數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)-關(guān)于不定方程在初等數(shù)學(xué)中的教學(xué)研究論文

1、不定方程在初等數(shù)學(xué)中的教學(xué)研究摘要 不定方程在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要組成部分.評(píng)估學(xué)生掌握不定方程相關(guān)知識(shí)的程度，尋找如何提高學(xué)生使用不定方程解決問題能力的方法，在學(xué)生未來步入高等數(shù)學(xué)研究的過程中也是至關(guān)重要的.通過收集歷年江蘇高考中出現(xiàn)的不定方程題目，可以發(fā)現(xiàn)此考點(diǎn)多在數(shù)列的存在性問題中出現(xiàn).對(duì)收集的題目進(jìn)行歸納，得出不定方程題型的考察方式及考察側(cè)重點(diǎn).分析發(fā)現(xiàn)考察題目可分為兩大類：非整解不定方程和整解不定方程，主要為整解類問題.再結(jié)合函數(shù)及數(shù)論知識(shí)從中總結(jié)出解決不定方程問題的處理方法.以緩解在處理此類問題無從下手的局面.關(guān)鍵詞 不定方程 初等數(shù)學(xué) 數(shù)論 整數(shù)解 數(shù)

2、列 Teaching research of indefinite equation in Elementary MathematicsAbstract Indefinite equation is widely used in middle school mathematics, and it is an important part of middle school mathematics. It is also very important for students to evaluate their knowledge of the indefinite equation and fi

3、nd out how to improve their ability of using the indefinite equation to solve problems. By studying the teaching of indefinite equation in primary mathematics, it is very important to improve students mathematical literacy and increase their mathematical knowledge. Therefore, in the future mathemati

4、cs teaching process, students should be able to think independently about the discovery, development and application of indefinite equations according to the thought method of problem-solving.Key words Indefinite Equation Elementary Mathematics 目 錄1.引言11.1選題意義11.2研究綜述11.3研究意義21.4研究?jī)?nèi)容和方法論文框架或主要觀點(diǎn)21.4

5、.1文獻(xiàn)法31.4.2分析法31.4.3比較法32.關(guān)于不定方程在中學(xué)中的教學(xué)研究42.1不定方程在數(shù)列中的應(yīng)用42.1.1整數(shù)分離法42.1.2因式分解法52.1.3奇偶比較法62.1.4大小比較法72.1.5有、無理數(shù)比較法72.2不定方程在排列組合中的應(yīng)用82.3不定方程在立體幾何中的應(yīng)用83.結(jié)論11參考文獻(xiàn)12致謝1341. 引言1.1 選題意義確切來說不定方程這一知識(shí)點(diǎn)在中學(xué)教材中并未出現(xiàn)，但對(duì)其的考察卻一直存在.一般情況下題目會(huì)對(duì)方程中的未知數(shù)進(jìn)行整數(shù)上的限制來保證不定方程有少量解，易于學(xué)生的求解以及答案的編輯.結(jié)合這一限制特點(diǎn)，在江蘇高考中，不定方程常在數(shù)列壓軸題中出現(xiàn).由于題

6、目本身的難度，加上講解后能夠被學(xué)生真正接受吸收的內(nèi)容也寥寥無幾，這也就導(dǎo)致了在教學(xué)中教師不會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間去講解.使得大部分學(xué)困生不去做，學(xué)優(yōu)生沒時(shí)間或是沒有處理的方法.從江蘇高考的試卷也能發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象，簡(jiǎn)單題學(xué)生都可以處理，難題學(xué)生都不能處理.因此總結(jié)不定方程的處理方法有著重要意義，一方面可以幫助學(xué)生提高了成績(jī)，另一方面由于解決的方法涉及數(shù)論知識(shí)，可以在開拓學(xué)生的思維的同時(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)的巧妙之處.1.2 研究綜述國(guó)內(nèi)現(xiàn)狀：我國(guó)是最早研究不定方程的國(guó)家，比較有名的有“五家共井”、“雞兔同籠”問題，標(biāo)志著中國(guó)對(duì)不定方程理論有系統(tǒng)研究的是公元五世紀(jì)張丘建算經(jīng)中的百雞問題.之后秦九韶在數(shù)書九章中對(duì)不定方

