常系數(shù)線性微分方程的解法PPT課件PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 常系數(shù)線性微分方程的解法常系數(shù)線性微分方程的解法PPT課件課件 )14. 4()()()()( 2211 txtxctxctxcx nn 其中其中 為任意常數(shù)，而且這個通解（為任意常數(shù)，而且這個通解（4.14）包括了方程（）包括了方程（4.1）的）的 所有解。所有解。 n ccc, 21 定理定理7 設(shè)設(shè) 為方程（為方程（4.2）的基本解組，而）的基本解組，而 是方程是方程 （4.1）的某一個解，則方程（）的某一個解，則方程（4.1）的通解可表為）的通解可表為 )(,),(),( 21 txtxtx n ( )x t 定理定理6 如果如果 是方程（是方程（4.2）的）的n個線性無關(guān)的

2、解，則方個線性無關(guān)的解，則方 程（程（4.2）的通解可表為：）的通解可表為： （4.11） 其中其中 是任意常數(shù)。且通解（是任意常數(shù)。且通解（4.11）包括了方程（）包括了方程（4.2）的所有解。）的所有解。 )(,),(),( 21 txtxtx n )()()( 2211 txctxctxcx nn n ccc， 21 齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)定理齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)定理 非齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)定理非齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)定理 4.2 常系數(shù)線性微分方程的解法常系數(shù)線性微分方程的解法 第1頁/共63頁 因此，關(guān)于線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)問題，從理論上說，已經(jīng)因此，關(guān)于線性微分方程的

3、通解結(jié)構(gòu)問題，從理論上說，已經(jīng) 解決了，但是，求方程通解的方法還沒有具體給出。事實上，對于解決了，但是，求方程通解的方法還沒有具體給出。事實上，對于 一般的線性微分方程是一般的線性微分方程是沒有普遍解法的沒有普遍解法的。但通過尋求一些特殊類型。但通過尋求一些特殊類型 方程的解法對求解一般方程的解還是有幫助和啟發(fā)的。所以，介紹方程的解法對求解一般方程的解還是有幫助和啟發(fā)的。所以，介紹 求解問題能夠徹底解決的一類方程求解問題能夠徹底解決的一類方程常系數(shù)線性微分方程及可以常系數(shù)線性微分方程及可以 化為這一類型的方程；化為這一類型的方程；同時將看到，為了求得常系數(shù)齊次線性微分同時將看到，為了求得常系數(shù)

4、齊次線性微分 方程的通解，只須解一個代數(shù)方程而不必通過積分運算。對于某些方程的通解，只須解一個代數(shù)方程而不必通過積分運算。對于某些 特殊的非齊線性微分方程也可以通過代數(shù)運算和微分運算求得它的特殊的非齊線性微分方程也可以通過代數(shù)運算和微分運算求得它的 通解。通解。 以及注意到物理問題提供微分方程很直觀的物理背景，而微分以及注意到物理問題提供微分方程很直觀的物理背景，而微分 方程為更深刻地理解物理現(xiàn)象提供有力的工具。方程為更深刻地理解物理現(xiàn)象提供有力的工具。 4.2 常系數(shù)線性微分方程的解法常系數(shù)線性微分方程的解法 第2頁/共63頁 復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解 常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方

5、程常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程 非齊次線性微分方程的解法：非齊次線性微分方程的解法： 比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法 應(yīng)用分析：應(yīng)用分析：質(zhì)點振動質(zhì)點振動 第3頁/共63頁 4.2.1 引子引子:復(fù)值函數(shù)和復(fù)值解復(fù)值函數(shù)和復(fù)值解 1、復(fù)數(shù)及其相等的定義；、復(fù)數(shù)及其相等的定義； 2、有關(guān)定義有關(guān)定義：復(fù)值函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)性等。：復(fù)值函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)性等。 第4頁/共63頁 )(lim)(lim)(lim 000 tittz tttttt 如果如果 ，就稱，就稱 在在 連續(xù)連續(xù)。 )(tz)()(lim 0 0 tztz tt 0 t 如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間 中的每一實

6、數(shù)中的每一實數(shù)t，有復(fù)數(shù)，有復(fù)數(shù) 與它對應(yīng)，其中與它對應(yīng)，其中 和和 是在區(qū)間是在區(qū)間 上定義的實函數(shù)，上定義的實函數(shù)，i是虛單位，就說在區(qū)間是虛單位，就說在區(qū)間 上給定了一個復(fù)值函數(shù)上給定了一個復(fù)值函數(shù) 。如果實函數(shù)。如果實函數(shù) ， ,當(dāng)當(dāng)t趨于趨于 時有極限，就稱復(fù)值函數(shù)時有極限，就稱復(fù)值函數(shù) 當(dāng)當(dāng)t趨于趨于 時有極限，并且定義時有極限，并且定義 bta)()()(tittz )(t)(t bta )(t )(t 0 t )(tz 0 t)(tz bta 第5頁/共63頁 復(fù)值函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義：復(fù)值函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義：即表示在區(qū)間上每一即表示在區(qū)間上每一 點都連續(xù)。點都連續(xù)。 注

