小波變換與小波濾波

1、 匯報(bào)人：匯報(bào)人：* 指導(dǎo)老師：指導(dǎo)老師：* 匯報(bào)日期：匯報(bào)日期：2014.4.21 2 基本思想： 將信號分解成一系列不同頻率的連續(xù)正 弦波的疊加。 缺陷：丟掉了時間信息，無法根據(jù)變換結(jié)果 判斷一個特定的信號是在什么時候發(fā)生的。 傅立葉變換傅立葉變換 FT變換適于分析平穩(wěn)信號。實(shí)際中大多數(shù)信號含 有大量的非平穩(wěn)信號，例如：突變，奇異，事件 的起始與終止等情況。這些情況反映了信號的重 要特征，是分析的對象。例如下圖：典型的地震 信號。 3 典型的地震記錄 4 實(shí)際采集的地震信號實(shí)際采集的地震信號 它們的頻域特性都隨時間而變化。分析它需要提取某 一時間段的頻域信息或某一頻率段所對應(yīng)的時間信息 如

2、何完成只分析數(shù)據(jù)中的一小部分? 5 基本思想： 給信號加一個小窗，主要集中在對小窗內(nèi) 的信號進(jìn)行變換，因此反映了信號的局部特征。 6 缺陷： 其窗函數(shù)的大小和形狀均與時間和頻率無 關(guān)，保持固定不變，對于分析時變信號不利。 （高頻信號持續(xù)時間短，低頻長。我們希望對于高頻采用小的時 間窗，低頻使用大時間窗進(jìn)行分析。） STFT無能為力了！ 不能構(gòu)成不能構(gòu)成正交基正交基，給數(shù)值計(jì)算帶來不便，給數(shù)值計(jì)算帶來不便。 7 登場原因： （1）繼承和發(fā)展了STFT的局部化思想。 （2）克服了窗口大小不隨頻率變化、缺 乏離散正交基的缺點(diǎn)。 8 若一物體可用顏色和大小表示，我們稱 顏色和大小為特征基，構(gòu)成此物體特

3、征描述 空間。 大小和顏色是互不相干的2種描述，我們 稱其為正交。 同時若這些基能夠完全表示所有物體， 我們稱其為完備特征基。 因?yàn)樘卣骰憩F(xiàn)了物體特征，因而可以 用更簡潔的描述表示物體。 9 1984年法國的年輕的地球物理學(xué)家Jean Morlet在進(jìn)行石油勘探的地震數(shù)據(jù)處理分 析時與法國理論物理學(xué)家A.Grossman一起 提出了小波變換(wavelet transform, WT) 的概念 10 小波（小波（WaveletWavelet），），即小區(qū)域的波，是一種特殊的即小區(qū)域的波，是一種特殊的 長度有限、平均值為長度有限、平均值為0 0的波形。的波形。 特點(diǎn)：特點(diǎn)： （1 1）“小小”

4、，即在時域都具有緊支集或近似緊支集，即在時域都具有緊支集或近似緊支集 （2 2）正負(fù)交替的）正負(fù)交替的“波動性波動性”，也即直流分量為零，也即直流分量為零 11 12 傅立葉分析所用的正弦波在時間上沒有限制，從負(fù)無窮傅立葉分析所用的正弦波在時間上沒有限制，從負(fù)無窮 到正無窮，但小波傾向于不規(guī)則與不對稱。到正無窮，但小波傾向于不規(guī)則與不對稱。 FTFT將信號分解成一系列不同頻率正弦波的疊加將信號分解成一系列不同頻率正弦波的疊加，小波分小波分 析是將信號分解成一系列小波函數(shù)的疊加析是將信號分解成一系列小波函數(shù)的疊加。而這些小波。而這些小波 函數(shù)都是由一個母小波函數(shù)經(jīng)過平移與尺度伸縮得來的。函數(shù)都是

5、由一個母小波函數(shù)經(jīng)過平移與尺度伸縮得來的。 用不規(guī)則的小波函數(shù)來逼近尖銳變化的信號顯然要比光用不規(guī)則的小波函數(shù)來逼近尖銳變化的信號顯然要比光 滑的正弦曲線要好滑的正弦曲線要好，同樣，信號局部的特性用小波函數(shù)，同樣，信號局部的特性用小波函數(shù) 來逼近顯然要比光滑的正弦函數(shù)來逼近要好。來逼近顯然要比光滑的正弦函數(shù)來逼近要好。 13 14 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet Transform， CWTCWT）用下式表示）用下式表示： (,)( ) (, )scale positionf tscale positio