7、程深入研究，提出“大衍求一術(shù)”，將不定方程和同余聯(lián)系起來，對(duì)不定方程進(jìn)行求解.隨著教育對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的不斷深入要求，不定方程使用的范圍逐漸變廣，目前在我國(guó)各地的高考中都會(huì)出現(xiàn)，但往往是結(jié)合著一些重要考點(diǎn)出現(xiàn).國(guó)內(nèi)外有許多優(yōu)秀的學(xué)者在研究不定方程在中高考中?？嫉念}型，歸納不定方程幾個(gè)重要解法以及包含不定方程的題目題型.王知博、郭建華（2019）對(duì)數(shù)列在不定方程中的解進(jìn)行研究，并且進(jìn)行歸納，提出了數(shù)列問題中出現(xiàn)不定方程應(yīng)使用因式分解型、范圍制約性、奇偶分析型、矛盾對(duì)立行等幾個(gè)常見方法.8p3739同年潘建寧也針對(duì)數(shù)列中的不定方程問題進(jìn)行研究，提出幾個(gè)解決不定方程的重要方法，與王知博、郭建華兩人基本相同

8、.9p1718不定方程的應(yīng)用不僅在數(shù)列中體現(xiàn)，排列組合中也經(jīng)常存在，針對(duì)這一現(xiàn)象，邢雅峰（2019）對(duì)排列組合中的不定方程進(jìn)行研究.11p94邢雅峰提出排列組合中涉及到不定方程的基本上屬于計(jì)數(shù)問題，通常是用來解決分配問題，將排列組合問題轉(zhuǎn)化為不定方程問題，能讓學(xué)生更深刻地理解題意.高中數(shù)學(xué)中不定方程雖沒有出現(xiàn)在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，但基本上應(yīng)用廣泛，在許多常見題型都會(huì)出現(xiàn)，杜平（2018）就針對(duì)上海數(shù)學(xué)高考中的不定方程問題進(jìn)行歸類總結(jié)，得出在數(shù)學(xué)中常見的含有不定方程的題型為立體幾何、解析幾何、排列組合以及數(shù)列，要想解決這些問題就應(yīng)先了解不定方程，不定方程的解法非常多樣，教師在教學(xué)的過程中要把握一個(gè)度

9、，及時(shí)強(qiáng)度不定方程的定義以及解法，讓學(xué)生充分了解.1p3840管訓(xùn)貴（2018）在對(duì)不定方程解的研究中使用了分類討論法，他針對(duì)多元式子進(jìn)行未知數(shù)分類討論，從而得出結(jié)果.10p4850國(guó)外第一個(gè)提出不定方程的是古希臘的丟番都，他曾研究過許多類型的不定方程，因此后人將不定方程又稱為丟番圖方程.從1965年費(fèi)馬在接觸到丟番圖方程時(shí)，就對(duì)不定方程進(jìn)行研究，三百多年來，在這方面有著巨大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家也不計(jì)其數(shù)，前有費(fèi)馬、歐拉，后有格朗維爾以及懷爾斯.1994年普林斯頓知名教授A.Wiles解決了當(dāng)時(shí)留存的世界難題費(fèi)馬大定理的證明. 1.3 研究意義不定方程盡管在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，但由于是隱藏式出現(xiàn)，所以一部

10、分的學(xué)生不能很好地理解什么是不定方程？什么樣的情況要使用不定方程?因此在教學(xué)過程中，教師應(yīng)在使用不定方程的過程中及時(shí)強(qiáng)化不定方程的概念以及什么題型首先考慮到不定方程的使用.通過研究不定方程在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，歸納不定方程在習(xí)題中出現(xiàn)的題型，引導(dǎo)學(xué)生自主思考什么樣的數(shù)學(xué)題要使用不定方程.目前中學(xué)生對(duì)于不定方程的理解僅停留在 初中時(shí)學(xué)過的一元二次方程中，對(duì)于排列組合、數(shù)列中出現(xiàn)的不定方程的使用方法不是很明確，學(xué)生往往使用后不能明確的辨析出用的是什么方法，對(duì)于題目而言他們只能確定這是有關(guān)于立體幾何求特殊值的問題、求數(shù)列解析式以及數(shù)列中帶有未知數(shù)的值等問題，不能很快思考出考題除大考點(diǎn)以外的小的考點(diǎn).通