7、：注：復(fù)值函數(shù)在點連續(xù)意為著對應(yīng)的兩個實函數(shù)也在復(fù)值函數(shù)在點連續(xù)意為著對應(yīng)的兩個實函數(shù)也在 該點連續(xù)。該點連續(xù)。 第6頁/共63頁 如果如果 極限存在，就稱極限存在，就稱z(t)在在 點有導(dǎo)數(shù)（可點有導(dǎo)數(shù)（可 微）微）,且記此極限為且記此極限為 或者或者 。 0 0) ()( lim 0tt tztz tt 0 t dt tdz)( 0 0 ( )z t dt td i dt td dt tdz)()()( 000 顯然顯然 在在 處有導(dǎo)數(shù)相當(dāng)于處有導(dǎo)數(shù)相當(dāng)于 , 在在 處有導(dǎo)數(shù)，且處有導(dǎo)數(shù)，且 )(tz 0 t)(t)(t 0 t 第7頁/共63頁 12 12 ( )( ) ( )( ) d

8、z tdz tdz z tz t dtdtdt 1 1 ( ) ( ) dz tdz c z tc dtdt 12 1221 ( )( ) ( )( )( )( ) dz tdz tdz z tz tz tz t dtdtdt 線性性線性性 乘積性乘積性 第8頁/共63頁 )sin(cos )( titeee ttiKt 設(shè)設(shè) 是任意一復(fù)數(shù)，這里是任意一復(fù)數(shù)，這里 是實數(shù)，而是實數(shù)，而 為實變量。為實變量。 iKt, 基本性質(zhì)基本性質(zhì) )( 2121 )( 乘積 tKtKtKK eee )(微分 Kt Kt Ke dt de )(高階微分 Ktn n Ktn eK dt ed 重要性質(zhì)重要性質(zhì)

9、 第9頁/共63頁 5、復(fù)值解的定義復(fù)值解的定義 )()()( )( )( )( 1 1 1 tftzta dt tzd ta dt tzd n n n n n 定義于定義于 區(qū)間上的實變量復(fù)值函數(shù)區(qū)間上的實變量復(fù)值函數(shù) 稱為方程（稱為方程（4.1）的復(fù)值解。如果）的復(fù)值解。如果 bta )(tzx bta 對于對于 恒成立。恒成立。 第10頁/共63頁 6、兩個重要定理兩個重要定理 定理定理8 如果方程（如果方程（4.2）中所有系數(shù)）中所有系數(shù) 都是實值函都是實值函 數(shù)，而數(shù)，而 是方程（是方程（4.2）的復(fù)值解，則）的復(fù)值解，則 的實的實 部部 、虛部、虛部 和共軛復(fù)值函數(shù)和共軛復(fù)值函數(shù)

10、也是方程（也是方程（4.2）的解）的解. ), 2 , 1)(nitai )()()(tittzx )(tz)(t )(t)(tz 定理定理9 若方程若方程 有復(fù)值解有復(fù)值解 ，這里，這里 及及 都是實函數(shù)都是實函數(shù) ，那么這個解的實部，那么這個解的實部 和虛部和虛部 分別是虛部對應(yīng)方程分別是虛部對應(yīng)方程 和實部對應(yīng)方程和實部對應(yīng)方程 的解的解. )()()()()( 1 1 1 1 tivtuxta dt dx ta dt xd ta dt xd nn n n n n )()(tiVtUx), 2 , 1)(nitai )(),(tvtu )(tU )(tV )()()()( 1 1 1 1

11、 tuxta dt dx ta dt xd ta dt xd nn n n n n )()()()( 1 1 1 1 tvxta dt dx ta dt xd ta dt xd nn n n n n 第11頁/共63頁 問題問題：常系數(shù)線性微分方程的求解常系數(shù)線性微分方程的求解 常系數(shù)齊線性微分方程的求解常系數(shù)齊線性微分方程的求解-如果如果？ 常數(shù)變易法常數(shù)變易法 (至少至少) 比較系數(shù)法比較系數(shù)法 Laplace變換法變換法 有無其它方法？有無其它方法？ ? 歐拉指數(shù)法歐拉指數(shù)法 第12頁/共63頁 4.2.2 常系數(shù)齊線性方程和歐拉方程常系數(shù)齊線性方程和歐拉方程 常系數(shù)齊線性方程常系數(shù)齊線

12、性方程 歐拉（歐拉（Euler）待定指數(shù)函數(shù)法）待定指數(shù)函數(shù)法 特征根是單根的情形特征根是單根的情形 有復(fù)根的情形有復(fù)根的情形 特征根是重根的情形特征根是重根的情形 應(yīng)用應(yīng)用 歐拉方程歐拉方程 1、框架、框架 第13頁/共63頁 2、常系數(shù)齊線性微分方、常系數(shù)齊線性微分方 程程 1 11 1 0 (4.19) nn nn nn d xdxdx L xaaa x dtdtdt 其中其中 是常數(shù)。此時，稱（是常數(shù)。此時，稱（4.19）為）為n階常系數(shù)齊線性微分方程。階常系數(shù)齊線性微分方程。 ), 2 , 1(niai 若齊線性微分方程（若齊線性微分方程（4.2）的所有系數(shù)都是常數(shù)，即原方程可以寫為