6、nCt dt 表示小波變換是表示小波變換是信號信號f f( (x x) )與與被縮放和平移被縮放和平移的的小波函數(shù)小波函數(shù) ()()之積在信號存在的整個期間里求和的結(jié)果。之積在信號存在的整個期間里求和的結(jié)果。 1.4 1.4 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換 CWTCWT的的變換結(jié)果變換結(jié)果是許多是許多小波系數(shù)小波系數(shù)C C，這些系數(shù)是縮放因，這些系數(shù)是縮放因 子（子（scalescale）和平移（）和平移（positionposition）的函數(shù)。）的函數(shù)。 15 基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作 (1) (1) 縮放縮放。就是壓縮或伸展基本小波，縮放系數(shù)越 小，則小波越窄 小波的縮放操作 O O

7、O f (t) f (t) f (t) t t t f (t)(t)；scale1 f (t)(2t)；scale0.5 f (t)(4t)；scale0.25 16 (2) (2) 平移平移。小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上, ,函數(shù)函數(shù)f f( (t t) )延延 遲遲k k的表達(dá)式為的表達(dá)式為f f( (t-kt-k) )， 小波的平移操作 (a) 小波函數(shù)(t)； (b) 位移后的小波函數(shù)(t-k) 基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作 小波變換的步驟: 一 取一個小波與信號的最前面部分比較; 二 計(jì)算相關(guān)因子C,C代表小波和這段數(shù)據(jù)的 相關(guān)性 即:C越大,兩者越相似;

8、 17 三 移動小波,重復(fù)步驟一和二,一直遍歷整個數(shù) 據(jù); 18 19 小波尺度和信號頻率的關(guān)系小波尺度和信號頻率的關(guān)系 小尺度小尺度 信號的高頻信號的高頻 大尺度大尺度 信號的低頻信號的低頻 20 在在每個可能的縮放因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系每個可能的縮放因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系 數(shù)數(shù)，其計(jì)算量相當(dāng)大，將產(chǎn)生，其計(jì)算量相當(dāng)大，將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量驚人的數(shù)據(jù)量，而且有，而且有 許多數(shù)據(jù)是無用許多數(shù)據(jù)是無用的。的。 1.6 1.6 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT） 如果如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為縮放因子和平移參數(shù)都選擇為2 2j j（j j00且為且為 整數(shù)）的倍數(shù)整數(shù)）的倍數(shù)，

9、即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù) 來進(jìn)行計(jì)算，來進(jìn)行計(jì)算， 就會使分析的就會使分析的數(shù)據(jù)量大大減少數(shù)據(jù)量大大減少。 21 使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為 雙尺度小波變換（雙尺度小波變換（Dyadic Wavelet TransformDyadic Wavelet Transform），它，它 是是離散小波變換離散小波變換（Discrete Wavelet TransformDiscrete Wavelet Transform， DWTDWT）的一種形式。）的一種形式。 1.6 1.6 離散小波變換（離散小波變換（

10、DWTDWT） 通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。 22 執(zhí)行離散小波變換的執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器有效方法是使用濾波器， 該方法是該方法是MallatMallat于于19881988年提出的，稱為年提出的，稱為MallatMallat算法算法( (馬馬 拉拉) )。這種方法實(shí)際上是一種信號分解的方法，。這種方法實(shí)際上是一種信號分解的方法， 在數(shù)在數(shù) 字信號處理中常稱為字信號處理中常稱為雙通道子帶編碼雙通道子帶編碼。 1.6 1.6 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT） 23 一個濾波器為低通濾波器，通過該濾波器可得到信號 的近似值

11、A（Approximations） 另一個為高通濾波器， 通過該濾波器可得到信號的細(xì) 節(jié)值D（Detail）。 1.6 1.6 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT） 24 實(shí)際應(yīng)用中，實(shí)際應(yīng)用中，信號的低頻分量往往是最重要的信號的低頻分量往往是最重要的，而高頻分量只，而高頻分量只 起一個修飾的作用。如同一個人的聲音一樣，起一個修飾的作用。如同一個人的聲音一樣， 把高頻分量去掉把高頻分量去掉 后，聽起來聲音會發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但后，聽起來聲音會發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但 如果把低頻分量刪除后，就會什么內(nèi)容也聽不出來了。如果把低頻分量刪除后，就會什么內(nèi)容也聽不出