11、過本次實(shí)踐研究，我們可以在教學(xué)的過程中給予學(xué)生一個(gè)明確的不定方程的定義，強(qiáng)化學(xué)生關(guān)于這方面的應(yīng)用能力，增強(qiáng)學(xué)生的解決問題能力，提高學(xué)生對(duì)于難題抓住關(guān)鍵考點(diǎn)的能力.1.4 研究?jī)?nèi)容和方法論文框架或主要觀點(diǎn)本研究先參考了許多關(guān)于不定方程的相關(guān)文獻(xiàn)，再通過收集一些中高考模擬題以及歷年來真題.結(jié)合自己已有的一些知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并且咨詢實(shí)習(xí)指導(dǎo)老師指導(dǎo)后，進(jìn)行對(duì)題目的分類歸納，將常見的不定方程問題羅列出來，對(duì)解法整合.希望可以為師生早日后的教學(xué)或?qū)W習(xí)過程中在不定方程的定義及其應(yīng)用知識(shí)的實(shí)踐中提供一些幫助.1.4.1 文獻(xiàn)法本文的理論支撐就是不定方程的定義及應(yīng)用的相關(guān)資料，包括教科書、輔導(dǎo)資料、課程標(biāo)準(zhǔn)以及來源

12、于知網(wǎng)的相關(guān)期刊、論文和書籍等.運(yùn)用文獻(xiàn)法，能夠使本文的結(jié)論更加具有說服力，從而保證結(jié)論是可靠真實(shí)的.1.4.2 分析法本文除收集相關(guān)資料外，對(duì)文獻(xiàn)進(jìn)行分析整理也是一個(gè)重要過程.通過教科書、課外習(xí)題以及歷年來的中高考真題中涉及到不定方程的題目進(jìn)行分析，著重從與不定方程有聯(lián)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)入手，對(duì)題型、解題思路進(jìn)行分析，從而保證論文的嚴(yán)謹(jǐn)性.1.4.3 比較法通過對(duì)知網(wǎng)及搜集到的相關(guān)習(xí)題進(jìn)行歸類整理，對(duì)與不定方程相結(jié)合出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行比較.著重從在歷年高考出現(xiàn)的次數(shù)以及解決方法進(jìn)行比較.對(duì)之后的教學(xué)研究和課堂中對(duì)不定方程的講解做出相應(yīng)的建議.2. 關(guān)于不定方程在中學(xué)中的教學(xué)研究不定方程作為數(shù)論中的

13、一個(gè)重要課題，往往是高考命題的熱門選擇.由于不定方程在高中數(shù)學(xué)中沒有明確的考綱，因此即使在高考中出現(xiàn)相應(yīng)的內(nèi)容，也不會(huì)單獨(dú)作為一道大題出現(xiàn)，不定方程往往是作為一個(gè)單一的元素出現(xiàn)已達(dá)到增加學(xué)生的思維量和題目關(guān)系式的推論這一目的.不定方程是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多余方程個(gè)數(shù)的方程.這種方程在不限制條件的情況下有無限多個(gè)解，例如,對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù),這個(gè)方程的解即有無數(shù)組，但在命題時(shí)顯然不能不對(duì)解進(jìn)行一系列限制，使他有少量方程解并能一一列舉.對(duì)不定方程，我們一般會(huì)簡(jiǎn)單研究它的整數(shù)解、正整數(shù)解等，避免因?yàn)榻鉄o限制，導(dǎo)致題目難以解決.2.1 不定方程在數(shù)列中的應(yīng)用數(shù)列中的不定方程是指數(shù)列中含有

14、未知數(shù)的等式，它的求解是數(shù)列中的一個(gè)難點(diǎn).原因在于數(shù)列的題目本身就是以壓軸題的形式出現(xiàn)的，學(xué)生對(duì)其具有一定的恐懼性，再加上蘊(yùn)含不定方程的數(shù)列問題部分學(xué)生無法掌握解題方法，因此導(dǎo)致這部分學(xué)生不敢或者不愿意去解決這方面的問題，所以很有必要將數(shù)列中的不定方程題型進(jìn)行歸類整合.2.1.1 整數(shù)分離法例1：設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-12n+t.是否存在正整數(shù)t，使得a1，a2，am(m3,mN*)成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：假設(shè)數(shù)列an中存在a1，a2，am成等差數(shù)列故a1+am=2a2，又an=2n-12n+t故21-121+t+2m-12m+t=222-12