13、如下形式：）的所有系數(shù)都是常數(shù)，即原方程可以寫為如下形式： 第14頁/共63頁 3、歐拉（、歐拉（Euler）待定指數(shù)函數(shù)法）待定指數(shù)函數(shù)法 n一階微分方程一階微分方程 有指數(shù)形式的解：有指數(shù)形式的解： . yay at yce 對于對于n階齊線性方程（階齊線性方程（4.19）是否也有類似形式的解？）是否也有類似形式的解？下面用試探法進行討論。下面用試探法進行討論。 n提問提問 引言：一階齊次線性微分方程解的啟示引言：一階齊次線性微分方程解的啟示 第15頁/共63頁 假如有下面形式（假如有下面形式（4.20）是方程（）是方程（4.19）的解）的解 (4.20) t xe tt nn nn t

14、n t n n tn n tn t eFeaaa ea dt de a dt ed a dt ed eL )()( 1 1 1 1 1 1 1 于是有：于是有： 1 11 ( )0 (4.21) nn nn Faaa 要（要（4.20）是方程（）是方程（4.2）的解的）的解的充要條件充要條件為：為： 稱（稱（4.21）是方程（）是方程（4.19）的）的特征方程特征方程，它的根稱為，它的根稱為特征根特征根。 第16頁/共63頁 求解常系數(shù)線性微分方程問題求解常系數(shù)線性微分方程問題 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 求解一個代數(shù)方程問題求解一個代數(shù)方程問題 于是有于是有 1 11 1 0 (4.19) 0 nn nn

15、 nn d xdxdx L xaaa x dtdtdt L x 1 11 ( )0 (4.21) ( )0 nn nn Faaa F 第17頁/共63頁 設(shè)設(shè) 是特征方程（是特征方程（4.17）的）的n個彼此不相等的根，則相應(yīng)地方程（個彼此不相等的根，則相應(yīng)地方程（4.16）有如下）有如下n個解：個解： n , 21 12 ,(4.22) n ttt eee 可以證明這可以證明這n個解在區(qū)間上個解在區(qū)間上線性無關(guān)（線性無關(guān)（？），從而組成方程（，從而組成方程（4.19）的）的基本解組基本解組。于是有。于是有 如果如果 均為實數(shù)，則均為實數(shù)，則(4.22)是方程是方程(4.19)的的n個線性無關(guān)

16、的實值解，而方程個線性無關(guān)的實值解，而方程(4.19)的的通解通解可表示為可表示為 ), 2 , 1(ni i t n tt n ecececx 21 21 其中其中 為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。 n ccc, 21 3.1 特征根是單實根的情形特征根是單實根的情形 第18頁/共63頁 例例1 求方程求方程 的通解。的通解。 045 2 2 4 4 x dt xd dt xd 解：解：(單實根單實根)特征方程為：特征方程為： 42 540 2, 2, 1, 1 4321 tttt exexexex 2 4 2 321 , tttt ececececx 2 4 2 321 特征根：特征根： 通解：通

17、解： 對應(yīng)的對應(yīng)的基本解組基本解組： 第19頁/共63頁 3.2 特征根是單虛根的情形特征根是單虛根的情形 設(shè)有單復(fù)根設(shè)有單復(fù)根 ，此時，由定理，此時，由定理8，可以求得兩個實值解：，可以求得兩個實值解： i 1 tete tt sin,cos 為什么？為什么？ 第20頁/共63頁 例例2 求方程求方程 的通解的通解 (4)(3) 61518100yyyyy 01018156 234 iiii2,2,1,1 4321 xeyxeyxeyxey xxxx sin,cos,sin,cos 2 4 2 321 )sincos()sincos( 43 2 21 xcxcexcxcey xx 解：解：(

18、復(fù)單根復(fù)單根)特征方程為：特征方程為： 特征根特征根 通解通解 對應(yīng)的基本解組對應(yīng)的基本解組 第21頁/共63頁 3.3 特征根是重根的情形特征根是重根的情形 設(shè)特征方程有設(shè)特征方程有k重根重根 ，由代數(shù)學(xué)基本知識有：，由代數(shù)學(xué)基本知識有： 1 0)(, 0)()( )( 1 )( 1 )1( 11 kk FFFF 下面分三步來討論基本解組的構(gòu)成：下面分三步來討論基本解組的構(gòu)成： 0 1 先討論先討論 12 , 1 k ttt ，此時，有線性無關(guān)的函數(shù)組，此時，有線性無關(guān)的函數(shù)組： 0 1 討論討論 把這種情況通過變換把這種情況通過變換 化為第一種情況?；癁榈谝环N情況。 t yex 1 再構(gòu)成

