數(shù)學與應用數(shù)學-關于不定方程在初等數(shù)學中的教學研究論文

1、不定方程在初等數(shù)學中的教學研究摘要 不定方程在中學數(shù)學中的應用相當廣泛，是中學數(shù)學中的一個重要組成部分.評估學生掌握不定方程相關知識的程度，尋找如何提高學生使用不定方程解決問題能力的方法，在學生未來步入高等數(shù)學研究的過程中也是至關重要的.通過收集歷年江蘇高考中出現(xiàn)的不定方程題目，可以發(fā)現(xiàn)此考點多在數(shù)列的存在性問題中出現(xiàn).對收集的題目進行歸納，得出不定方程題型的考察方式及考察側(cè)重點.分析發(fā)現(xiàn)考察題目可分為兩大類：非整解不定方程和整解不定方程，主要為整解類問題.再結(jié)合函數(shù)及數(shù)論知識從中總結(jié)出解決不定方程問題的處理方法.以緩解在處理此類問題無從下手的局面.關鍵詞 不定方程 初等數(shù)學 數(shù)論 整數(shù)解 數(shù)

2、列 Teaching research of indefinite equation in Elementary MathematicsAbstract Indefinite equation is widely used in middle school mathematics, and it is an important part of middle school mathematics. It is also very important for students to evaluate their knowledge of the indefinite equation and fi

3、nd out how to improve their ability of using the indefinite equation to solve problems. By studying the teaching of indefinite equation in primary mathematics, it is very important to improve students mathematical literacy and increase their mathematical knowledge. Therefore, in the future mathemati

4、cs teaching process, students should be able to think independently about the discovery, development and application of indefinite equations according to the thought method of problem-solving.Key words Indefinite Equation Elementary Mathematics 目 錄1.引言11.1選題意義11.2研究綜述11.3研究意義21.4研究內(nèi)容和方法論文框架或主要觀點21.4

5、.1文獻法31.4.2分析法31.4.3比較法32.關于不定方程在中學中的教學研究42.1不定方程在數(shù)列中的應用42.1.1整數(shù)分離法42.1.2因式分解法52.1.3奇偶比較法62.1.4大小比較法72.1.5有、無理數(shù)比較法72.2不定方程在排列組合中的應用82.3不定方程在立體幾何中的應用83.結(jié)論11參考文獻12致謝1341. 引言1.1 選題意義確切來說不定方程這一知識點在中學教材中并未出現(xiàn)，但對其的考察卻一直存在.一般情況下題目會對方程中的未知數(shù)進行整數(shù)上的限制來保證不定方程有少量解，易于學生的求解以及答案的編輯.結(jié)合這一限制特點，在江蘇高考中，不定方程常在數(shù)列壓軸題中出現(xiàn).由于題

6、目本身的難度，加上講解后能夠被學生真正接受吸收的內(nèi)容也寥寥無幾，這也就導致了在教學中教師不會花費大量時間去講解.使得大部分學困生不去做，學優(yōu)生沒時間或是沒有處理的方法.從江蘇高考的試卷也能發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象，簡單題學生都可以處理，難題學生都不能處理.因此總結(jié)不定方程的處理方法有著重要意義，一方面可以幫助學生提高了成績，另一方面由于解決的方法涉及數(shù)論知識，可以在開拓學生的思維的同時體會到數(shù)學的巧妙之處.1.2 研究綜述國內(nèi)現(xiàn)狀：我國是最早研究不定方程的國家，比較有名的有“五家共井”、“雞兔同籠”問題，標志著中國對不定方程理論有系統(tǒng)研究的是公元五世紀張丘建算經(jīng)中的百雞問題.之后秦九韶在數(shù)書九章中對不定方

7、程深入研究，提出“大衍求一術”，將不定方程和同余聯(lián)系起來，對不定方程進行求解.隨著教育對數(shù)學學科的不斷深入要求，不定方程使用的范圍逐漸變廣，目前在我國各地的高考中都會出現(xiàn)，但往往是結(jié)合著一些重要考點出現(xiàn).國內(nèi)外有許多優(yōu)秀的學者在研究不定方程在中高考中?？嫉念}型，歸納不定方程幾個重要解法以及包含不定方程的題目題型.王知博、郭建華（2019）對數(shù)列在不定方程中的解進行研究，并且進行歸納，提出了數(shù)列問題中出現(xiàn)不定方程應使用因式分解型、范圍制約性、奇偶分析型、矛盾對立行等幾個常見方法.8p3739同年潘建寧也針對數(shù)列中的不定方程問題進行研究，提出幾個解決不定方程的重要方法，與王知博、郭建華兩人基本相同