12、來了。 1.6 1.6 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT） 25 圖圖 多級信號分解示意圖多級信號分解示意圖 （a a） 信號分解；信號分解； (b) (b) 小波分樹；小波分樹； （c c）小波分解樹）小波分解樹 26 在使用濾波器對真實(shí)的數(shù)字信號進(jìn)行變換時，在使用濾波器對真實(shí)的數(shù)字信號進(jìn)行變換時， 得到的數(shù)據(jù)將是得到的數(shù)據(jù)將是原始數(shù)據(jù)的兩倍原始數(shù)據(jù)的兩倍。 根據(jù)根據(jù)尼奎斯特尼奎斯特(Nyquist)(Nyquist)采樣定理就采樣定理就提出了降采樣的方提出了降采樣的方 法，即在每個通道中每兩個樣本數(shù)據(jù)取一個，得到的法，即在每個通道中每兩個樣本數(shù)據(jù)取一個，得到的 離散小波變換的系數(shù)離

13、散小波變換的系數(shù)(coefficient)(coefficient)分別用分別用cDcD和和cAcA表示表示 1.6 1.6 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT） 27 將信號的小波分解的分量進(jìn)行處理后，一般還要將信號的小波分解的分量進(jìn)行處理后，一般還要 根據(jù)需要把根據(jù)需要把信號恢復(fù)出來信號恢復(fù)出來，也就是利用信號的小波分，也就是利用信號的小波分 解的系數(shù)還原出原始信號，這一過程稱為解的系數(shù)還原出原始信號，這一過程稱為小波重構(gòu)小波重構(gòu) （Wavelet ReconstructionWavelet Reconstruction）或叫做小波合成或叫做小波合成 （Wavelet Synthes

14、isWavelet Synthesis）。）。 1.7 1.7 小波重構(gòu)小波重構(gòu) 這一合成過程的數(shù)學(xué)運(yùn)算叫做這一合成過程的數(shù)學(xué)運(yùn)算叫做逆離散小波變換逆離散小波變換 （Inverse Discrete Wavelet TransformInverse Discrete Wavelet Transform，IDWTIDWT）。）。 28 小波重構(gòu)算法示意圖 S H L H L 1.7 1.7 小波重構(gòu)小波重構(gòu) 29 (1) (1) 重構(gòu)近似信號與細(xì)節(jié)信號重構(gòu)近似信號與細(xì)節(jié)信號 由小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原由小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原 始信號。始信號。 同樣，可由近似系數(shù)

15、和細(xì)節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)出信號同樣，可由近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)出信號 的的近似值近似值或或細(xì)節(jié)值細(xì)節(jié)值，這時只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)置，這時只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)置 為零即可。為零即可。 1.7 1.7 小波重構(gòu)小波重構(gòu) 30 重構(gòu)近似和細(xì)節(jié)信號示意 （a） 重構(gòu)近似信號； (b) 重構(gòu)細(xì)節(jié)信號 A1 H L 1000個 樣 點(diǎn) 0 約 500個 0 cA1 約 500個 近 似 分 量 (a) D1 H L 1000個 樣 點(diǎn) (b) 約 500個 0 約 500個 近 似 分 量 0 cD1 1.7 1.7 小波重構(gòu)小波重構(gòu) 31 (2)多層重構(gòu) 重構(gòu)出信號的近似值A(chǔ)1與細(xì)節(jié)值D1之后，則原信

16、 號可用A1D1S重構(gòu)出來。對應(yīng)于信號的多層小波分 解，小波的多層重構(gòu)圖: 1.7 1.7 小波重構(gòu)小波重構(gòu) 32 重構(gòu)過程為：A3D3A2；A2D2A1； A1+D1S。 A3D3 A2D2 S A1D1 1.7 1.7 小波重構(gòu)小波重構(gòu) 心電信號的噪聲特點(diǎn) 小波分析與傳統(tǒng)信號處理方法的比較 小波去噪的基本原理 小波去噪的基本步驟 小波去噪中的閾值函數(shù)和閾值的選取 小波去噪中小波函數(shù)的選擇 去噪效果的評價 程序說明 總結(jié) 心電信號（ECG）是典型的強(qiáng)噪聲的非平穩(wěn)的隨 機(jī)信號。正常心電信號的頻率范圍在0.01Hz- 100Hz之間，而90%的ECG頻譜能量又集中在 0.25Hz-35Hz之間。