19、線性無關(guān)的函數(shù)組再構(gòu)成線性無關(guān)的函數(shù)組： 11111 12 , tttkt etet ete 第22頁/共63頁 特征根特征根 的重數(shù)分別為：的重數(shù)分別為： m , 32 1;, 32 im kkkk 則有線性無關(guān)的則有線性無關(guān)的函數(shù)組：函數(shù)組： 11111 22222 12 12 12 , , , mmmmm tttkt tttkt tttkt etet ete etet ete etet ete 第23頁/共63頁 對于特征方程有復(fù)重根的情況，結(jié)合前面的兩種情況就可以討論了。對于特征方程有復(fù)重根的情況，結(jié)合前面的兩種情況就可以討論了。 譬如假設(shè)是譬如假設(shè)是k重特征根重特征根 ，則，則 也是

20、也是k重特征根，仿重特征根，仿1一樣處理，將得到方程（一樣處理，將得到方程（15）的）的2k個實值解：個實值解： ii 21 21 cos,cos,cos,cos sin,sin,sin,sin tttkt tttkt et tet t ettet et tet t ettet 第24頁/共63頁 例例6 求方程求方程 的通解的通解 02 2 2 4 4 x dt xd dt xd 012 24 特征方程：特征方程： 解：復(fù)重根的情形解：復(fù)重根的情形 對應(yīng)的基本解組：對應(yīng)的基本解組： ttxtxttxtxsin,sin,cos,cos 4321 ttccttccxsin)(cos)( 4321

21、 通解：通解： 特征根：特征根： i 21、 是是2重根。重根。 第25頁/共63頁 4、歐拉方程、歐拉方程 u定義：形如定義：形如 1 1 11 1 0 (4.23) nn nnn nn nn d ydydy xaxa xa y dxdxdx 的微分方程被稱為的微分方程被稱為歐拉方程歐拉方程。 歐拉方程的求解方法歐拉方程的求解方法是通過是通過變換變換變?yōu)槌Ｏ禂?shù)齊線性方程，因而求解問題很容易解決。引進變換：變?yōu)槌Ｏ禂?shù)齊線性方程，因而求解問題很容易解決。引進變換： xtex t ln, 1 11 1 0(4.24) nn nn nn d ydydy bbb y dtdtdt 得到得到常系數(shù)齊線性

22、微分方程：常系數(shù)齊線性微分方程： 利用齊線性方程的求解方法可求得其解，然后帶回變量變換即可完成歐拉方程的求解。利用齊線性方程的求解方法可求得其解，然后帶回變量變換即可完成歐拉方程的求解。 第26頁/共63頁 t dydy dtdy e dxdt dxdt 22 2 22 ()() ttt d yddyd ydy eee dxdtdtdtdt 及及 由數(shù)學(xué)歸納法，不難證明由數(shù)學(xué)歸納法，不難證明 1 11 1 () kkk kt k kkk d yd ydydy e dxdtdtdt 其中其中 都是常數(shù)。都是常數(shù)。 11 , k 事實上，由事實上，由 ，有，有 ,ln t xe tx 注注：如果：

23、如果 ，則用，則用 所得結(jié)果一樣，為方便，所得結(jié)果一樣，為方便， 設(shè)設(shè) ，但最后結(jié)果應(yīng)以，但最后結(jié)果應(yīng)以 代回。代回。 0 x 0 x lntx t xe 第27頁/共63頁 于是對應(yīng)于歐拉方程（于是對應(yīng)于歐拉方程（4.23）的齊線性方程有形如）的齊線性方程有形如 的解，從歐拉方程有形如的解，從歐拉方程有形如 的解。若的解。若 以代入歐拉方程，得到其對應(yīng)的特征方程：以代入歐拉方程，得到其對應(yīng)的特征方程： t ey xy K xy 1 (1)(1)(1)(2)0 (4.25) n K KKnaK KKna 方程（方程（4.25）的）的m重實根重實根 0 KK ，對應(yīng)于方程（，對應(yīng)于方程（25）的

24、）的m個解個解 xxxxxxx mKKKK12 ln,ln,ln, 0000 方程（方程（4.25）的）的m重復(fù)根重復(fù)根iK，對應(yīng)于方程（，對應(yīng)于方程（4.23）的）的2m個實值解個實值解 )lnsin(ln,),lnsin(ln),lnsin( )lncos(ln,),lncos(ln),lncos( 1 1 xxxxxxxx xxxxxxxx m m u歐拉方程的解歐拉方程的解 第28頁/共63頁 例例5 求解方程求解方程 0 2 2 2 y dx dy x dx yd x 解：分析原方程為歐拉方程，于是有：解：分析原方程為歐拉方程，于是有： 得到確定的代數(shù)方程：得到確定的代數(shù)方程： 01