15、2+t 故2m-12m+t=8+5tt2+6t+8，故2m-12m+t-(2m-1)=8+5tt2+6t+8-(8+5t)即2m-1t+1=8+5tt2+t，故m=3+4t因方程左邊 mN*，故右邊3+4tN*，4tN*又t是正整數(shù)，故t=1，2，4故當(dāng)t=1時(shí)，m=7；當(dāng)t=2時(shí)，m=5；當(dāng)t=4時(shí)，m=4故存在t=1,使得a1，a2，am(m3,mN*)成等差數(shù)列例2：設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列an，滿足a54=2014，且存在正整數(shù)k，使a1，a54，ak成等比數(shù)列，問：公差d的所有可能取值之和的值。解：假設(shè)存在正整數(shù)k，使a1，a54，ak成等比數(shù)列故a1ak=a542， 因數(shù)列a

16、n是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列，故公差d0又a54=2014，故an=a54+n-54d=2014+(n-54)d故a1=2014-53d故(2014-53d)(2014+(k-54)d)=20142故d=38k-10738k-54故d=38-5338k-54又d0，故38-5338k-540，故53k-541又d=0時(shí)不影響目標(biāo)的結(jié)果(所有滿足題意的公差和)故當(dāng)d0時(shí)，由a1，a54，ak成等比可知k54故k-5453，又5338=532191故k-54=532或5319或53192故當(dāng)k-54=532，故d=38-19=19故當(dāng)k-54=5319，故d=38-2=36故當(dāng)k-54=53192

17、，故d=38-1=37故d=0或19或36或37，又0+19+36+37=92故公差d的所有可能取值之和為922.1.2 因式分解法例3：設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列an，滿足a54=2014，且存在正整數(shù)k，使a1，a54，ak成等比數(shù)列，問：公差d的所有可能取值之和的值。解：假設(shè)存在正整數(shù)k，使a1，a54，ak成等比數(shù)列故a1ak=a542， 因數(shù)列an是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列，故公差d0又a54=2014，故an=a54+n-54d=2014+(n-54)d故a1=2014-53d故(2014-53d)(2014+(k-54)d)=20142故d=38k-10738k-54故d=3

18、8-5338k-54又d0，故38-5338k-540，故53k-541又d=0時(shí)不影響目標(biāo)的結(jié)果(所有滿足題意的公差和)故當(dāng)d0時(shí)，由a1，a54，ak成等比可知k54故k-5453，又5338=532191故k-54=532或5319或53192故當(dāng)k-54=532，故d=38-19=19故當(dāng)k-54=5319，故d=38-2=36故當(dāng)k-54=53192，故d=38-1=37故d=0或19或36或37，又0+19+36+37=92故公差d的所有可能取值之和為922.1.3 奇偶比較法例4：數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=32n-1-2，問:是否存在不同的三項(xiàng)ap，aq，ar(其中p,q,rN*

19、)恰好成等差數(shù)列，若存在，求出p,q,r的關(guān)系，若不存在，試說明理由。解：假設(shè)數(shù)列an中存在ap，aq，ar成等差其中p,q,rN*且pqr故ap+ar=2aq，又an=32n-1-2故32p-1-2+(32r-1-2)=2(32n-1-2) 故22q-r=2p-r+1故易知q-r1, p-r2故2q-r和2p-r是偶數(shù)故方程的左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)故數(shù)列an中不存在不同的三項(xiàng)ap，aq，ar成等差2.1.4 大小比較法例5：數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2n+1，問:是否存在正整數(shù)m，n(1m1，故m=2故n6n+3=(222+1)2，故n=12故存在m=2,n=12，使得a1，am，an成等

20、比數(shù)列2.1.5 有、無理數(shù)比較法例6：數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=a+n，其中a為有理數(shù)，問:是否存在不同的三項(xiàng)成等比數(shù)列？試說明理由。解：假設(shè)數(shù)列bn中存在bi，bj，bk成等比其中i,j,kN*且ijk故bibk=bj2，又bn=a+n故(a+i)(a+k)=(a+j)2 故ai+k-2j=j2-ik若i+k-2j=0，則j2-ik=0，故i=j=k這與ijk相矛盾，故i+k-2j0若i+k-2j0，則a=j2-iki+k-2j因i,j,kN*，故j2-ik和i+k-2j都是整數(shù)因此j2-iki+k-2j是有理數(shù)，又a是有理數(shù)故取a=j2-iki+k-2j時(shí)，數(shù)列bn中就存在bi，bj，b

