從特殊三棱錐到一般三棱錐問(wèn)題PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 從特殊三棱錐到一般三棱錐問(wèn)題從特殊三棱錐到一般三棱錐問(wèn)題 2 解正四面體 正四面體化歸為正方體求解. 在正方體 ABCD - A1B1C1D1中， 由6條面對(duì)角線 A1D、 BC1 、A1C1、 BD、A1B、DC1為棱的四面體即為 正四面體 A1 - BC1D. 正四面體A1- BC1D的棱長(zhǎng)為1的正方體 ABCD - A1B1C1D1 棱長(zhǎng)的 倍 ；體積為正方體的1/3；且有公共的外接球，公共的中心和相等的外半徑 . 2 2/3 第1頁(yè)/共26頁(yè) 3 “正直”三棱錐 我們把“三條側(cè)棱相等且兩兩垂直的三棱錐”稱作“正直三棱錐”. 它的三個(gè)側(cè)面是全等的等腰直角三角形，1個(gè)底面是正三角

2、形.正直棱錐的直觀圖畫法有“立式”（左）和“臥式”（右）兩種. 立式圖中，1個(gè)側(cè)面置于水平位置. 可以清楚地看到它在對(duì)應(yīng)的正方體中的位置；臥式圖中，它的底面置于水平位置，便于在豎直方向顯示底面上的高線. 第2頁(yè)/共26頁(yè) 4 解正直三棱錐 化為正方體求解 一、線線關(guān)系： （1）相交垂直：ADDD1 （2）相交45：AD與AD1 （3）相交60：AD1與AC （4）異面垂直 AC與DD1 距離為 /2 2 二、線面關(guān)系 （1）垂直：AD與DCD1 （2）交成45 ：AD與ACD1 三、面面關(guān)系 （1）垂直：三側(cè)面兩兩之間 （2）交成arctan ：如平面ACD1與平面ACD 2 第3頁(yè)/共26頁(yè)

3、 5 正直三棱錐的高線 【題目】 若正直三棱錐V-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為VA=1. 求它高線VH的長(zhǎng)度. 設(shè)斜高在 ABC上的射影為H，則H為 ABC的中心. 6/6 3 1 CDDH 【解1】 （斜高法） 正直三棱錐V-ABC 中，易知AB = BC = CA = 2 2 斜高VD = /2 故有 高線 3 3 ) 2 6 () 2 2 ( 2222 DHVDVH 【說(shuō)明】 正直三棱錐的高線長(zhǎng)為外接正方體對(duì)角線長(zhǎng) 的1/3 . 3 第4頁(yè)/共26頁(yè) 6 【題目】 若正直三棱錐V-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為VA=1. 求它高線VH的長(zhǎng)度. 【解2】 （等積法）立式圖中， 易知正直三棱錐的體積為 6 1 3 1

4、 VAB SVCV 【證明】 等積法常用來(lái)“求點(diǎn)到平面的距離”. 又 2 3 ) 2 3 2(2 2 1 2 1 CDABS ABC 故 得 6 1 2 3 3 1 VH 3 3 VH 第5頁(yè)/共26頁(yè) 7 正直三棱錐的外接球 【題目】 正直三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，求其外半徑長(zhǎng). 正直三棱錐與其外接正方體有共同的外接球，因此“單位正直三棱錐”與單位正方體有共同的外半徑 . 一般探討為 2/3 【解答】 易知正直三棱錐的“外心”O(jiān) 在高線VH 的延長(zhǎng)線上. 設(shè) VO = CO =x，則 HO = 3 3 x 又 3 6 2 3 2 3 2 3 2 DCHC 由 OC 2 = HO2 +HC2 得 解

5、得 2 3 x 222 ) 3 6 () 3 3 ( xx 第6頁(yè)/共26頁(yè) 8 考題展示 【考題】 （2006年川卷第13題） 【分析】 已知的三棱錐為正直三棱錐. 【解1】 立式圖如右，OM 在ABC上射影為MC，OM與ABC的成角為OMC. 【說(shuō)明】 線面角（OM與ABC成角）化為線線角（OM與MC）亦即面面角（C - AB - O）. 在三棱錐O - ABC，三條棱OA、OB、OC 兩兩垂直且相等. M為AB 的中點(diǎn). 則OM與平面ABC的成角的大小為 . 設(shè)OC =a，則OM = a 2 2 2tan OM OC OMC 故OMC = arctan （答案） 2 第7頁(yè)/共26頁(yè) 9

