流體力學(xué)-(5)完整版

1、 B3.1 微分形式的連續(xù)性方程微分形式的連續(xù)性方程 B3.2 作用在流體微元上的力作用在流體微元上的力 B3.3 微分形式的動(dòng)量方程微分形式的動(dòng)量方程 B3.4 納維納維- -斯托克斯（斯托克斯（N-SN-S）方程）方程 B3.5 邊界條件和初始條件邊界條件和初始條件 B3.6 壓強(qiáng)場(chǎng)壓強(qiáng)場(chǎng) B3 微分形式的基本方程 B3 微分形式的基本方程微分形式的基本方程 本章討論流體力學(xué)三要素中第三要素“力”。 微分形式的流體力學(xué)基本方程描述空間點(diǎn)鄰域內(nèi)的物理量關(guān)系， 求解這些方程可得到物理量在空間分布的細(xì)節(jié) p主要內(nèi)容：微分形式的連續(xù)性方程和動(dòng)量方程；作用在流體微元 上的體積力和表面力；重力場(chǎng)、應(yīng)力

2、場(chǎng)、壓強(qiáng)場(chǎng)；邊界條件和初始條 件等。 重點(diǎn)：（1）不可壓縮流體連續(xù)性方程； （2）納維-斯托克斯方程； （3）壓強(qiáng)的表達(dá)方式和單位； （4）靜止和運(yùn)動(dòng)流體中壓強(qiáng)分布特征。 根據(jù)質(zhì)量守恒定律，不可壓縮流體流進(jìn)控制體 的質(zhì)量應(yīng)等于流出控制體的質(zhì)量，稱其為流體 運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理。 B3.1.1 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性是物質(zhì)質(zhì)量守恒定律在流體運(yùn)動(dòng)中的特殊體現(xiàn)。 血液循環(huán)理論是流體連續(xù)性原理的勝利，在科學(xué)史上 有里程碑的意義。 B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程微分形式的連續(xù)性方程 如圖所示，設(shè)流體流過以M (x, y, z)為基點(diǎn)， 以dx, dy, dz為邊長的控制體元。

3、 在t 時(shí)間內(nèi)沿x方向凈流出控制體（流出質(zhì) 量減去流入質(zhì)量）的質(zhì)量為 按質(zhì)量守恒定律，在t時(shí)間內(nèi)沿三個(gè)方向凈流出控制體的總質(zhì)量應(yīng) 等于控制體內(nèi)減少的質(zhì)量： B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程微分形式的連續(xù)性方程 取極限后可得 利用質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，可改寫為 （1）（2）式均為微分形式的三維流動(dòng)連續(xù)性方程。 u 不可壓縮流動(dòng) 對(duì)于不可壓縮流體，由于密度恒為常數(shù)，則不可壓縮流體的連續(xù)性 方程為： 在直角坐標(biāo)系中為： B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程微分形式的連續(xù)性方程 在柱坐標(biāo)系中為: 在不同條件下連續(xù)方程有不同形式： 速度散度為零意味著在空間一點(diǎn)鄰域內(nèi)流體的體積相對(duì)膨脹 率恒為零，這是保證流體密度

4、恒等于常數(shù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件。 u 可壓縮流體定常流動(dòng) 對(duì)定常流動(dòng) ，可壓縮流體定常流動(dòng)的連續(xù)性方程為： 0 t B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程微分形式的連續(xù)性方程 在直角坐標(biāo)系中為： 思考題：思考題：連續(xù)性方程 適用于（ ）， 連續(xù)性方程 適用于（ ） （A）不可壓縮流體； （B）不定常流體； （C）定常流體； （D）任何流體。 0 D Dt v 0 uvw xyz v B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程微分形式的連續(xù)性方程 B3.2 作用在流體元上的力作用在流體元上的力 B3.2.1 體積力和表面力體積力和表面力 p 體積力：穿越空間作用在所有流體元上的非接觸力， 如:重力、慣性力、電磁力等

5、。 u 作用在流體元上的體積力(Fb)大小一般與流 體元體積成正比，故名體積力。重力和慣 性力正比于流體元的質(zhì)量，又稱質(zhì)量力。 u 體積力可表示為空間位置和時(shí)間的分布函數(shù)。 作用在M(x, y, z)點(diǎn)鄰域內(nèi)單位質(zhì)量流體元上的 體積力f 為 b t)z,y,(x, F f 0 lim B3.2.1 體積力和表面力體積力和表面力 B3.2.2 重力場(chǎng)重力場(chǎng) p 重力場(chǎng)：在Z軸垂直向上的直角坐標(biāo)系中，作用在單位質(zhì)量流體 之上的重力構(gòu)成重力場(chǎng)。 g為重力加速度。重力是有勢(shì)力： 設(shè) u 簡稱為重力勢(shì)，是單位質(zhì)量流體元具有的重力勢(shì)能。 u 重力勢(shì)梯度的負(fù)值即為單位質(zhì)量流體元的重力。 在靜止流體中沒有切向