17、 在心電信號的采集和A/D轉(zhuǎn)換過程中,心電信號不 可避免地受到各種類型的噪聲干擾,概括起來主要 包括以下三類噪聲: 一、心電信號的噪聲特點(diǎn)一、心電信號的噪聲特點(diǎn) （1）由于電源磁場作用于心電圖機(jī)與人體之間的環(huán)形電路 所致的50Hz/60Hz工頻干擾; （2）由于病人肌肉緊張產(chǎn)生的肌電干擾; （3）由于病人呼吸運(yùn)動或者由電極電極皮膚之間界面 阻抗所致的頻響,一般小于1Hz的基線漂移； 這些噪聲干擾與心電信號混雜,引起心電信號的畸變, 使整個心電信號波形模糊不清,對隨后的信號分析處理,尤 其是計(jì)算機(jī)自動識別診斷造成誤判和漏判,因此,心電信號 的消噪有重要的意義。 00.511.522.533.54

18、4.55 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 28 1111111811111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 Time / s Voltage / mV ECG signal 100.dat )(*)()(tetfts1_, 1 , 0nt 在實(shí)際工程應(yīng)用中，通常所分析的信號具有非線性， 非平穩(wěn),并且奇異點(diǎn)較多的特點(diǎn)。含噪的一維信號模型 可表示為： 其中，f(t)為真實(shí)信號，s(t)為含噪信號，e(t)

19、為噪聲， 為噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差。 有用信號通常表現(xiàn)為低頻信號或是相對比較 平穩(wěn)。而噪聲信號通常表現(xiàn)為高頻分解后，含 噪部分主要集中在高頻小波系數(shù)中，并且，包 含有用信號的小波系數(shù)幅值較大，但數(shù)目少； 而噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)幅值小，數(shù)目較多。 基于上述特點(diǎn)，可以應(yīng)用門限閾值法對小波 系數(shù)進(jìn)行處理。（即對較小的小波系數(shù)置為， 較大的保留或削弱），然后對信號重構(gòu)即可達(dá) 到消噪的目的。 CD3 CD2 CA3 CA2 s CA1CD1 小波分解的 結(jié)構(gòu)示意圖 小波分解系 數(shù)示意圖 三、小波分解示意圖： 1.小波變換去噪的流程示意圖： 預(yù)處理 小波變 換多尺 度分解 各尺度 小波系 數(shù)除噪 小波逆 變換重 構(gòu)信

20、號 除噪后 的信號 含噪 信號 小波除噪的具體步驟： (1) 對含噪信號進(jìn)行預(yù)處理,并進(jìn)行小波分解。選擇小 波確定分解的層數(shù)N,然后對信號s進(jìn)行N層分解。 (2) 小波分解的高頻系數(shù)的閾值量化。對第一層到第N層 高頻系數(shù)，選擇軟閾值或硬閾值量化處理。 () 一維小波重構(gòu)。根據(jù)小波分解的第N層低頻系數(shù)和 第一層到第N層的高頻系數(shù)，進(jìn)行一維重構(gòu)。 在上面的步驟中，最為關(guān)鍵的就是如何選取閾值和 如何閾值量化，從某種意義上講，它直接影響信號去噪 的質(zhì)量。 為閾值。閾值后的小波系數(shù)，為小波系數(shù)，設(shè)ww 閾值函數(shù) 閾值函數(shù)分為軟閾值和硬閾值兩種。 (1).硬閾值(hard threshol ding) 當(dāng)