21、k成等比數(shù)列2.2 不定方程在排列組合中的應(yīng)用排列組合和不定方程結(jié)合的題目類型相對(duì)數(shù)列來講較少，常見的是排列組合中的計(jì)數(shù)問題，這類題目就是將一樣的元素進(jìn)行多種分配的問題.例7：在十個(gè)盒子中放入個(gè)顏色大小相同的小球，滿足第個(gè)盒子里至少有求一共有多少種不同的放置方法.解析：題目中已有條件為“相同的小球”說明是小球放置為無序放置，也就是組合問題.假設(shè)現(xiàn)在第個(gè)盒子里放進(jìn)個(gè)球，也就是說放進(jìn)一個(gè)球在第一個(gè)盒子中，放進(jìn)兩個(gè)球在第二個(gè)盒子中，以此類推，在第一輪放置完畢之后一共放了個(gè)球，剩下1961個(gè)球.于是這道題就變成了將1961個(gè)球無序地放進(jìn)10個(gè)不相同的盒子中間，不一定能保證每一個(gè)盒子都放進(jìn)球，我們可以將

22、它轉(zhuǎn)換為不定方程求解的問題，也就是說對(duì)于求此不定方程的非負(fù)整數(shù)解，計(jì)算可以得出種不同的放置方法.例8：某機(jī)場(chǎng)共有號(hào)和號(hào)總共個(gè)入口，每一個(gè)入口一次只可以進(jìn)一個(gè)人，小明一家四口人進(jìn)站，共有多少種不同的方案.解析：假設(shè)小明一家四口分別進(jìn)入個(gè)人，易得到存在的關(guān)系式為且.該不定方程的接的個(gè)數(shù)為C73，也就是說在無序狀態(tài)下共有種方法.但是，對(duì)于每個(gè)人來講，進(jìn)入哪一個(gè)入口又是不同的，無法保證他進(jìn)入具體哪個(gè)，因此這個(gè)問題實(shí)際上是一個(gè)排列組合的問題，即它是有序的.因此一共有種進(jìn)站的方法.2.3 不定方程在立體幾何中的應(yīng)用不定方程在幾何中的應(yīng)用相對(duì)數(shù)列、排列組合來說范圍沒有那么廣泛，但是在部分求特殊值的題目中還是

23、會(huì)運(yùn)用到此類做法，故這種做法對(duì)于學(xué)習(xí)理科的學(xué)生非常有幫助，在附加分關(guān)于立體幾何的特殊值問題可以選用不定方程解決.目前是用不定方程解決立體幾何在江蘇高考中不是很常見，可以說少之又少.例9：已知是底面邊長(zhǎng)為的正四棱柱，是和的交點(diǎn).設(shè)與底面所成角的大小為，二面角的大小為.求證：.若點(diǎn)到平面的距離為，求正四棱柱的高.解析：（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可知有、，故，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以有即取得到，故知到平面的距離，解得.像上題一樣在求解的過程中涉及到平面法向量時(shí)，由于只涉及該法向量的方向，而不涉及其大小，所以可以取一個(gè)特殊值代入.不定方程在初中的應(yīng)用近幾年不定方程在初中試題

24、中出現(xiàn)次數(shù)增多，其中涉及到基本為一次不定方程，已達(dá)到考察學(xué)生對(duì)不定方程的掌握程度的目的.這一類題目必然與整數(shù)相關(guān)，在解題的過程中需要根據(jù)題目要求列出相應(yīng)的方程，再根據(jù)題意限制未知數(shù)的范圍，從而得出符合條件的解，接下來我將根據(jù)近幾年常見中考題型歸納一些題型及解決辦法.例10:李老師為希望中學(xué)捐贈(zèng)了一批足球、籃球和排球共計(jì)個(gè).它們總價(jià)值為元，這三種球的價(jià)格分別為：足球每一個(gè)元，籃球每一個(gè)元，排球每一個(gè)元.那么請(qǐng)問，在這個(gè) 球中，有多少個(gè)排球？ 解：設(shè)王老師為希望中學(xué)捐贈(zèng)的足球有個(gè)，籃球個(gè)，足球個(gè).根據(jù)題意可得從方程組中消去，得.顯然，此時(shí)是關(guān)于二元一次不定方程的求解問題，、的值必然是正整數(shù)，根據(jù)求