6、應(yīng)力 ，只有法向應(yīng)力， 靜止流體中的表面應(yīng)力始終與作用面垂直。 在靜止流體中一點(diǎn)的法向應(yīng)力在各個(gè)方向均相等。 B3.2.3 流體應(yīng)力場(chǎng)流體應(yīng)力場(chǎng) p 靜止流體中的應(yīng)力狀態(tài) )0( yzxzxy )(ppppp nnzzyyxx 稱p為靜壓強(qiáng)，就是熱力學(xué)中的平衡壓強(qiáng)， 負(fù)號(hào)表示流體只受壓。 運(yùn)動(dòng)的無粘性流體中也沒有切向應(yīng)力， 應(yīng)力狀態(tài)與靜止流體相似。 p 運(yùn)動(dòng)流體的應(yīng)力狀態(tài)： B3.2.3 流體應(yīng)力場(chǎng)流體應(yīng)力場(chǎng) 在運(yùn)動(dòng)粘性流體中,一點(diǎn)的表面應(yīng)力與作用面不垂 直，即有法向分量又有切向分量，而且這些分量的 大小與作用面的方位有關(guān)，稱其為應(yīng)力狀態(tài) 。 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可用通過該點(diǎn)三個(gè)互相垂直的面積 之上

7、三組表面應(yīng)力分量完全確定。如外法矢沿x軸 正向的面積元 dAx 上一組應(yīng)力分量為 pxx (x法向) xy (y切向) xz (x切向) 上式中表面應(yīng)力分量的第一個(gè)腳標(biāo)代表面積元的方 位（即外法矢的指向），第二個(gè)腳標(biāo)代表表面應(yīng)力 作用方向，稱為應(yīng)力表示約定。 B3.2.3 流體應(yīng)力場(chǎng)流體應(yīng)力場(chǎng) 同另外兩個(gè)正交面積元上的兩組應(yīng)力分量共九個(gè)分量 構(gòu)成應(yīng)力矩陣（張量） 可以證明九個(gè)分量中只有六個(gè)是獨(dú)立的 通常約定，當(dāng)法向應(yīng)力與外法矢n方向一致時(shí)為正（被作用的流 體元受拉伸），方向相反時(shí)為負(fù)（被作用的流體元受壓縮）。 p 應(yīng)力矩陣的常用表達(dá)式： 運(yùn)動(dòng)的可壓縮粘性流體各方面的法向壓應(yīng)力可以不相等，引入平

8、均 壓強(qiáng) ，并認(rèn)為它也等于熱力學(xué)中的平衡壓強(qiáng)，簡稱為壓強(qiáng) p 。 p B3.2.3 流體應(yīng)力場(chǎng)流體應(yīng)力場(chǎng) xxx yyy zzz pp pp pp 把壓強(qiáng)從法向應(yīng)力中分離出來 式中x，y，z 是運(yùn)動(dòng)粘性流體偏離平均壓強(qiáng)的附加法向應(yīng)力， 與流體元線應(yīng)變率有關(guān)。 B3.2.3 流體應(yīng)力場(chǎng)流體應(yīng)力場(chǎng) 00 00 00 xxyxz yxyyz zxzyz p p p p 應(yīng)力矩陣可寫成： 上式右邊第一項(xiàng)稱為靜壓強(qiáng)項(xiàng)；第二項(xiàng)稱為“偏應(yīng)力” 項(xiàng)，由流體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生（靜止時(shí)為零）。 B3.3 微分形式的動(dòng)量方程微分形式的動(dòng)量方程 p 微分形式的動(dòng)量方程（流體運(yùn)動(dòng)微分方程） 用牛頓第二定律描述流體運(yùn)動(dòng)，可得在直角

9、坐標(biāo) 系中微分形式的動(dòng)量方程如下： () () () xy xxxz x yxyyyz y zy zxzz z puuuu uvwf txyzxyz p vvvv uvwf txyzxyz pwwww uvwf txyzxyz 上式表明：單位體積流體元上的體積力及三個(gè)方向的 表面應(yīng)力梯度造成了單位體積流體元的加速度。 如下圖所示，在正方體微元三組平面上x方向的表面應(yīng)力梯 度構(gòu)成表面應(yīng)力合力。 () xy xxxz x puuuu uvwf txyzxyz B3.3 微分形式的動(dòng)量方程微分形式的動(dòng)量方程 流體運(yùn)動(dòng)微分方程適用于任何流體，對(duì)不同類型的流體將 具有不同的形式。 B3.4 納維納維-