21、小波系數(shù)的絕對值大于等于給定閾值時， 保持不變，而小于時，令其為。即： (2).軟閾值(soft threshol ding) 當(dāng)小波系數(shù)的絕對值大于等于給定的閾值時，令其值 為減去閾值；而小于時，令其為即： 采用這種閾值方法去噪在實(shí)際應(yīng)用中，已取得了較好 的效果，但也存在著一些潛在的缺點(diǎn)，如硬閾值在閾 值點(diǎn)不連續(xù)，重構(gòu)可能產(chǎn)生一些震蕩；軟閾值連續(xù)， 但估計(jì)的小波系數(shù)和分解的小波系數(shù)有恒定的偏差， 直接影響重構(gòu)信號對真實(shí)信號的逼近程度 閾值的選取 閾值的選擇是小波去噪和收縮最關(guān)鍵的一步，在去 噪過程中閾值起著決定性的作用：如果太小，施加閾值 后小波系數(shù)包含太多的噪聲分量，達(dá)不到去噪效果；反 之

22、，則去除了有用部分，使信號失真。 閾值選擇方案及對應(yīng)的MATLAB命令 (1) 固定閾值(sqtwolog) 選取的算法是： (2) Stein無偏似然估計(jì)閾值(rigrsure) 對于給定一個閾值t，得到它的似然估計(jì)，再將非似然 的t最小化，就得到了所選的閾值。 (3) 啟發(fā)式閾值(heursure) 它是前兩種閾值的綜合，是最優(yōu)預(yù)測變量閾值選擇，如 果信噪比很小時，無偏似然估計(jì)的誤差較大，此時，采 用固定閾值。令： 進(jìn)行比較，如果時采用固定閾值，反之，選擇 無偏似然估計(jì)。 (4) 極大極小閾值(minimaxi) 它的原理是令估計(jì)的最大風(fēng)險最小化，其閾值選取的 算法是： 小波變換不像傅里葉

23、變換是由正弦函數(shù)唯一決定的， 小波基可以有很多種，不同的小波適合不同的信號去 噪，對于確定的信號，如果小波選擇不當(dāng)，去噪結(jié)果 可能相差很遠(yuǎn)，還有可能丟失有用的信息。 面對各種小波，到底選擇哪一種來處理心電信號才能 滿足醫(yī)療上的需要，必須經(jīng)過大量的仿真研究結(jié)果來 進(jìn)行篩選 。 根據(jù)大量文獻(xiàn)記錄B樣條函數(shù)適合心電去噪： 樣條函數(shù)是一種非緊支撐正交的對稱小波，有較高的 光滑性，頻率特性好，分頻能力強(qiáng)，頻帶相干小的特 性。 在信號處理中小波的作用是帶通濾波器，且對稱和反 對稱性分別等價為線性相位和廣義線性相位。當(dāng)一個 帶通濾波器不是線性相位或廣義線性相位時，它將使 通過的信號產(chǎn)生畸變。 從理論和實(shí)際應(yīng)

24、用的觀點(diǎn)出發(fā)，具有緊支集的小波是 最富吸引力的。 B樣條是一類基本的樣條函數(shù)，而它的支撐區(qū)是最小 的所以，B樣條小波是一種合適的選擇。 式中yi表示標(biāo)準(zhǔn)原始信號, xi 表示經(jīng)處理后的估計(jì)信 號。其中，SNR越大越好, MSE 越小越好。 輸出評價結(jié)果及去噪后的心電信號 去噪效果的評價 根據(jù)選取的閾值去噪及重構(gòu) 求各層的閾值 提取各尺度小波系數(shù) 對被選的心電信號進(jìn)行小波分解 選取其中一個導(dǎo)聯(lián)的數(shù)據(jù) 調(diào)用心電數(shù)據(jù) 開始 去噪程序流程圖 八、小波去噪程序 %應(yīng) 用 db5作 為 小 波 函 數(shù) 進(jìn) 行 3層 分 解 %利 用 無 偏 似 然 估 計(jì) 閾 值 %對 100.dat from MIT-BIH-DB的 單 導(dǎo) 聯(lián) 數(shù) 據(jù) 進(jìn) 行 去 噪 處 理 clear;clc load(D:/matlab/matlab7.2/work/M.mat); E=M(:,2); E=E; n=size(E); s=E(1:2000); %小 波 分 解 C L=wavedec(E,3,db5); % 從 c中 提 取 尺 度 3下 的 近 似 小 波 系 數(shù) cA3=appcoef(C,L,db5,3); %從 信 號 c中 提 取 尺 度 1,2,3下 的 細(xì) 節(jié) 小 波 系 數(shù) cD1=detcoef(C,L,1); cD2=