6、 【考題】 （2006年川卷第13題） 【分析】 已知的三棱錐為正直三棱錐. 【解2】 臥式圖如右，H為底面正三角形ABC的中心. 【說(shuō)明】 本法容易誤入遷解. 如先求OH和MH的長(zhǎng)度. 在三棱錐O - ABC，三條棱OA、OB、OC 兩兩垂直且相等. M為AB的中點(diǎn). 則OM 與平面ABC的成角的大小為 . 2tan OM OC OMC 得OMC = arctan （答案） 2 OM與ABC的成角為OMC. 第8頁(yè)/共26頁(yè) 10 正方體內(nèi)接三棱錐的個(gè)數(shù) 【問(wèn)題】 以正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的4個(gè)頂點(diǎn)作三棱錐，這樣的三棱錐稱正方體的內(nèi)接三棱錐. 求正方體內(nèi)接三棱錐的個(gè)數(shù). 其中，共面的4點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

7、（1）正方體的6個(gè)面；（2）正方體的6個(gè)對(duì)角面. 故正方體的內(nèi)接三棱錐有 70 12 = 58 （個(gè)） 【答案】 從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)的組合數(shù)為 70C4 8 【說(shuō)明】 這58個(gè)三棱錐與正方體同外心，共外接球. 第9頁(yè)/共26頁(yè) 11 “長(zhǎng)棱”三棱錐 正方體內(nèi)接三棱錐可分四類. 除了內(nèi)接正四面體和內(nèi)接正直三棱錐外，還有兩類. （1）斜三棱錐(圖左). （2）底面為直三角形的直三棱錐(圖右). 它們各有1條長(zhǎng)度為 的“長(zhǎng)棱”，其外心在長(zhǎng)棱的中點(diǎn)上. 3 第10頁(yè)/共26頁(yè) 12 直正三棱錐 底面為正三角形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐稱作“直正三棱錐”. 確定一個(gè)“直正三棱錐”需2個(gè)條件，即底

8、棱長(zhǎng)a和直棱長(zhǎng)b. “直正三棱錐”與“正直三棱錐”不同，后者的確定條件只1個(gè). 直正三棱錐的四個(gè)面中： （1）底面是正三角形； （2）有2個(gè)側(cè)面為直角三角形，它們都垂直于底面； （3）另一個(gè)側(cè)面為等腰三角形； 第11頁(yè)/共26頁(yè) 13 解直正三角形 （1）求三棱錐P-ABC的體積； 【題目】 三棱錐P-ABC中，PA面ABC，且PA= ， 又 AB = BC = CA =1. 3 （2）求A到平面PBC的距離. 【解答】（1）P-ABC的體積 （2）設(shè)A到平面PBC的距離為h . 4 1 3 4 3 3 1 3 1 PASS ABC 易得三角形PBC的面積為 4 15 5 15 4 1 4 1

9、5 3 1 hh 由等積原理：（答案） 第12頁(yè)/共26頁(yè) 14 【題目】 三棱錐PABC中，PA面ABC，且PA= ， 又 AB = BC = CA =1. 3 【證明】 易知 BOAC，又BOPA 由（1），（2）知 PC平面BOH. 【說(shuō)明】 由此可知BHO為二面角BPCA的平面角. （3）O為AC的中點(diǎn)，OHPC于H. 求證：PC 平面BOH. 所以BO面PAC BOPC （1） 又OHPC （2） 第13頁(yè)/共26頁(yè) 15 正三棱錐 側(cè)棱長(zhǎng)相等、底面為正三角形的三棱錐為正三棱錐. 確定一個(gè)正三棱錐需2個(gè)條件.即側(cè)棱長(zhǎng)b和底棱長(zhǎng)a . 正三棱錐的直觀圖一般畫成臥式，即置正三角形于水平面

10、上，且使底面上的一條高線，如CD于水平線上. 錐頂V在底面上的射影為底面正三角形的中心H. 截面三角形VCD為錐體的軸截面： （1）側(cè)棱與底面的所成角為VCD. （2）側(cè)面與底面所成二面角的平面角為VDC. （3）截面三角形的高線VH就是錐體的高. 第14頁(yè)/共26頁(yè) 16 正三棱錐的判斷 【考題】 （2005年全國(guó)題16） 下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： 底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐. 【判定】 由此推出，三側(cè)面上的斜高相等，從而推得三斜高在底面上的射影相等，從而確定H為底面三角形的中心. 由此得，三側(cè)棱相等（見(jiàn)右邊的軸截面圖）. 命題為真命題. 它成為正三

