖形的面積為.

41、例5.5.6 討論廣義積分的斂散性.解 當(dāng)時(shí)，（發(fā)散）；當(dāng)時(shí)，.故時(shí)，該廣義積分收斂，其值為；當(dāng)時(shí)，該廣義積分發(fā)散.此廣義積分稱為積分，牢記它的斂散性，可以直接運(yùn)用.5.5.2無界函數(shù)的廣義積分瑕積分定義5.4 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且.取,如果極限存在,則稱此極限為函數(shù)在上的廣義積分,記作，即.此時(shí)也稱廣義積分收斂，否則就稱廣義積分發(fā)散.類似地，當(dāng)為的無窮大間斷點(diǎn)時(shí)，在上的廣義積分為：取,.當(dāng)無窮間斷點(diǎn)位于區(qū)間的內(nèi)部時(shí)，則定義廣義積分為：.注 上式右端兩個(gè)積分均為廣義積分，當(dāng)且僅當(dāng)右端兩個(gè)積分同時(shí)收斂時(shí)，稱廣義積分收斂，否則稱其發(fā)散.注 (1)廣義積分是常義積分（定積分）概念的擴(kuò)充，收斂的廣義

42、積分與定積分具有類似的性質(zhì)，但不能直接利用牛頓萊布尼茲公式.(2)求廣義積分就是求常義積分的一種極限，因此，首先計(jì)算一個(gè)常義積分，再求極限，定積分中換元積分法和分部積分法都可以推廣到廣義積分；在求極限時(shí)可以利用求極限的一切方法，包括洛必塔法則.(3)為了方便，利用下列符號(hào)表示極限：；.(4)瑕積分與常義積分的記號(hào)一樣，要注意判斷和區(qū)別.例5.5.7 求.解 因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，且，所以是廣義積分，于是.例5.5.8 求.解 因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，且，所以是廣義積分,于是故發(fā)散.例5.5.9 計(jì)算.解 因?yàn)?，所以是廣義積分，于是.由于，即發(fā)散，從而發(fā)散.對(duì)于例5.5.9，如果沒有考慮到被積函數(shù)在處有無窮間斷點(diǎn)的情況，仍然按定積分來計(jì)算，就會(huì)得出如下錯(cuò)誤的結(jié)果：.例5.5.10 求積分.解 因?yàn)楸环e函數(shù)，當(dāng)時(shí)無界，所以按瑕積分進(jìn)行.例5.5.11 討論廣義積分的斂散性.解 當(dāng)時(shí)，發(fā)散；當(dāng)時(shí)，.故時(shí)，該廣義積分收斂，其值為；當(dāng)時(shí)，該廣義積分發(fā)散.此廣義積分稱為積分，牢記它的斂散性，可以直接運(yùn)用.習(xí)題5.51.求下列廣義積分：(