2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)定理(典型)

1、 2 2021年8月1日 （）利用定義（）利用定義 （）利用（）利用判定定理判定定理 線面垂直面面垂直線面垂直面面垂直 l l l A B 線面垂直線面垂直面面垂直面面垂直線線垂直線線垂直 面面垂直的判定面面垂直的判定 作出二面角的平面角，證明作出二面角的平面角，證明平面角是直角平面角是直角 3 2021年8月1日 A1 D1 B1 C1 C B A D E F 思考思考1 1 如圖，長方體中，如圖，長方體中，, , (1)(1)里的直線都和里的直線都和垂直嗎？垂直嗎？ (2)(2)什么情況下什么情況下里的直線和里的直線和垂垂直？直？與與ADAD垂直垂直 不一定不一定 4 2021年8月1日

2、思考思考2 2 垂足為垂足為B B，那么直線，那么直線ABAB與平面與平面的位置關(guān)系如的位置關(guān)系如 何？何？ ,CD ，,AB A A B B D D C C E E ,ABCD 垂直垂直 5 2021年8月1日 , ABBE. , ABBE. 又由題意知又由題意知ABCD,ABCD, 且且BE CD=BBE CD=B 垂足為垂足為B.B. ABAB. 則則ABEABE就是二面角就是二面角 的平面角的平面角. . CD 證明證明: :在平面在平面 內(nèi)作內(nèi)作BECD,BECD, A A B B D D C C E E 6 2021年8月1日 平面與平面垂直的性質(zhì)定理平面與平面垂直的性質(zhì)定理 符號

3、表示符號表示: : CD ABAB ABCD ABCDB D D C C A A B B 兩個平面垂直，則一個兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)平面內(nèi)垂直于垂直于交線交線的直的直 線與另一個平面垂直線與另一個平面垂直 面面垂直面面垂直線面垂直線面垂直 7 2021年8月1日 思考思考3 3 設平面設平面 平面平面 ，點，點P P在平面在平面 內(nèi)，過內(nèi)，過 點點P P作平面作平面 的垂線的垂線a，直線，直線a與平面與平面 具有什么具有什么 位置關(guān)系位置關(guān)系? ? a P 直線直線a a在平面在平面 內(nèi)內(nèi) 8 2021年8月1日 1aa, aa. 例如圖，已知平面 ， ，直線 滿足 ，試判斷直線 與平面

4、的位置關(guān)系 A b a l 分析：尋找平面分析：尋找平面內(nèi)與內(nèi)與a a平行的直線平行的直線. . 9 2021年8月1日 解：在解：在內(nèi)作垂直于內(nèi)作垂直于 交線的直線交線的直線b b， ab. 又又 a. 即直線即直線a與平面與平面平行平行. ， b， a， a ， 結(jié)論：垂直于同一平面的直線和平面平行結(jié)論：垂直于同一平面的直線和平面平行（ ）.a A b a l 與與 ,aa / / ，a 10 2021年8月1日 AB AB. a aa 已知平面，直線 ， ， 變 試判斷直線 與 的位置關(guān)系 式 A b a l B 垂直垂直 11 2021年8月1日 a b l m n , . l l 例

5、2.已知平面 ， ， 滿足， 求證： 12 2021年8月1日 如果兩個如果兩個相交平面相交平面都垂直于另一個平面，那都垂直于另一個平面，那 么這兩個平面的么這兩個平面的交線交線垂直于這個平面垂直于這個平面. . 結(jié)論結(jié)論 l如圖：如圖： ll ， 13 2021年8月1日 兩兩個平面垂直應用舉例個平面垂直應用舉例 例例1 1 如圖，如圖，ABAB是是O的直徑，點的直徑，點C C是是O上的動點，上的動點， 過動點過動點C C的直線的直線VCVC垂直于垂直于O所在平面所在平面，D D、E E分別是分別是 VAVA、VCVC的中點，直線的中點，直線 DEDE與平面與平面VBCVBC有什么關(guān)系？試有

6、什么關(guān)系？試 說明理由說明理由 平面平面 VAC平面平面VBC及及DEVC ACAC垂直于平面垂直于平面VBCVBC及及DEDEAC.AC. 14 2021年8月1日 例例2 2S S為三角形為三角形ABCABC所在平面外一點，所在平面外一點，SASA平面平面 ABCABC，平面，平面SABSAB平面平面SBC.SBC. 求證：求證：ABBC.ABBC. S C B A D 證明：過證明：過A點點作作ADSB于于D點點. 平面平面SAB 平面平面SBC, AD平面平面SBC， ADBC. 又又 SA 平面平面ABC， SA BC. ADSA=A BC 平面平面SAB. BC AB. 15 20

7、21年8月1日 練習：練習：1. 1.如圖，以正方形如圖，以正方形ABCDABCD的對角線的對角線ACAC為為 折痕，使折痕，使ADCADC和和ABCABC折成相垂直的兩個面，折成相垂直的兩個面， 求求BDBD與平面與平面ABCABC所成的角。所成的角。 A B C D D A B C O O 折成折成 16 2021年8月1日 2.如圖，平面如圖，平面AED 平面平面ABCD，AED 是等邊三角形，四邊形是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，是矩形， （1）求證：）求證：EACD M D E C A B （2）若）若AD1，AB ，求，求EC與平面與平面ABCD 所成的角。所成的角。 2 17

8、 2021年8月1日 (2012 (2012北京模擬北京模擬) )如圖，正方形如圖，正方形ADEFADEF與梯形與梯形ABCDABCD所所 在的平面互相垂直，在的平面互相垂直，ADCDADCD，ABCDABCD，AB=AD=2AB=AD=2，CD=4CD=4， M M為為CECE的中點的中點. . (1)(1)求證：求證：BMBM平面平面ADEFADEF；(2)(2)求證：平面求證：平面BDEBDE平面平面BEC.BEC. 18 2021年8月1日 【證明證明】(1)(1)取取DEDE中點中點N N，連接，連接MNMN，AN.AN. 在在EDCEDC中，中，M M，N N分別為分別為ECEC，

9、EDED的中點，的中點， 所以所以MNCDMNCD，且，且MN= CD.MN= CD. 由已知由已知ABCDABCD，AB= CDAB= CD， 所以所以MNAB,MNAB,且且MN=AB,MN=AB, 所以四邊形所以四邊形ABMNABMN為平行為平行 四邊形四邊形. .所以所以BMAN.BMAN. 又因為又因為ANAN平面平面ADEFADEF，且，且BM BM 平面平面ADEFADEF， 所以所以BMBM平面平面ADEF.ADEF. 1 2 1 2 19 2021年8月1日 (2)(2)因為四邊形因為四邊形ADEFADEF為正方形，為正方形， 所以所以EDADEDAD， 又因為平面又因為平面

10、ADEFADEF平面平面ABCDABCD， 且平面且平面ADEFADEF平面平面ABCD=AD.ABCD=AD. 又因為又因為EDED 平面平面ADEFADEF， 所以所以EDED平面平面ABCD.ABCD. 所以所以EDBC.EDBC. 20 2021年8月1日 在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中，中，AB=AD=2AB=AD=2，CD=4CD=4， 可得可得BC= BC= ， 在在BCDBCD中，中，BD=BC= BD=BC= ，CD=4CD=4，所以，所以BCBDBCBD， BDED=D,BDED=D, 所以所以BCBC平面平面BDEBDE， 又因為又因為BCBC平面平面BCEBCE， 所以平面所以平面BDEBDE平面平面BEC.BEC. 2 2 2 2 21 2021年8月1日 2. 2.幾個結(jié)論幾個結(jié)論 1.1