10、-斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程 p 不可壓縮牛頓流體本構(gòu)關(guān)系 對(duì)于不可壓縮牛頓粘性流體，將牛頓粘性定律從一維 推廣到三維，法向應(yīng)力和切向應(yīng)力分別與線應(yīng)變率和角 變形率成線性關(guān)系（Stokes假設(shè)）。 2 2 2 xx yy zz u pp x v pp y w pp z () () () xyyx xzzx yzzy vu xy uw zx wv yz p N-S方程 將不可壓縮牛頓流體的本構(gòu)關(guān)系代入直角坐標(biāo)系中微分形式 的動(dòng)量方程可得： B3.4 納維納維- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程 222 222 222 222 222 222 ()() ()() ()() x y z

11、uuuupuuu uvwf txyzxxyz vvvvpvvv uvwf txyzyxyz wwwwpwww uvwf txyzzxyz 上式稱為均質(zhì)不可壓縮牛頓流體的納維-斯托克斯方程， 習(xí)慣上簡稱為N-S方程。 B3.4 納維納維- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程 N-S方程是本課程中占主導(dǎo)地位的控制方程，在 不同條件下，對(duì)不同流體模型可化為不同形式。 N-S方程加上連續(xù)性方程構(gòu)成封閉的方程組，可 在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件和初始條件下求解。 2 Dv fpv Dt 矢量形式 思考題：思考題： （A）體積力壓強(qiáng)粘性應(yīng)力； （B）體積力壓強(qiáng)梯度粘性應(yīng)力； （C）體積力壓強(qiáng)梯度粘性應(yīng)力散度。 B3

12、.4 納維納維- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程 N-S方程是牛頓第二定律應(yīng)用于牛頓粘性流體流動(dòng) 中的表達(dá)式。由N-S方程可看到，引起單位體積流 體元加速度的作用力是： 壓強(qiáng)和粘性應(yīng)力是表面力，當(dāng)它們作用在流體元某一方 向上處于平衡狀態(tài)時(shí)不引起該方向的加速度。只有存在 梯度（粘性應(yīng)力在各個(gè)方向上的作用合力是粘性應(yīng)力的 散度）時(shí)才引起加速度。 u 內(nèi)流問題：出入口的速度和壓強(qiáng)分布已知 （一般由實(shí)驗(yàn)測(cè)得） u 外流問題：無窮遠(yuǎn)處的速度和壓強(qiáng)分布已知。 u 兩種流體交界面：界面上的速度、壓強(qiáng)和粘性切應(yīng) 力應(yīng)連續(xù)。 p 邊界條件 u 固體邊界 粘性流體：必須滿足固壁面不滑移條件（或速度連續(xù)條件）

13、 無粘流體：無需滿足不滑移條件，但法向速度仍應(yīng)連續(xù)。 B3.5 邊界條件與初始條件邊界條件與初始條件 兩種流體交界面應(yīng)滿足的邊界條件為： 212121 ，ppvv p 初始條件 對(duì)定常流動(dòng)，無初始條件； 對(duì)于非定常流動(dòng)應(yīng)知道初始時(shí)刻的速度和壓強(qiáng)分布。 B3.5 邊界條件與初始條件邊界條件與初始條件 思考題：思考題： （A）u=常數(shù)； （B）p=常數(shù)； （C） 。 河水在重力作用下沿斜坡向下流動(dòng)，水深為 h，液 面上是大氣，在用N-S方程求解速度分布 u(y)時(shí)， 液面上的運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件可取為： B3.5 邊界條件與初始條件邊界條件與初始條件 0 y u 212121 ，ppvv 已知：牛頓流體

14、（ ）在重力作用下沿斜坡（傾角為 ） 做定常層流流動(dòng)。液面上方為大氣壓（ ）。流層深h ，設(shè)圖中坐標(biāo)系中速度、體積力、壓強(qiáng)分別為： 解：平面流動(dòng)的N-S方程為： / 0 g p )2()()( ) 1 ()()( 2 2 2 2 2 2 2 2 y v x v y p f y v v x v u t v y u x u x p f y u v x u u t u y x 例題B3.5.1：沿斜坡的定常層流：N-S方程與邊界條件 求：驗(yàn)證是否滿足N-S方程及邊界條件。 22 22 11 0 ,sin() ,sin uuuuu ghyg txyxy 0 ,0 ,sin pp vg xy 1 sin

15、0sinsin -sin0gggg （） -coscos00gg 例題B3.5.1：沿斜坡的定常層流：N-S方程與邊界條件 本例中 (1)式左邊0 右邊 (2)式左邊0 右邊 滿足N-S方程。 在斜坡上，y=0, u=0 在液面上，y=h, 壓強(qiáng) 0 y u 滿足不滑移條件。 滿足切應(yīng)力為零。 cos)(yhgp|y=h=0 為大氣壓強(qiáng)，滿足邊界條件。 B3.6 壓強(qiáng)場(chǎng)壓強(qiáng)場(chǎng) 壓強(qiáng)在流體運(yùn)動(dòng)、流體與固體相互作用中扮演重 要角色，如機(jī)翼升力、高爾夫球及汽車的尾流阻力 都與壓強(qiáng)有關(guān)，龍卷風(fēng)產(chǎn)生強(qiáng)大的負(fù)壓強(qiáng)作用，液 壓泵和壓縮機(jī)推動(dòng)流體做功是正壓強(qiáng)作用的結(jié)果。 B3.6.1 靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布