8、.9p1718不定方程的應用不僅在數(shù)列中體現(xiàn)，排列組合中也經(jīng)常存在，針對這一現(xiàn)象，邢雅峰（2019）對排列組合中的不定方程進行研究.11p94邢雅峰提出排列組合中涉及到不定方程的基本上屬于計數(shù)問題，通常是用來解決分配問題，將排列組合問題轉(zhuǎn)化為不定方程問題，能讓學生更深刻地理解題意.高中數(shù)學中不定方程雖沒有出現(xiàn)在數(shù)學課程標準中，但基本上應用廣泛，在許多常見題型都會出現(xiàn)，杜平（2018）就針對上海數(shù)學高考中的不定方程問題進行歸類總結(jié)，得出在數(shù)學中常見的含有不定方程的題型為立體幾何、解析幾何、排列組合以及數(shù)列，要想解決這些問題就應先了解不定方程，不定方程的解法非常多樣，教師在教學的過程中要把握一個度

9、，及時強度不定方程的定義以及解法，讓學生充分了解.1p3840管訓貴（2018）在對不定方程解的研究中使用了分類討論法，他針對多元式子進行未知數(shù)分類討論，從而得出結(jié)果.10p4850國外第一個提出不定方程的是古希臘的丟番都，他曾研究過許多類型的不定方程，因此后人將不定方程又稱為丟番圖方程.從1965年費馬在接觸到丟番圖方程時，就對不定方程進行研究，三百多年來，在這方面有著巨大貢獻的數(shù)學家也不計其數(shù)，前有費馬、歐拉，后有格朗維爾以及懷爾斯.1994年普林斯頓知名教授A.Wiles解決了當時留存的世界難題費馬大定理的證明. 1.3 研究意義不定方程盡管在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，但由于是隱藏式出現(xiàn)，所以一部

10、分的學生不能很好地理解什么是不定方程？什么樣的情況要使用不定方程?因此在教學過程中，教師應在使用不定方程的過程中及時強化不定方程的概念以及什么題型首先考慮到不定方程的使用.通過研究不定方程在初等數(shù)學中的應用，歸納不定方程在習題中出現(xiàn)的題型，引導學生自主思考什么樣的數(shù)學題要使用不定方程.目前中學生對于不定方程的理解僅停留在 初中時學過的一元二次方程中，對于排列組合、數(shù)列中出現(xiàn)的不定方程的使用方法不是很明確，學生往往使用后不能明確的辨析出用的是什么方法，對于題目而言他們只能確定這是有關于立體幾何求特殊值的問題、求數(shù)列解析式以及數(shù)列中帶有未知數(shù)的值等問題，不能很快思考出考題除大考點以外的小的考點.通

11、過本次實踐研究，我們可以在教學的過程中給予學生一個明確的不定方程的定義，強化學生關于這方面的應用能力，增強學生的解決問題能力，提高學生對于難題抓住關鍵考點的能力.1.4 研究內(nèi)容和方法論文框架或主要觀點本研究先參考了許多關于不定方程的相關文獻，再通過收集一些中高考模擬題以及歷年來真題.結(jié)合自己已有的一些知識經(jīng)驗，并且咨詢實習指導老師指導后，進行對題目的分類歸納，將常見的不定方程問題羅列出來，對解法整合.希望可以為師生早日后的教學或?qū)W習過程中在不定方程的定義及其應用知識的實踐中提供一些幫助.1.4.1 文獻法本文的理論支撐就是不定方程的定義及應用的相關資料，包括教科書、輔導資料、課程標準以及來源

12、于知網(wǎng)的相關期刊、論文和書籍等.運用文獻法，能夠使本文的結(jié)論更加具有說服力，從而保證結(jié)論是可靠真實的.1.4.2 分析法本文除收集相關資料外，對文獻進行分析整理也是一個重要過程.通過教科書、課外習題以及歷年來的中高考真題中涉及到不定方程的題目進行分析，著重從與不定方程有聯(lián)系的相關知識點入手，對題型、解題思路進行分析，從而保證論文的嚴謹性.1.4.3 比較法通過對知網(wǎng)及搜集到的相關習題進行歸類整理，對與不定方程相結(jié)合出現(xiàn)的知識點進行比較.著重從在歷年高考出現(xiàn)的次數(shù)以及解決方法進行比較.對之后的教學研究和課堂中對不定方程的講解做出相應的建議.2. 關于不定方程在中學中的教學研究不定方程作為數(shù)論中的