25、) 1(KKK 方程的通解為方程的通解為 xxccy)ln( 21 其中其中 是任意常數(shù)。是任意常數(shù)。 21,c c 1 21 KK 特征根為二重實根：特征根為二重實根： K xy 尋找方程的形式解，尋找方程的形式解， 法一法一：利用歐拉方程求解過程進行求解；：利用歐拉方程求解過程進行求解； 法二法二：可以直接利用歐拉方程的求解方法求解：可以直接利用歐拉方程的求解方法求解： 第29頁/共63頁 例例6 求解方程求解方程 025305432 23456 分析分析：這個方程是一個典型的常系數(shù)齊線性微分方程，于是由：這個方程是一個典型的常系數(shù)齊線性微分方程，于是由 歐拉待定指數(shù)歐拉待定指數(shù)方法求解。

26、方法求解。 65432 65432 234530250. d xd xd xd xd xdx x dtdtdtdtdtdt 特征方程為：特征方程為： 即有即有 0) 1(4) 1( 222 其特征根為其特征根為 1,2,3,4 12i 5,6 1 （二重）（二重） （二重）（二重） 第30頁/共63頁 于是可以給出這個方程的一個基本解組為于是可以給出這個方程的一個基本解組為 cos2 ,cos2 , sin2 ,sin2 ; ,. tt tt tt et e tt et e tt e te 于是可以給出這個方程的通解于是可以給出這個方程的通解 256134 sin2sincos222cos t

27、ttttt c etc e ttc etcce ttexc te 其中其中 是任意常數(shù)。是任意常數(shù)。 654321 ,cccccc 第31頁/共63頁 4.2.3 非齊次線性微分方程的解法：非齊次線性微分方程的解法： 比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法求特解求特解 考慮常系數(shù)非齊線性方程考慮常系數(shù)非齊線性方程 1 11 1 ( ) (4.26) nn nn nn d xdxdx L xaaa xf t dtdtdt 其實，該方程（其實，該方程（4.26）的求解問題已經(jīng)解決，因為在前面已經(jīng)解決了）的求解問題已經(jīng)解決，因為在前面已經(jīng)解決了 （4.1）的求解問題，即比（）的求解問題

28、，即比（4.26）更一般的微分方程（）更一般的微分方程（4.1）的通解）的通解 問題是這樣解決的：（問題是這樣解決的：（常數(shù)變易法常數(shù)變易法）用先求出對應(yīng)齊線性方程（）用先求出對應(yīng)齊線性方程（4.2） 的一個基本解組，然后找出（的一個基本解組，然后找出（4.1）的某一個解，根據(jù)前面的定理）的某一個解，根據(jù)前面的定理7就就 可以寫出（可以寫出（4.1）的通解。于是也就完成了（）的通解。于是也就完成了（4.26）的求解問題，只是）的求解問題，只是 用常數(shù)變易法來求解，求解步驟比較繁瑣，并且要用到積分運算。（用常數(shù)變易法來求解，求解步驟比較繁瑣，并且要用到積分運算。（ 注：注：大家必須掌握常數(shù)變易法

29、求解高階微分方程，因為它帶有普遍性大家必須掌握常數(shù)變易法求解高階微分方程，因為它帶有普遍性 。）但是，在解決實際問題時，往往要解決一些比較簡單的微分方程）但是，在解決實際問題時，往往要解決一些比較簡單的微分方程 ，即帶有特殊形式的微分方程，為此，在這里，介紹兩種常用的方法，即帶有特殊形式的微分方程，為此，在這里，介紹兩種常用的方法 ：比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法，它們的共同特點是不需要通過積分，它們的共同特點是不需要通過積分 而用代數(shù)運算方法即可求得非齊線性方程的特解。而用代數(shù)運算方法即可求得非齊線性方程的特解。 第32頁/共63頁 類型類型 ，設(shè) t mm mm eb

30、tbtbtbtf )()( 1 1 10 (1,2,) i b im其中 及為常數(shù) 那么，方程（那么，方程（4.26）有形如）有形如 t mm mmk eBtBtBtBtx )( 1 1 10 如果如果 0 不是特征根不是特征根 是特征根是特征根 1 110 1 (4.27) nn m nnm nn d ydydy AAA yb tb dtdtdt 如果如果 0 作變量變換作變量變換 t yex ，（，（4.26）化為）化為 特征方程特征方程 的根的根 對應(yīng)于（對應(yīng)于（4.27）的特征方程的零根，并且重數(shù)相同。于是利用上面的結(jié)論有：）的特征方程的零根，并且重數(shù)相同。于是利用上面的結(jié)論有： 0)

31、(F 的的特解特解。其中。其中k為特征方程為特征方程 的根的根 的重數(shù)，而的重數(shù)，而 是是待定系數(shù)待定系數(shù)，可以通過比較系數(shù)來確定。，可以通過比較系數(shù)來確定。 0)(F mm BBBB, 110 一、一、求特解求特解-比較系數(shù)法比較系數(shù)法 第33頁/共63頁 mm mm BtBtBtBx 1 1 10 如果如果 0 不是特征根不是特征根 ,取取k=0,有如下形式的特解：有如下形式的特解： 則比較則比較t的同次冪的系數(shù)，得到常數(shù)應(yīng)滿足的方程組為的同次冪的系數(shù)，得到常數(shù)應(yīng)滿足的方程組為 mnm nnn nn n baB baBmmbaBmaB bamBaB baB 2200112 1101 00