16、靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布 p 均質(zhì)流體壓強(qiáng)一般表達(dá)式 靜止流體中無慣性力和粘性力，體積力為重力，由N-S方程可得 前兩式表明p與x y無關(guān)，對(duì)均質(zhì)流體（ =常數(shù)）， 由第三式積分可得： 上式表明靜止流體中的壓強(qiáng)沿垂直坐標(biāo)為線性分布， 常數(shù)c由邊界條件決定。 公式 常用來表示具有自由液面 的液體內(nèi)的壓強(qiáng)分布。 p 均質(zhì)液體壓強(qiáng)公式 靜止液體中的壓強(qiáng) 分布示意圖 B3.6.1 靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布 pgzc 設(shè)自由液面的坐標(biāo)為z0 ，壓強(qiáng)為p0，可得： 在工程上通常用自由液面下的深度（稱為淹深） h=z0-z, 表示一點(diǎn)的垂直位置(右圖)，則上式可 改寫為 上式稱為勻質(zhì)

17、靜止液體中的壓強(qiáng)公式，它表明 在垂直方向，壓強(qiáng)與淹深成線性關(guān)系； 在水平方向（h=常數(shù)），壓強(qiáng)為常數(shù)，水平面是等壓強(qiáng)面， 簡稱等壓面。 思考題：思考題： 如下圖所示的一U形管，管內(nèi)有兩種液體處 于平衡狀態(tài)，試指出圖中所畫斷面中的等壓 面（ ） （A）1-1面； （B）2-2面； （C）3-3面。 B3.6.1 靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布 判斷等壓面的條件是：連通的同種流體。 例題B3.6.1： 靜壓強(qiáng)分布圖 已知：靜止液體的自由表面上方為大氣壓強(qiáng)。 求：定性的畫出液體中斜面和曲面上的壓強(qiáng)分布。 解： B3.6.2 壓強(qiáng)計(jì)示方式與單位壓強(qiáng)計(jì)示方式與單位 p 壓強(qiáng)計(jì)示方式 壓

18、強(qiáng)公式 可作為壓強(qiáng)計(jì)算的基礎(chǔ)，其中 為基準(zhǔn)壓強(qiáng)。 ghpp 0 0 p 兩個(gè)基準(zhǔn)：絕對(duì)真空（ ）和當(dāng)?shù)卮髿鈮海?） 三種計(jì)示方式： u絕對(duì)壓強(qiáng)（ ）：相對(duì)于絕對(duì)真空計(jì)量之值（ ），標(biāo)注為（ab） u表壓強(qiáng)（ ）：相對(duì)于當(dāng)?shù)卮髿鈮河?jì)量之值（當(dāng)?shù)陀?時(shí)為負(fù)），標(biāo) 注為（g） u真空度（ ）：當(dāng)表壓強(qiáng)為負(fù)時(shí)，取其絕對(duì)值（ ），標(biāo)注為（v） 0p a p ab p0 ab p g p a p v p 0 v p 約定：除特別說明外，壓 強(qiáng)均以表壓強(qiáng)計(jì)算。 思考題：思考題： pab, pg, pv分別表示絕對(duì)壓強(qiáng)、表壓強(qiáng)和真空 度， pa表示大氣壓強(qiáng)。試判斷下列表達(dá)式哪 個(gè)是對(duì)的： （A） ； （B）

19、； （C） 。 B3.6.2 壓強(qiáng)計(jì)示方式與單位壓強(qiáng)計(jì)示方式與單位 vaab ppp aabg ppp gav ppp p 壓強(qiáng)單位 B3.6.2 壓強(qiáng)計(jì)示方式與單位壓強(qiáng)計(jì)示方式與單位 u 國際單位制（SI）：帕斯卡（Pa）， 1 Pa = 1 N/m2 , 1 kPa = 103 N/m2 , 1 MPa = 106 N/m2 u 物理單位制（cgs）：毫米汞柱（mmHg） 單位制 例題B3.6.2： 單管與U形管測(cè)壓計(jì) 已知：一封閉容器中充滿密度為的液體。 求： 用單管和U形管測(cè)壓計(jì)測(cè)量內(nèi)壁面上 任一點(diǎn)A的壓強(qiáng) 。 解：在A點(diǎn)處壁面上開一小孔，接液柱式測(cè)壓計(jì)。 (1) 若 pA 0，接單管