13、一個重要課題，往往是高考命題的熱門選擇.由于不定方程在高中數(shù)學中沒有明確的考綱，因此即使在高考中出現(xiàn)相應的內(nèi)容，也不會單獨作為一道大題出現(xiàn)，不定方程往往是作為一個單一的元素出現(xiàn)已達到增加學生的思維量和題目關系式的推論這一目的.不定方程是指未知數(shù)的個數(shù)多余方程個數(shù)的方程.這種方程在不限制條件的情況下有無限多個解，例如,對于任意實數(shù)，都有一個與之對應的實數(shù),這個方程的解即有無數(shù)組，但在命題時顯然不能不對解進行一系列限制，使他有少量方程解并能一一列舉.對不定方程，我們一般會簡單研究它的整數(shù)解、正整數(shù)解等，避免因為解無限制，導致題目難以解決.2.1 不定方程在數(shù)列中的應用數(shù)列中的不定方程是指數(shù)列中含有

14、未知數(shù)的等式，它的求解是數(shù)列中的一個難點.原因在于數(shù)列的題目本身就是以壓軸題的形式出現(xiàn)的，學生對其具有一定的恐懼性，再加上蘊含不定方程的數(shù)列問題部分學生無法掌握解題方法，因此導致這部分學生不敢或者不愿意去解決這方面的問題，所以很有必要將數(shù)列中的不定方程題型進行歸類整合.2.1.1 整數(shù)分離法例1：設數(shù)列an的通項公式為an=2n-12n+t.是否存在正整數(shù)t，使得a1，a2，am(m3,mN*)成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由。解：假設數(shù)列an中存在a1，a2，am成等差數(shù)列故a1+am=2a2，又an=2n-12n+t故21-121+t+2m-12m+t=222-12

15、2+t 故2m-12m+t=8+5tt2+6t+8，故2m-12m+t-(2m-1)=8+5tt2+6t+8-(8+5t)即2m-1t+1=8+5tt2+t，故m=3+4t因方程左邊 mN*，故右邊3+4tN*，4tN*又t是正整數(shù)，故t=1，2，4故當t=1時，m=7；當t=2時，m=5；當t=4時，m=4故存在t=1,使得a1，a2，am(m3,mN*)成等差數(shù)列例2：設各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列an，滿足a54=2014，且存在正整數(shù)k，使a1，a54，ak成等比數(shù)列，問：公差d的所有可能取值之和的值。解：假設存在正整數(shù)k，使a1，a54，ak成等比數(shù)列故a1ak=a542， 因數(shù)列a

16、n是各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列，故公差d0又a54=2014，故an=a54+n-54d=2014+(n-54)d故a1=2014-53d故(2014-53d)(2014+(k-54)d)=20142故d=38k-10738k-54故d=38-5338k-54又d0，故38-5338k-540，故53k-541又d=0時不影響目標的結(jié)果(所有滿足題意的公差和)故當d0時，由a1，a54，ak成等比可知k54故k-5453，又5338=532191故k-54=532或5319或53192故當k-54=532，故d=38-19=19故當k-54=5319，故d=38-2=36故當k-54=53192

17、，故d=38-1=37故d=0或19或36或37，又0+19+36+37=92故公差d的所有可能取值之和為922.1.2 因式分解法例3：設各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列an，滿足a54=2014，且存在正整數(shù)k，使a1，a54，ak成等比數(shù)列，問：公差d的所有可能取值之和的值。解：假設存在正整數(shù)k，使a1，a54，ak成等比數(shù)列故a1ak=a542， 因數(shù)列an是各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列，故公差d0又a54=2014，故an=a54+n-54d=2014+(n-54)d故a1=2014-53d故(2014-53d)(2014+(k-54)d)=20142故d=38k-10738k-54故d=3

