函數(shù)微分的概念解讀

1、1 2.4.1 2.4.1 函數(shù)微分的概念函數(shù)微分的概念 2.4.2 2.4.2 微分的計(jì)算微分的計(jì)算 2.4.3 2.4.3 微分形式的不變性微分形式的不變性 2.4.4 2.4.4 微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用 2 )(xfy x若給定函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)若給定函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo), ,根據(jù)根據(jù) 導(dǎo)數(shù)定義有導(dǎo)數(shù)定義有 )( lim 0 xf x y x . . 由定理由定理1.21.2知，其中是當(dāng)知，其中是當(dāng) 時的無窮小量，上式可寫作時的無窮小量，上式可寫作 )(xf x y xxxfy)(. (2.4.1). (2.4.1) 0 x 2.4.12.4.1 函數(shù)微分的概念函數(shù)微分的概念 返回返回 1/16 上

2、一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 3 (2.4.1)(2.4.1)式表明函數(shù)的增量可以表示為兩項(xiàng)之式表明函數(shù)的增量可以表示為兩項(xiàng)之 和第一項(xiàng)和第一項(xiàng) 是的線性函數(shù)，第是的線性函數(shù)，第 二項(xiàng)，二項(xiàng)， 當(dāng)當(dāng) 時是比時是比 高階的無窮高階的無窮 小量因此，當(dāng)小量因此，當(dāng) 很小時，我們稱第一項(xiàng)很小時，我們稱第一項(xiàng) 為為 的線性主部，的線性主部， 并叫做函數(shù)并叫做函數(shù) 的微分的微分 x xa 0 xx x xxf)( xxf)(y)(xf 2.4.12.4.1 函數(shù)微分的概念函數(shù)微分的概念 返回返回 2/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 4 定義定義2.32.3設(shè)函數(shù)

3、在點(diǎn)設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 處有處有 導(dǎo)數(shù)，則稱為在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，則稱為在點(diǎn) 處的微分，記作，即處的微分，記作，即 )( 0 x f xxf)( 0 )(xfy )(xfy 0 x 0 x yd xxfy)(d 0 ，(2.4.2)(2.4.2) 此時，稱此時，稱 在點(diǎn)在點(diǎn) 處是可微的處是可微的. .)(xfy 0 0 x 例如，函數(shù)例如，函數(shù) 在點(diǎn)處的微分為在點(diǎn)處的微分為 3 xy 2x xxxxxy xx 123)(d 2 2 2 3 2.4.12.4.1 函數(shù)微分的概念函數(shù)微分的概念 返回返回 3/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 5 函數(shù)在任意點(diǎn)的微分，叫做函數(shù)在任意點(diǎn)的微分，叫做

4、 函數(shù)的微分，記作函數(shù)的微分，記作 )(xfy x xxfy)(d (2.4.3)(2.4.3) 如果將自變量當(dāng)作自己的函數(shù)，如果將自變量當(dāng)作自己的函數(shù)， 則有則有 x xy xxxyx)(dd， 說明自變量的微分就等于它的改變量，說明自變量的微分就等于它的改變量， 于是函數(shù)的微分可以寫成于是函數(shù)的微分可以寫成 xdx 2.4.12.4.1 函數(shù)微分的概念函數(shù)微分的概念 返回返回 4/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 6 xxfyd)(d，(2.4.4)(2.4.4) 即即 x y xf d d )( ， (2.4.5)(2.4.5) 也就是說，函數(shù)的微分與自變量的微也就

5、是說，函數(shù)的微分與自變量的微 分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)又分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)又 叫叫微商微商 xd yd 2.4.12.4.1 函數(shù)微分的概念函數(shù)微分的概念 返回返回 5/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 7 解解 22 1)01. 01 (y 11020. 11020. 0 ； xyy) 1 (d 01. 012 02. 0 . . 可見可見yyd. . 2.4.12.4.1 函數(shù)微分的概念函數(shù)微分的概念 返回返回 6/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 例例1 1求函數(shù)在，求函數(shù)在， 時的改變總量及微分時的改變總量及微分 2

6、 xy 1x 01. 0 x 8 2.4.12.4.1 函數(shù)微分的概念函數(shù)微分的概念 返回返回 7/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 曲線坐標(biāo)的改變量曲線坐標(biāo)的改變量 )()( 00 xfxxfy 0 d xx y NM NMNT 0 tan xxf)( 0 微分的幾何意義示意圖微分的幾何意義示意圖 動畫演示動畫演示 9 函數(shù)微分的函數(shù)微分的幾何意義幾何意義就是：在曲線上某就是：在曲線上某 一點(diǎn)處當(dāng)自變量取得改變量時，曲線一點(diǎn)處當(dāng)自變量取得改變量時，曲線 在該點(diǎn)處切線縱坐標(biāo)的改變量在該點(diǎn)處切線縱坐標(biāo)的改變量 x 2.4.12.4.1 函數(shù)微分的概念函數(shù)微分的概念 返回返回