20、測(cè)壓計(jì)，如圖。液體在壓力 作用下上升至h高度，液面上為大氣，按下式 pA = pa +gh（絕）=gh（表） h=pA /g（m） (a) 稱h為A點(diǎn)的測(cè)壓管高度。還可以表示為能量形式： gh=pA / gh表示重力勢(shì)能，pA /稱為壓強(qiáng)勢(shì)能。 (b) 例題B3.6.2： 單管與U形管測(cè)壓計(jì) (2) 若 pA 0，接U型管測(cè)壓計(jì)，如圖。U形管內(nèi) 有一段重液體（如汞）密度為，設(shè)其液面差 為h，A點(diǎn)離左支管液面距離為h1 。 pA +gh1+mg h= 0 U形管測(cè)壓計(jì)也適用于測(cè)量氣體壓強(qiáng)。 1 1 由等壓面1-1列壓強(qiáng)平衡方程： pA =-gh1-mg h 0 用被測(cè)液體的測(cè)壓管高度表示 hh

21、g p h A m 1 U形管液面差折合成測(cè)壓管高度 例題B3.6.2A： U形管壓差計(jì) 已知：二個(gè)封閉容器A,B中分別充滿密度為 的流體（氣體或液體）。 求：用U形管測(cè)量A,B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差p=pA-pA 解：將U形管兩支接到A,B兩點(diǎn)，U形管內(nèi)有一段 重液體，密度為 m，液體差為h。取0-0線為 基準(zhǔn)面，A,B的位置為zA, zB。 p A+ g(zA + h )= pB + gzB + mg h p = pA-pB = g ( zB- zA) + ( m- )g h 用被測(cè)流體的測(cè)壓管高度表示： 由等壓面1-1列壓強(qiáng)平衡方程： hzz g p g p g p h m AB BA ) 1()

22、( U形管液面壓強(qiáng)差位置差 例題B3.6.2B： 壓強(qiáng)計(jì)示與單位 已知：設(shè)水泵吸水管的絕對(duì)壓強(qiáng)為p = 8 N/cm2，大氣壓強(qiáng) 為pa=1.013105 Pa 。 試用：國際單位制表示其絕對(duì)壓強(qiáng)、表壓強(qiáng)、真空壓強(qiáng)和 真空度。 解： pv = - pg = 2.1310 4 Pa = 21.3 kPa pab = 810 4 N/m 2 (Pa) = 80 kPa 或表示為 p = 80 kPa (ab) p = pg = pab-pa = (810 4-1.01310 5 ) Pa = -2.1310 4 Pa = -21.3 kPa 或 p =2.1310 4 Pa/1.01310 5 P

23、a = 21% (v) 絕對(duì)壓強(qiáng) 表壓強(qiáng) 真空壓強(qiáng) 真空度 p =21.3 kPa (v) B3.6.3 運(yùn)動(dòng)流體中的壓強(qiáng)分布運(yùn)動(dòng)流體中的壓強(qiáng)分布 運(yùn)動(dòng)流體中，影響壓強(qiáng)分布的因素除體積力外，還有慣性力 和粘性力等。 p 例一：圓柱繞流 慣性力和粘性力的影響 設(shè)流體對(duì)圓柱作定常平面繞流，圓柱表面的壓強(qiáng)分布在 無粘性流體和粘性流體中有不同的概念，設(shè)壓強(qiáng)系數(shù)為 0 2 0 /2 p pp C v 式中p為圓柱面上壓強(qiáng)，p0，v0 為無窮遠(yuǎn)處壓強(qiáng)和速度。 圖b為粘性流體繞流時(shí)（Re=105），由于邊界層分離在圓柱后 部形成尾流區(qū)（見動(dòng)畫），前后壓強(qiáng)分布不對(duì)稱，作用在圓 柱上的壓強(qiáng)合力不為零，形成壓差阻

24、力。 圖a為無粘性流體繞流的壓強(qiáng)系數(shù)分布圖，為前后對(duì)稱分布； B、D點(diǎn)是最大正壓強(qiáng)點(diǎn)（駐點(diǎn)），C、E點(diǎn)是最大負(fù)壓強(qiáng)點(diǎn)， 作用在圓柱上的壓強(qiáng)合力為零（達(dá)朗貝爾佯謬）。 B3.6.3 運(yùn)動(dòng)流體中的壓強(qiáng)分布運(yùn)動(dòng)流體中的壓強(qiáng)分布 機(jī)翼上下表面壓強(qiáng)分布示意 圖，下表面以正壓強(qiáng)為主， 上表面以負(fù)壓強(qiáng)為主，壓強(qiáng) 合力形成升力。 NACA標(biāo)準(zhǔn)翼型（2412）在攻 角分別為7.4度和2.8度時(shí)的 壓強(qiáng)系數(shù)分布圖，可見主要 以上表面負(fù)壓強(qiáng)為主。 p 例二：機(jī)翼繞流 B3.6.3 運(yùn)動(dòng)流體中的壓強(qiáng)分布運(yùn)動(dòng)流體中的壓強(qiáng)分布 在風(fēng)洞里沿轎車中剖面測(cè)量的壓強(qiáng) 系數(shù)分布圖，可見除迎風(fēng)面為正壓 強(qiáng)外，其他部位大多是負(fù)壓強(qiáng)。