32、) 1() 1( 第34頁/共63頁 如果 0 是是k重特征根，即，重特征根，即， 0)0(, 0)0()0( )0( )1( kk FFFF而 方程（方程（4.26）將為）將為 1 1 1 ( ) (4.28) nnk n k nnk d xdxd x aaf t dtdtdt 1 1 1 ( ) (4.29) n kn k n k n kn k dzdz aazf t dtdt k k dt xd z 作變換：作變換： ，則方程（，則方程（4.28）化為）化為 對于（對于（4.29），）， 已不是它的特征根。因此，由前面的討論，有形如下列形式的特解。已不是它的特征根。因此，由前面的討論，有

33、形如下列形式的特解。 0, 0 kn a mm mm BtBtBtBz 1 1 10 第35頁/共63頁 mm mm k k BtBtBtBz dt xd 1 1 10 這表明這表明 是是t的的m+k次多項式，其中次多項式，其中t的冪次的冪次 的項帶有任意常數(shù)。但因只需要知道一個特解就夠了。特別地取這些任意常數(shù)均為零，于是得到方程（的項帶有任意常數(shù)。但因只需要知道一個特解就夠了。特別地取這些任意常數(shù)均為零，于是得到方程（4.28）（或方程（）（或方程（4.26）的一個）的一個特解特解 x 1 k )( 1 1 10mm mmk ttttx 因而方程（因而方程（4.28）有特解）有特解 滿足：滿

34、足： x 第36頁/共63頁 如果如果 0 作變量變換作變量變換 t yex ，（，（4.26）化為）化為 1 110 1 (4.27) nn m nnm nn d ydydy AAA yb tb dtdtdt 特征方程特征方程 的根的根 對應(yīng)于（對應(yīng)于（4.27）的特征方程的零根，并且重數(shù)相同。于是利用上面的結(jié)論有：）的特征方程的零根，并且重數(shù)相同。于是利用上面的結(jié)論有： 0)(F t m mm eBtBtBx )( 1 10 在在 不是特征方程的根的情形，（不是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：）有特解： t m mmk eBtBtBtx )( 1 10 在在 是特征方程的根的情形，

35、（是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：）有特解： 其中其中k為重數(shù)為重數(shù). 第37頁/共63頁 利用利用比較系數(shù)法比較系數(shù)法求解非齊線性常系數(shù)微分方程的求解非齊線性常系數(shù)微分方程的一般步驟一般步驟： 1、求對應(yīng)齊線性常系數(shù)微分方程的特征根；、求對應(yīng)齊線性常系數(shù)微分方程的特征根； 2、分析、分析 f (t) 的形式；的形式； 3、判定上述、判定上述 f (t) 中的指數(shù)是否為特征根？中的指數(shù)是否為特征根？ 4、然后利用比較系數(shù)法求得、然后利用比較系數(shù)法求得. 第38頁/共63頁 例例7 求解方程求解方程 2 2 2331 d xdx xt dtdt 解：對應(yīng)齊線性方程的通解為解：對應(yīng)齊線性

36、方程的通解為 tt ececx 2 3 1 再求非齊線性方程的一個特解。這里再求非齊線性方程的一個特解。這里 13)( ttf 0 并且不是特征根，故可取特解形如并且不是特征根，故可取特解形如 BtAx 將代入原方程，得到：將代入原方程，得到： 13332tBtAB 比較系數(shù)得比較系數(shù)得 132 33 AB B 3 12 1. 3 tt x cecet 原方程的通解為原方程的通解為 第39頁/共63頁 例例8 求方程通解求方程通解 t ex dt dx dt dx 32 2 2 分析分析:主要目的主要目的-求一特解求一特解。 故根據(jù)比較系數(shù)法有特解形如故根據(jù)比較系數(shù)法有特解形如 ，通過代入，化

37、簡求得，通過代入，化簡求得 t Atex t tex 4 1 ttt teececx 4 1 2 3 1 于是原方程的通解為：于是原方程的通解為： 這里，這里， 且，特征根為：且，特征根為： t etf )(1, 3 21 其中其中 正是單特征根正是單特征根: 11 2 第40頁/共63頁 類型類型 設(shè)設(shè) ，其中，其中 為常數(shù)，而為常數(shù)，而 是帶實系數(shù)的是帶實系數(shù)的t t的多項式，其中一個的次數(shù)為的多項式，其中一個的次數(shù)為m，而另一個的次數(shù)不超過，而另一個的次數(shù)不超過m，那么有如下結(jié)論：方程（，那么有如下結(jié)論：方程（4.224.22）有形如）有形如 t ettBttAtf sin)(cos)(