18、8-5338k-54又d0，故38-5338k-540，故53k-541又d=0時不影響目標的結(jié)果(所有滿足題意的公差和)故當d0時，由a1，a54，ak成等比可知k54故k-5453，又5338=532191故k-54=532或5319或53192故當k-54=532，故d=38-19=19故當k-54=5319，故d=38-2=36故當k-54=53192，故d=38-1=37故d=0或19或36或37，又0+19+36+37=92故公差d的所有可能取值之和為922.1.3 奇偶比較法例4：數(shù)列an的通項公式為an=32n-1-2，問:是否存在不同的三項ap，aq，ar(其中p,q,rN*

19、)恰好成等差數(shù)列，若存在，求出p,q,r的關系，若不存在，試說明理由。解：假設數(shù)列an中存在ap，aq，ar成等差其中p,q,rN*且pqr故ap+ar=2aq，又an=32n-1-2故32p-1-2+(32r-1-2)=2(32n-1-2) 故22q-r=2p-r+1故易知q-r1, p-r2故2q-r和2p-r是偶數(shù)故方程的左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)故數(shù)列an中不存在不同的三項ap，aq，ar成等差2.1.4 大小比較法例5：數(shù)列an的通項公式為an=n2n+1，問:是否存在正整數(shù)m，n(1m1，故m=2故n6n+3=(222+1)2，故n=12故存在m=2,n=12，使得a1，am，an成等

20、比數(shù)列2.1.5 有、無理數(shù)比較法例6：數(shù)列bn的通項公式為bn=a+n，其中a為有理數(shù)，問:是否存在不同的三項成等比數(shù)列？試說明理由。解：假設數(shù)列bn中存在bi，bj，bk成等比其中i,j,kN*且ijk故bibk=bj2，又bn=a+n故(a+i)(a+k)=(a+j)2 故ai+k-2j=j2-ik若i+k-2j=0，則j2-ik=0，故i=j=k這與ijk相矛盾，故i+k-2j0若i+k-2j0，則a=j2-iki+k-2j因i,j,kN*，故j2-ik和i+k-2j都是整數(shù)因此j2-iki+k-2j是有理數(shù)，又a是有理數(shù)故取a=j2-iki+k-2j時，數(shù)列bn中就存在bi，bj，b

21、k成等比數(shù)列2.2 不定方程在排列組合中的應用排列組合和不定方程結(jié)合的題目類型相對數(shù)列來講較少，常見的是排列組合中的計數(shù)問題，這類題目就是將一樣的元素進行多種分配的問題.例7：在十個盒子中放入個顏色大小相同的小球，滿足第個盒子里至少有求一共有多少種不同的放置方法.解析：題目中已有條件為“相同的小球”說明是小球放置為無序放置，也就是組合問題.假設現(xiàn)在第個盒子里放進個球，也就是說放進一個球在第一個盒子中，放進兩個球在第二個盒子中，以此類推，在第一輪放置完畢之后一共放了個球，剩下1961個球.于是這道題就變成了將1961個球無序地放進10個不相同的盒子中間，不一定能保證每一個盒子都放進球，我們可以將

22、它轉(zhuǎn)換為不定方程求解的問題，也就是說對于求此不定方程的非負整數(shù)解，計算可以得出種不同的放置方法.例8：某機場共有號和號總共個入口，每一個入口一次只可以進一個人，小明一家四口人進站，共有多少種不同的方案.解析：假設小明一家四口分別進入個人，易得到存在的關系式為且.該不定方程的接的個數(shù)為C73，也就是說在無序狀態(tài)下共有種方法.但是，對于每個人來講，進入哪一個入口又是不同的，無法保證他進入具體哪個，因此這個問題實際上是一個排列組合的問題，即它是有序的.因此一共有種進站的方法.2.3 不定方程在立體幾何中的應用不定方程在幾何中的應用相對數(shù)列、排列組合來說范圍沒有那么廣泛，但是在部分求特殊值的題目中還是

23、會運用到此類做法，故這種做法對于學習理科的學生非常有幫助，在附加分關于立體幾何的特殊值問題可以選用不定方程解決.目前是用不定方程解決立體幾何在江蘇高考中不是很常見，可以說少之又少.例9：已知是底面邊長為的正四棱柱，是和的交點.設與底面所成角的大小為，二面角的大小為.求證：.若點到平面的距離為，求正四棱柱的高.解析：（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)題意可知有、，故，.設平面的一個法向量為，因為，所以有即取得到，故知到平面的距離，解得.像上題一樣在求解的過程中涉及到平面法向量時，由于只涉及該法向量的方向，而不涉及其大小，所以可以取一個特殊值代入.不定方程在初中的應用近幾年不定方程在初中試題