25、p 例三：汽車?yán)@流 B3.6.3 運(yùn)動(dòng)流體中的壓強(qiáng)分布運(yùn)動(dòng)流體中的壓強(qiáng)分布 普通型轎車在車速很高時(shí)將產(chǎn)生升力，使 輪胎與地面咬合力減小，造成驅(qū)動(dòng)效率降 低，穩(wěn)定性差。為了克服這些缺點(diǎn)，可采 取如下改進(jìn)措施： （A）增加輪胎的表面粗糙度； （B）改變車身形線，使高速時(shí)升力減少； （C）在轎車車身上安裝產(chǎn)生負(fù)升力的輔助裝置。 B3.6.3 運(yùn)動(dòng)流體中的壓強(qiáng)分布運(yùn)動(dòng)流體中的壓強(qiáng)分布 思考題：思考題： 答案：b,c。目前流行的楔形車身在高速運(yùn)動(dòng)時(shí)不僅不產(chǎn) 生升力，反而產(chǎn)生向下的壓力；另外在轎車后部安裝倒 置的翼形片，產(chǎn)生的升力向下，可抵消車身的升力。 p 有勢(shì)場(chǎng) 有勢(shì)場(chǎng)必?zé)o旋？有勢(shì)場(chǎng)必?zé)o旋？ 定義：設(shè)

26、有矢量場(chǎng)A(M)，若存在單值函數(shù)u(M)滿足 則稱此矢量場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)；命v=-u，并稱 v為這個(gè)場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)。 易見矢量A與勢(shì)函數(shù)v之間的關(guān)系是 由此定義可以看出： （1）有勢(shì)場(chǎng)是一個(gè)梯度場(chǎng)； （2）有勢(shì)場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)有無窮多個(gè)，它們之間只相差一個(gè)常數(shù)。 有勢(shì)場(chǎng)必?zé)o旋？有勢(shì)場(chǎng)必?zé)o旋？ p 定理： 在線單連通區(qū)域內(nèi)矢量場(chǎng)A為有勢(shì)場(chǎng)的 充要條件是其旋度在場(chǎng)內(nèi)處處為零。 證明：必要性設(shè) A = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k 如果A為有勢(shì)場(chǎng)，則存在函數(shù)u(x, y, z), 它滿足 即有 P(x, y, z) = ux, Q(x, y, z)= uy, R(x

27、, y, z)= uz 根據(jù)矢量場(chǎng)的假定：函數(shù)P, Q, R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。從而由上式知 函數(shù)u具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。因此有 Ry-Qz = 0, Pz-Rx = 0, Qx-Py = 0 所以在場(chǎng)內(nèi)處處有 rot A = 0 有勢(shì)場(chǎng)必?zé)o旋？有勢(shì)場(chǎng)必?zé)o旋？ 充分性設(shè)在場(chǎng)內(nèi)處處有rot A = 0，又因場(chǎng)所在區(qū)域是線單連的， 則由斯托克斯公式可知 這個(gè)事實(shí)等價(jià)于曲線積分 與路徑無關(guān)。其積分值只取決于積 分的起點(diǎn)M0(x0, y0, z0) 和終點(diǎn)M(x, y, z) ；當(dāng)起點(diǎn)固定時(shí)，它就是其終點(diǎn)M 的函數(shù)，將這個(gè)函數(shù)記作u(x, y, z), ux = P, uy = Q, uz = R 下面

28、來證明函數(shù)具有下面的性質(zhì)： ) 0 M M A dl 有勢(shì)場(chǎng)必?zé)o旋？有勢(shì)場(chǎng)必?zé)o旋？ 先證明第一個(gè)等式。為此，我們保持終點(diǎn)M(x, y, z)的y, z坐標(biāo)不動(dòng)而給x坐 標(biāo)以增量x，這樣得到一個(gè)新的點(diǎn)N(x+x, y, z)。于是有 因積分與路徑無關(guān)，故最后這個(gè)積分可以在直線段MN上取。這時(shí)y和z均 為常數(shù)，從而dy=0，dz=0。這樣 按積分中值定理有 M0 M(x,y,z) N S z x yx0 x y0y z0 有勢(shì)場(chǎng)必?zé)o旋？有勢(shì)場(chǎng)必?zé)o旋？ 兩端除以x后，令x0而取極限，就得到 此性質(zhì)表明： 即表達(dá)式A dl= Pdx+ Qdy+ Rdz為函數(shù)u的全微分； 同理可證 （1） （2）函數(shù)u