38、)(, )(),(tBtA tk ettQttPtx sin)(cos)( 的特解。的特解。 這里這里k為特征根為特征根 的重數(shù)，而的重數(shù)，而P(t)，Q(t)均為待均為待 定的實系數(shù)的次數(shù)不高于定的實系數(shù)的次數(shù)不高于m關(guān)于關(guān)于t的多項式，可以通的多項式，可以通 過比較系數(shù)的方法來確定。過比較系數(shù)的方法來確定。 i 第41頁/共63頁 的解之和必為方程（的解之和必為方程（4.26)4.26)的解。的解。 ti e tiBtA tfxL )( 2 2 )()( )( 與 ti e tiBtA tfxL )( 1 2 )()( )( 則根據(jù)非齊線性方程的則根據(jù)非齊線性方程的疊加原理疊加原理有：有：

39、 通過分析通過分析,（4.26）有解形如：）有解形如： tk tiktik ettQttPt etDtetDtx sin)(cos)( )()( )()( titi e tiBtA e tiBtA tf )()( 2 )()( 2 )()( )( 改寫改寫 f (t) 的形式如下的形式如下 )(Im2)(),(Re2)(tDtQtDtP 其中其中 第42頁/共63頁 利用非齊線性方程的利用非齊線性方程的疊加原理疊加原理和和類型類型I 注意：正確寫出特解形式是待定系數(shù)法的關(guān)鍵問題。注意：正確寫出特解形式是待定系數(shù)法的關(guān)鍵問題。 第43頁/共63頁 例例9 9 求方程通解求方程通解 tx dt d

40、x dt dx 2cos44 2 2 t etccx 2 21 )( 解：很容易求得原方程對應(yīng)齊線性方程的通解為：解：很容易求得原方程對應(yīng)齊線性方程的通解為： 再求非齊線性方程的一個特解。因為再求非齊線性方程的一個特解。因為 不是特征根，求形如不是特征根，求形如 的特解，將它代入原方程并化簡得到的特解，將它代入原方程并化簡得到 i 2 tBtAx2sin2cos tetccx t 2sin 8 1 )( 2 21 ttAtB2cos2sin82cos8 通過通過比較同類項比較同類項的系數(shù)，得到原方程的通解：的系數(shù)，得到原方程的通解： 第44頁/共63頁 類型類型的特殊情形的特殊情形 tetBt

41、ftetAtf tt sin)()(cos)()(或 例例10 10 用復(fù)數(shù)法求解例用復(fù)數(shù)法求解例9 9 解：由例解：由例9 9已知對應(yīng)齊線性方程的通解為：已知對應(yīng)齊線性方程的通解為： t etccx 2 21 )( 為求非齊線性方程的一個特解為求非齊線性方程的一個特解,先求方程先求方程 2 2 2 44 it d xdx xe dtdt 的特解。這屬于類型的特解。這屬于類型，而，而2 2i不是特征根，故可設(shè)特解為：不是特征根，故可設(shè)特解為： it Aex 2 將它代入方程并消去因子將它代入方程并消去因子 得得 ，因而，因而 ， it e 2 18iA 8 i A ,2sin 8 1 2cos

42、 88 2 tt i e i x it tx2sin 8 1 Re 由定理由定理9，這是原方程的特解，于是原方程的通解為，這是原方程的特解，于是原方程的通解為 tetccx t 2sin 8 1 )( 2 21 于是：于是： 復(fù)數(shù)法復(fù)數(shù)法求解求解 第45頁/共63頁 二、拉普拉斯變換法二、拉普拉斯變換法 定義（定義（拉普拉斯變換拉普拉斯變換）：由積分）：由積分 0 )()(dttfesF st 設(shè)給定微分方程設(shè)給定微分方程 1 11 1 ( ) (4.26) nn nn nn d xdxdx L xaaa xf t dtdtdt 及初始條件及初始條件 ) 1( 0 ) 1( 00 ) 0 (,

43、) 0 ( ,) 0 ( nn xxxxxx 其中其中 是常數(shù)，而是常數(shù)，而f(t)為連續(xù)函數(shù)且滿足原函數(shù)的條件。為連續(xù)函數(shù)且滿足原函數(shù)的條件。 ), 2 , 1(niai 所定義的確定于復(fù)平面所定義的確定于復(fù)平面 上的復(fù)變數(shù)上的復(fù)變數(shù)s的函數(shù)的函數(shù)F(s)，稱為函數(shù)，稱為函數(shù) 的拉普拉斯變換，其中的拉普拉斯變換，其中 于于 有定義，且滿足不等式有定義，且滿足不等式 這里這里 為某兩個正常數(shù)，將稱為某兩個正常數(shù)，將稱 為原函數(shù)，而稱為原函數(shù)，而稱F(s)為象函數(shù)。為象函數(shù)。 sRe ,M 0t ）（*)( t Metf )(tf)(tf )(tf 第46頁/共63頁 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換

44、法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)的代數(shù)方程（組）。通過一些代數(shù)運算，一般地利用拉普拉斯變換表，很容易求出微分方程（組）的解。方法十分簡單，為工程技術(shù)人員所普遍采用。當(dāng)然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)，否則方法就不再適用了。主要是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)的代數(shù)方程（組）。通過一些代數(shù)運算，一般地利用拉普拉斯變換表，很容易求出微分方程（組）的解。方法十分簡單，為工程技術(shù)人員所普遍采用。當(dāng)然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)，否則方法就不再適用了。 第47頁