25、解二元一次方程的方法，易得出該方程有一組正整數(shù)解，即此時(shí).故王老師購(gòu)買的球類中有個(gè)排球.總結(jié)：這是一道較為典型的李用不定方程探索實(shí)際問題中正整數(shù)解的問題.本題中可以清晰明了地看出等量關(guān)系式.而此題的難度是在于如何將求解問題從定向思路跳出來，要求學(xué)生會(huì)利用不同角度看待問題，從題目主干中發(fā)現(xiàn)未知數(shù)的限制范圍是正整數(shù).3. 結(jié)論 根據(jù)研究結(jié)果表明：不定方程在初中以及高中都沒有明確的考綱，涉及不定方程的考題在高考中往往有兩大類，第一是包含在數(shù)列問題中的不定方程，這類問題通常是解決包含未知數(shù)的數(shù)列通項(xiàng)，有已知求未知，往往會(huì)給一個(gè)限定的范圍，求出一組或者幾組不定方程的解，再代入原本的方程進(jìn)行求解，從而解決

26、問題.第二類是包含在排列組合問題中的不定方程，這類方程通常是解決排列組合中的計(jì)數(shù)問題的，也就是說專門針對(duì)相同元素有序分配的問題的.因此高中教師在解決這兩大類問題是首先應(yīng)自我判斷是否包含涉及到不定方程題型的問題，如果包含到這樣的問題時(shí)應(yīng)怎樣對(duì)學(xué)生進(jìn)行講解，在講解的過程中是否應(yīng)該及時(shí)處理學(xué)生對(duì)不定方程概念的加強(qiáng).通過查閱相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)目前我國(guó)對(duì)于不定方程在高考中的要求沒有具體明確，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中也沒有明確給出不定方程的相關(guān)要求，在初中時(shí)曾經(jīng)出現(xiàn)過二元一次方程，但在概念上沒有提出關(guān)于不定方程的相關(guān)定義，因此學(xué)生對(duì)于不定方程的概念相當(dāng)?shù)哪：?，只能大致說出在二元一次方程的時(shí)候了解過，對(duì)于二元一次方程組是

27、否也是不定方程就不能明確地說出，故教師在上二元一次不定方程的時(shí)候要將他屬于什么方程明確給學(xué)生，讓學(xué)生可以清楚地區(qū)分二元一次方程和二元一次方程組解的個(gè)數(shù)的區(qū)別，對(duì)于不定方程有一個(gè)初步的概念.對(duì)于一些不經(jīng)常使用的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生容易忘記和忽視，因此在高中當(dāng)出現(xiàn)不定方程知識(shí)點(diǎn)的題目時(shí)，教師要適時(shí)地點(diǎn)出此時(shí)使用的方程叫不定方程，它的概念是未知數(shù)的個(gè)數(shù)多余方程個(gè)數(shù)的方程，大多數(shù)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)這樣的問題，在解題的時(shí)候知道要去使用不定方程，但覺得這這只是解這道題的相應(yīng)的或者說是必須的流程，而不是清楚這道題中出現(xiàn)了關(guān)于不定方程的思想，所以我使用了不定方程.學(xué)生對(duì)于題目考察的知識(shí)點(diǎn)不明確的時(shí)候容易出現(xiàn)解題的消極思想，認(rèn)為這道題沒有辦法寫下去，教師在講解的時(shí)候講不定方程專門提出來，適時(shí)地給與學(xué)生一些不定方程的基本解法，讓學(xué)生通過練習(xí)得到提升.參考文獻(xiàn)：1杜平.談?wù)劯咧薪虒W(xué)中的不定方程J.數(shù)學(xué)教學(xué),2018:3840.2張宇.不定方程問題的解法探究J.中學(xué)數(shù)學(xué)參考,2018:1920.3王淼生.追尋數(shù)學(xué)問題的本來面目J.數(shù)學(xué)通報(bào),2013(11).4石向陽.構(gòu)建不定方