29、滿足A=gradu。所以，矢量場(chǎng)A為有勢(shì)場(chǎng)。 B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) B4.2 積分形式的連續(xù)性方程積分形式的連續(xù)性方程 B4.3 伯努利方程及其應(yīng)用伯努利方程及其應(yīng)用 B4.4 積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用 B4.5 積分形式的動(dòng)量矩方程積分形式的動(dòng)量矩方程 B4.6 積分形式的能量方程積分形式的能量方程 B4 積分形式的基本方程 B4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程 積分形式的流體力學(xué)基本方程描述空間有限體積域上的流體運(yùn)動(dòng) 規(guī)律，主要涉及流體質(zhì)量、動(dòng)量 、動(dòng)量矩和能量等物理量在有限體積 域上的積分值（廣延量）隨時(shí)間和位置的變化規(guī)律，它在

30、工程上有廣 泛應(yīng)用。 p主要內(nèi)容：流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)；積分形式的連續(xù)性方程、動(dòng)量 方程、動(dòng)量矩方程和能量方程及其應(yīng)用，伯努利方程及其應(yīng)用等。 重點(diǎn)：（1）有限控制體分析，輸運(yùn)公式； （2）有多個(gè)一維出入口的控制體上的連續(xù)性方程； （3）伯努利方程； （4）有多個(gè)一維出入口的控制體上的定常動(dòng)量方程等。 B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) p 系統(tǒng)廣延量 由于 為流體系統(tǒng)內(nèi)物理量的空間分布函數(shù)，在系統(tǒng) （system）上積分： 稱為系統(tǒng)廣延量。當(dāng) 取密度、動(dòng)量、動(dòng)量矩和能量函數(shù) 時(shí)，分別可得系統(tǒng)質(zhì)量、系統(tǒng)動(dòng)量、系統(tǒng)動(dòng)量矩和系統(tǒng)能 量等。 ),(tr ( )( , ) sys sys N

31、tr t d p 控制體廣延量 ( )( , , , ) CV CV Ntx y z t d 控制體表面為CS，一流體系統(tǒng)sys（實(shí)線包圍區(qū)域）在 t 時(shí)刻剛好與控制體重合，以后流體系統(tǒng)可以與控制體形狀 不同。右圖為控制體形狀變化示意圖： B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) p 有限控制體分析，輸運(yùn)公式 在流場(chǎng)中取一固定不變形的有限控制體 CV （圖中虛線包圍的區(qū)域） B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) t 時(shí)刻物理量的空間分布函數(shù)（單位體積之值），在系統(tǒng)上的積分 145 2345 () () tt CV 控制體 控制面 2345 CSAAAA ( )( , ) sys

32、 sys Ntr t d 由時(shí)間導(dǎo)數(shù)的定義，系統(tǒng)廣延量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)可表示為 00 d 11 lim()( )limdd d sys tt ttt N N ttN t ttt 由于控制體積分區(qū)域 可分割成數(shù)塊，()tt( ) tCV B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) 230 45 0 23400 d 1 limddd d ddd 1 limdd 11 limddlimdd sys CVt tttt CV ttt CVCVt ttt tt tt N tt t tt 5 tt 右端第一項(xiàng)代表控制體廣延量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) 0 1 Ilimddd CVCVCVt ttt tt B4.1 流體系統(tǒng)

33、的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) 230 23 1 IIlim()d()d ()d()d AAt tt AA A tA t t AA v nv n v nv n 右端第三項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)通過控制面流出控制體的廣延量（正值） 450 45 1 IIIlim()d()d ()d()d AAt tt AA A tA t t AA v nv n v nv n out d()ddAtv n 450 1 IIIlimdd t tt t 右端第二項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)通過控制面流入控制體的廣延量（負(fù)值） 230 1 IIlimdd t tt t in d()ddAt v n B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體

34、導(dǎo)數(shù) 將I，II，III式代入原系統(tǒng)廣延量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)公式，并用 D/DT代替d/dt () sys CVCS DN dv n dA DTt r r 上式被稱為雷諾輸運(yùn)公式，簡稱輸運(yùn)公式。 將II與III相加可得 2345 II+III()d()d AAAACS AA v nv n 上式代表單位時(shí)間內(nèi)通過控制面凈流出控制體的廣延量。 類似于流體質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù)（質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）概念，用控制 體上的歐拉坐標(biāo)表示流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)，關(guān)系式為： B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) () sys CVCS DN dv n dA Dtt sys DN Dt d CV t () CS v n dA 表示