45、/共63頁 0 0 )()()( )()()( dttxetxLsX dttfetfLsF st st 那么，按原函數(shù)微分性質(zhì)有那么，按原函數(shù)微分性質(zhì)有 )1( 00 2 0 1)( 0 )()( )()( nnnnn xxsxssXstxL xssXtxL 可以證明，如果函數(shù)可以證明，如果函數(shù) 是方程（是方程（4.22）的任意解，則）的任意解，則x(t)及其各階導(dǎo)數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù) 均是原函數(shù)。記均是原函數(shù)。記 ), 2 , 1)( )( nktx k )(tx 第48頁/共63頁 )()( )( )( )( 01 )2( 00 3 0 21 1 )1( 00 2 0 1 sFsXa xssXa

46、 xxsxssXsa xxsxssXs n n nnnn nnnn 于是，對方程（于是，對方程（4.22）兩端施行拉普拉斯變換，并利用線性性質(zhì)得到）兩端施行拉普拉斯變換，并利用線性性質(zhì)得到 )1( 002 3 1 2 01 2 1 1 1 1 1 )( )()( )()( n n nn n nn nn nn xxasas xasassF sXasasas )( )()( )( sA sBsF sX 這就是方程（這就是方程（4.22）的滿足所給定初始條件的）的滿足所給定初始條件的解的象函數(shù)解的象函數(shù)。 即即 或或 第49頁/共63頁 例例11 求方程求方程 滿足初始條件滿足初始條件 的解。的解。

47、 t ex dt dx 2 0)0(x 解：對方程兩端施行拉普拉斯變換，得到方程的解的象函數(shù)所滿足的方程：解：對方程兩端施行拉普拉斯變換，得到方程的解的象函數(shù)所滿足的方程： 2 1 )()0()( s sXxssX 1 1 2 1 )2)(1( 1 )( ssss sX 所以，利用初始條件有：所以，利用初始條件有： 直接利用直接利用拉普拉斯變換表拉普拉斯變換表，可得，可得 的原函數(shù)分別是的原函數(shù)分別是 。因此，利用拉普拉斯變換的。因此，利用拉普拉斯變換的線性性質(zhì)線性性質(zhì)得得 的原函數(shù)為的原函數(shù)為 1 1 2 1 ss 和 tt ee 和 2 )(sX tt eetx 2 )( 即為原方程的解。

48、即為原方程的解。 第50頁/共63頁 例例12 求解方程求解方程 0) 1 ( ) 1 (,2 xxexxx t 解：由于初始條件不在零點，所以先作平移變換由于初始條件不在零點，所以先作平移變換： 1t 0) 0 ( ) 0 (,2 ) 1( xxexxx 于是有于是有 es sXssXsXs 1 1 1 )()(2)( 2 再對新方程施行拉普拉斯變換，得到再對新方程施行拉普拉斯變換，得到 t ettx 2 ) 1( 2 1 )( 還原變量代換得原方程的通解：還原變量代換得原方程的通解： es sX 1 ) 1( 1 )( 3 有有 )1(2 2 1 )( ex 于是于是 第51頁/共63頁

49、借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)S的代數(shù)方程（組）。的代數(shù)方程（組）。 優(yōu)點：優(yōu)點：通過一些代數(shù)運算，一般地再利用拉普拉斯變換表，即可求出微分方程（組）的解。方法簡便，為工程技術(shù)工作者所普遍采用。通過一些代數(shù)運算，一般地再利用拉普拉斯變換表，即可求出微分方程（組）的解。方法簡便，為工程技術(shù)工作者所普遍采用。 缺點：缺點：要求微分方程右端的函數(shù)是一個原函數(shù)要求微分方程右端的函數(shù)是一個原函數(shù)(滿足條件（滿足條件（*）)。 拉普拉斯變換法的主要思想主要思想 注意：注意：拉普拉斯變換存在是有條件的。拉普拉斯變換存在是有條件

50、的。 第52頁/共63頁 4.2.4 應(yīng)用：質(zhì)點應(yīng)用：質(zhì)點振動振動 振動振動是日常生活和工程技術(shù)中常見的一種運動形式，是日常生活和工程技術(shù)中常見的一種運動形式， 例如鐘擺的往復(fù)擺動，彈簧的振動、樂器中弦線的振例如鐘擺的往復(fù)擺動，彈簧的振動、樂器中弦線的振 動，機床主軸的振動，電路中的電磁振蕩等等。振動動，機床主軸的振動，電路中的電磁振蕩等等。振動 問題的研究，在一定條件下，可以歸為二階常系數(shù)線問題的研究，在一定條件下，可以歸為二階常系數(shù)線 性微分方程的問題來討論。下面以數(shù)學(xué)擺為物理模型性微分方程的問題來討論。下面以數(shù)學(xué)擺為物理模型 ，利用常系數(shù)線性方程的理論，討論有關(guān)自由振動和，利用常系數(shù)線性方程的理論，討論有關(guān)自由振動和 強迫振動