24、中出現(xiàn)次數(shù)增多，其中涉及到基本為一次不定方程，已達到考察學生對不定方程的掌握程度的目的.這一類題目必然與整數(shù)相關，在解題的過程中需要根據(jù)題目要求列出相應的方程，再根據(jù)題意限制未知數(shù)的范圍，從而得出符合條件的解，接下來我將根據(jù)近幾年常見中考題型歸納一些題型及解決辦法.例10:李老師為希望中學捐贈了一批足球、籃球和排球共計個.它們總價值為元，這三種球的價格分別為：足球每一個元，籃球每一個元，排球每一個元.那么請問，在這個 球中，有多少個排球？ 解：設王老師為希望中學捐贈的足球有個，籃球個，足球個.根據(jù)題意可得從方程組中消去，得.顯然，此時是關于二元一次不定方程的求解問題，、的值必然是正整數(shù)，根據(jù)求

25、解二元一次方程的方法，易得出該方程有一組正整數(shù)解，即此時.故王老師購買的球類中有個排球.總結(jié)：這是一道較為典型的李用不定方程探索實際問題中正整數(shù)解的問題.本題中可以清晰明了地看出等量關系式.而此題的難度是在于如何將求解問題從定向思路跳出來，要求學生會利用不同角度看待問題，從題目主干中發(fā)現(xiàn)未知數(shù)的限制范圍是正整數(shù).3. 結(jié)論 根據(jù)研究結(jié)果表明：不定方程在初中以及高中都沒有明確的考綱，涉及不定方程的考題在高考中往往有兩大類，第一是包含在數(shù)列問題中的不定方程，這類問題通常是解決包含未知數(shù)的數(shù)列通項，有已知求未知，往往會給一個限定的范圍，求出一組或者幾組不定方程的解，再代入原本的方程進行求解，從而解決

26、問題.第二類是包含在排列組合問題中的不定方程，這類方程通常是解決排列組合中的計數(shù)問題的，也就是說專門針對相同元素有序分配的問題的.因此高中教師在解決這兩大類問題是首先應自我判斷是否包含涉及到不定方程題型的問題，如果包含到這樣的問題時應怎樣對學生進行講解，在講解的過程中是否應該及時處理學生對不定方程概念的加強.通過查閱相關資料，發(fā)現(xiàn)目前我國對于不定方程在高考中的要求沒有具體明確，數(shù)學課程標準中也沒有明確給出不定方程的相關要求，在初中時曾經(jīng)出現(xiàn)過二元一次方程，但在概念上沒有提出關于不定方程的相關定義，因此學生對于不定方程的概念相當?shù)哪：?，只能大致說出在二元一次方程的時候了解過，對于二元一次方程組是

27、否也是不定方程就不能明確地說出，故教師在上二元一次不定方程的時候要將他屬于什么方程明確給學生，讓學生可以清楚地區(qū)分二元一次方程和二元一次方程組解的個數(shù)的區(qū)別，對于不定方程有一個初步的概念.對于一些不經(jīng)常使用的知識點，學生容易忘記和忽視，因此在高中當出現(xiàn)不定方程知識點的題目時，教師要適時地點出此時使用的方程叫不定方程，它的概念是未知數(shù)的個數(shù)多余方程個數(shù)的方程，大多數(shù)學生會出現(xiàn)這樣的問題，在解題的時候知道要去使用不定方程，但覺得這這只是解這道題的相應的或者說是必須的流程，而不是清楚這道題中出現(xiàn)了關于不定方程的思想，所以我使用了不定方程.學生對于題目考察的知識點不明確的時候容易出現(xiàn)解題的消極思想，認為這道題沒有辦法寫下去，教師在講解的時候講不定方程專門提出來，適時地給與學生一些不定方程的基本解法，讓學生通過練習得到提升.參考文獻：1杜平.談談高中教學中的不定方程J.數(shù)學教學,2018:3840.2張宇.不定方程問題的解法探究J.中學數(shù)學參考,2018:1920.3王淼生.追尋數(shù)學問題的本來面目J.數(shù)學通報,2013(11).4石向陽.構建不定方