11、棱錐“判定定理”之一. 第15頁(yè)/共26頁(yè) 17 正三棱錐的判斷 【考題】 （2005年全國(guó)題16） 下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： 底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐. 【判定】 側(cè)面是等腰三角形，其底邊不一定是底面三角形的邊. 如圖右所示，可設(shè)VC=BC=AC ，并讓點(diǎn)V在直線VD上移動(dòng)，可使VAB也為等腰三角形. 故命題是個(gè)假命題. 第16頁(yè)/共26頁(yè) 18 正三棱錐的判斷 【考題】 （2005年全國(guó)題16） 下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： 底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐. 【判定】 側(cè)面的面積都相等，只須頂點(diǎn)V到三底邊的距離相等. 到三邊等距的點(diǎn)在

12、平面上是三角形的內(nèi)心和旁心. 到空間中，過(guò)底面三角形的內(nèi)心和旁心的底面垂線上所有的點(diǎn)，都分別與三邊等距. 故命題是假命題. 第17頁(yè)/共26頁(yè) 19 正三棱錐的判斷 【考題】 （2005年全國(guó)題16） 下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： 側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐. 【判定】 由側(cè)棱與底面所成的角都相等，可推斷三條側(cè)棱相等. 由側(cè)面與底面所成的二面角相等，可推斷側(cè)面上的三條斜高相等，并推斷底面三角形為正三角形.故三棱錐為正三棱錐. 命題為真命題，它成為正三棱錐“判定定理”之一. 第18頁(yè)/共26頁(yè) 20 【證明（）】 ACB=90，BCAC. PA底面

13、ABCD， PABC BC平面PAC. （）求證: BC平面PAC； 直三棱錐到直四棱錐 像四棱錐可化為三棱錐求解一樣，直四棱錐也可化歸為直三棱錐求解. 【題目】 四棱錐P ABCD中，ABCD, AD=CD=1，BAD=120，PA= , ACB=90. 3 第19頁(yè)/共26頁(yè) 21 【題目】 四棱錐P ABCD中，ABCD, AD=CD=1，BAD=120，PA= , ACB=90. 【證明（）】 易知ADC=60, （）求二面角DPCA的大??； 3 又AD=CD=1，ADC為等邊三角形，且 AC=1. 取AC的中點(diǎn)O，則DOAC， PA底面ABCD， PADO， DO平面PAC. 過(guò)O作

14、OHPC，垂足為H，連DH，由三垂線定理知DHPC. DHO為二面角DPCA的平面角.由 . 2 3 , 4 3 DOOH . 2arctan , 2tanDHO OH DO DHO 二面角DPCA的大小為arctan2. 第20頁(yè)/共26頁(yè) 22 【題目】 四棱錐P ABCD中，ABCD, AD=CD=1，BAD=120，PA= , ACB=90. （）求點(diǎn)B到平面PCD的距離. 3 【證明（）】 設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離為d. ABCD，AB 平面PCD，CD 平面PCD, AB平面PCD. 點(diǎn)B到平面PCD的距離等于點(diǎn) A到平面PCD的距離. 3 4 3 4 15 , dVV ACDPP

15、CDA 5 15 d 【說(shuō)明】 就是上面所說(shuō)的“等積法”求點(diǎn)到平面的距離. 第21頁(yè)/共26頁(yè) 23 三棱錐的外心 任何一個(gè)三棱錐都有外接球，就像任何一個(gè)三角形都有外接圓一樣. 三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)等距，這個(gè)距離就是三角形的外半徑. 三棱錐的外心到四個(gè)頂點(diǎn)等距，這個(gè)距離就是三棱錐的外半徑. 外心的“心、頂?shù)染唷毙再|(zhì)，是我們尋找外心的依據(jù). 三棱錐外接球的球心，稱作三棱錐的外心. 第22頁(yè)/共26頁(yè) 24 外心位置的確定 等腰三角形的外心在底邊的高線上； 正三角形的外心為其中心； 直三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)上. 類比可以推出，一些特殊三棱錐的外心位置： （1）正三棱錐的外心在底面的高線上. （2）正四面體的外心為其中心. （3）“長(zhǎng)棱”三棱錐的外心在“長(zhǎng)棱”的中點(diǎn)上. 第23頁(yè)/共26頁(yè) 25 （1）試確定三棱錐外心位置. （2）求外半徑的長(zhǎng)度. 【解答】 （1）VAAB，取VB的中點(diǎn)O， 【題目】 三棱錐V ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形. 且VA=VC= ，且VAAB. 2/2 顯然有OV=OA=OB 又VAB與VCB全等. 故VCCB，即O為RtVCB斜邊的