35、系統(tǒng)與控制體重合時(shí)系統(tǒng)廣延量對(duì)時(shí)間的隨體導(dǎo)數(shù)，又稱 系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)； 表示控制體廣延量隨時(shí)間的變化率，又稱當(dāng)?shù)刈兓?，反映?場(chǎng)的不定常性（定常時(shí)為零）； 表示通過控制面凈流出控制體的廣延量流量，又稱為遷移變化 率，反映流場(chǎng)的不均勻性（均勻時(shí)為零）。 p 定常流場(chǎng)輸運(yùn)公式 上式表明在定常流場(chǎng)中，當(dāng)系統(tǒng)與控制體重合時(shí)，系統(tǒng) 廣延量的變化只取決于控制面上的流動(dòng)，與控制體內(nèi)的 流動(dòng)無關(guān)（見下圖）。 () sys CS DN v n dA Dt B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) 思考題：思考題：運(yùn)輸公式： 是對(duì)固定控制體導(dǎo)出的，若控制體作勻速運(yùn)動(dòng) 時(shí)，下面哪個(gè)結(jié)論是對(duì)的： （A）仍然適用； （

36、B）不再適用； （C）形式不變，但需將遷移項(xiàng)中v改為相對(duì)速度vr。 B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) () sys CVCS DN dv n dA Dtt B4.2 積分形式的連續(xù)性方程積分形式的連續(xù)性方程 上式稱為積分形式的連續(xù)性方程，適用于任何流體的定 常和不定常流動(dòng)。 設(shè) ，系統(tǒng)質(zhì)量為 ( , )r t sys sys md 根據(jù)質(zhì)量守恒定律： d d 0 dd sys sys m d tt ()0 CVCS dv n dA t 由輸運(yùn)公式可得： 上式表明：通過控制面凈流出的質(zhì)流量等于控制體內(nèi)流 體質(zhì)量隨時(shí)間的減少率。 B4.2.1 固定控制體固定控制體 p 不可壓縮流體

37、實(shí)際上，對(duì)固定不變形的控制體，上面式子中的當(dāng)?shù)仨?xiàng)中 微分和積分運(yùn)算可變換，遷移項(xiàng)中 為絕對(duì)速度。 v 當(dāng)密度為常數(shù)時(shí)，式中當(dāng)?shù)仨?xiàng)為零，遷移項(xiàng)中密度項(xiàng)可消去， 得 上式的物理意義是：對(duì)不可壓縮流體的流動(dòng)，從任何固定 不變形的控制面凈流出的體積流量恒為零。 CS A0d)(nv 0dd CSCV A t nv 對(duì)不可壓縮流體一維流管流動(dòng) B4.2.1 固定控制體固定控制體 ()()0 outin outin v n dAv n dA 12 QQ 2211 V AV A 令截面1,2上的流量大小分別為Q1, Q2，由流量公式可得 由平均速度公式可得 早在16世紀(jì)初，達(dá).芬奇就發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律。 out

38、in QQ B4.2.1 固定控制體固定控制體 若控制面上有多個(gè)出入口，設(shè)出入口的流量大小為 Qout, Qin，由前面的公式可得 ()() outin VAVA 思考題：思考題： 對(duì)于連續(xù)性方程： 的說法，下列哪個(gè)是對(duì)的（ ） （A）僅適用于不可壓縮流體的定常流動(dòng)的； （B）也適用于不可壓縮流體的不定常流動(dòng)； （C）適用于任何流體的定常流動(dòng)。 CS dAnv0)( B4.2.1 固定控制體固定控制體 p 可壓縮流體定常運(yùn)動(dòng) B4.2.1 固定控制體固定控制體 ()0 CS v n dA ()() outin VAVA 對(duì)密度可變流體的定常流動(dòng)，可得 上式的物理意義是：對(duì)可壓縮流體定常流動(dòng)，從

39、任何固定 不變形的控制面凈流出的質(zhì)流量恒為零。 對(duì)一維流管流動(dòng)，設(shè)出入口的質(zhì)量流量大小分別為 和 ，從質(zhì)量流量公式可得 out m in m inout mm B4.2.1 固定控制體固定控制體 對(duì)有多個(gè)出入口的控制面上的定常流動(dòng)，由前面的 公式可得 inout mm ()() outin VAVA 例題B4.2.1：主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口連續(xù)性方程 已知：下圖是人主動(dòng)脈弓模型示意圖。血液從升主動(dòng) 脈1經(jīng)主動(dòng)脈弓流向降主動(dòng)脈5，方向改變約 180，主動(dòng)脈弓上分支出頭臂干動(dòng)脈2，左 頸總動(dòng)脈3和左鎖骨下動(dòng)脈4。設(shè)所有管截面 均為圓形，管直徑分別為d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm。已知平均流量 分別為Q1=6 L/min, Q3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q5= 0.78Q1。 試求：(1)管2的平均流量Q2； (2)各管的平均速度（用cm/s表示）。 解：由取圖中虛線所示控制體，有多個(gè)出入口。血液按 不可壓縮流體處理，由式 Qout=QinQ1 = Q2 + Q3 + Q4 + Q5 例題B4.2.1