7、 8/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 10 例例2 2 求下列函數(shù)的微分：求下列函數(shù)的微分： (1) (1) ； x xy 23e x y 1 arctan (2)(2) 解解(1)(1)23(ee2e3 222322 xxxxy xxx xxxxyy x d)23(edd 22 所以所以 (2)(2) 2 2 2 1 1 1 1 1 x x x y ， 2 1 d d x x y 2.4.2 2.4.2 微分的計(jì)算微分的計(jì)算 返回返回 9/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 11 xxufxyyd)()(dd uufdxxufd)()()(， 無論

8、是自變量還是中間變量，無論是自變量還是中間變量， 的微分總可以用與的乘積來表示的微分總可以用與的乘積來表示 函數(shù)微分的這個性質(zhì)叫做函數(shù)微分的這個性質(zhì)叫做微分形式的不變性微分形式的不變性 u )(ufy ydud)(u f 2.4.3 2.4.3 微分的形式的不變性微分的形式的不變性 返回返回 10/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 以為中間變量的復(fù)合函數(shù)以為中間變量的復(fù)合函數(shù) y)(xu )(xf的微分的微分 12 利用微分可以進(jìn)行近似計(jì)算利用微分可以進(jìn)行近似計(jì)算. . 這個公式可以直接用來計(jì)算函數(shù)增量的這個公式可以直接用來計(jì)算函數(shù)增量的 近似值近似值 由微分的定義知，當(dāng)

9、很小時，有近由微分的定義知，當(dāng)很小時，有近 似公式似公式 x xxfyy)(d )()(xfxxfy ， xxfxfxxf)()()(， 2.4.4 2.4.4 微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用 返回返回 11/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 13 xxfxfxxf)()()(即即 這個公式則可以用來計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)附這個公式則可以用來計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)附 近的函數(shù)值的近似值近的函數(shù)值的近似值 2.4.4 2.4.4 微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用 返回返回 12/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 14 解解令，因?yàn)橄鄬α睿驗(yàn)橄鄬?于較小，可用上面的近似公式來求值于較小

10、，可用上面的近似公式來求值 100 0 x05. 0 xx 0 x 2.4.4 2.4.4 微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用 返回返回 13/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 例例3 3設(shè)某國的國民經(jīng)濟(jì)消費(fèi)模型為設(shè)某國的國民經(jīng)濟(jì)消費(fèi)模型為 2 1 01. 04 . 010 xxy 其中：為總消費(fèi)其中：為總消費(fèi)( (單位：十億元單位：十億元) )；為可支；為可支 配收入單位：十億元配收入單位：十億元).).當(dāng)時，問總當(dāng)時，問總 消費(fèi)是多少？消費(fèi)是多少？ yx 05.100 x 15 05. 0) 2 01. 0 4 . 0(1 .50 100 xx 025120.50( (十億元十億元

11、) ) 2.4.4 2.4.4 微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用 返回返回 14/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 xxfxfxxf)()()( 00 0 )10001. 01004 . 010( 2 1 xxx x 100 2 1 )01. 04 . 010( 16 2.4.4 2.4.4 微分的應(yīng)用微分的應(yīng)用 例例4 418301830年代后期，法國生理學(xué)家普瓦年代后期，法國生理學(xué)家普瓦 澤伊（澤伊（Jean Poiseuille）發(fā)現(xiàn)了今天我們?nèi)栽谟脕恚┌l(fā)現(xiàn)了今天我們?nèi)栽谟脕?預(yù)測必須擴(kuò)張部分受阻塞的動脈半徑多少才能恢預(yù)測必須擴(kuò)張部分受阻塞的動脈半徑多少才能恢 復(fù)正常的血液流動他的公式為復(fù)正常的血液流動他的公式為 4 krV 即流體以固定的壓力在單位時間內(nèi)流過的細(xì)管即流體以固定的壓力在單位時間內(nèi)流過的細(xì)管 的體積的體積V等于一個常數(shù)乘以管半徑的四次冪等于一個常數(shù)乘以管半徑的四次冪 問問：半徑半徑r增加增加10%10%對對V的影響有多大？的影響有多大？ 返回返回 15/16 上一頁上一頁上一頁上一頁下一頁下一頁下一頁下一頁 17 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?3 4 d d kr r V 所以，所以，r 的微分和的微分和V的微分之間的關(guān)系為的微分之間的關(guān)系為 rkrr r V Vd4d d d