線(xiàn)性代數(shù)課件：1-3 逆矩陣

1、上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 1.3 逆矩陣逆矩陣 一、一、伴隨矩陣伴隨矩陣 二、二、逆矩陣逆矩陣 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 一、伴隨矩陣一、伴隨矩陣 由由 Laplace 定理知定理知 設(shè)設(shè) A (aij) 為為 n 階方陣階方陣, Aij 為元素為元素 aij 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式, 111,11,11 1,1, 1 1 jjn nn jn jnnn aaaab abaaa 1212jjjnn AbAAbb 當(dāng)當(dāng) i j 時(shí)時(shí), 取取 b1 a1i , , bn ani , 1122 0, ijijninj a Aa Aa Aij 則則 i, j 列相同列相同, 于是于是 v 代數(shù)余子式的性質(zhì)

2、代數(shù)余子式的性質(zhì) 1122 |, 0, ijijinjn Aij a Aa Aa A ij 1122 |, 0, ijijninj Aij a Aa Aa A ij 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 代數(shù)余子式的性質(zhì)可寫(xiě)成兩個(gè)矩陣等式代數(shù)余子式的性質(zhì)可寫(xiě)成兩個(gè)矩陣等式 111111 11 | nn nnnnnn aaAA A E aaAA 111111 11 | nn nnnnnn AAaa A E AAaa v 代數(shù)余子式的性質(zhì)代數(shù)余子式的性質(zhì) 1122 |, 0, ijijninj Aij a Aa Aa A ij 1122 |, 0, ijijinjn Aij a Aa Aa A ij 上頁(yè)下頁(yè)鈴

3、結(jié)束返回首頁(yè) v 伴隨矩陣伴隨矩陣 稱(chēng)稱(chēng) A 為方陣為方陣 A 的的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置伴隨矩陣伴隨矩陣. 設(shè)設(shè) Aij 為為 n 階方陣階方陣 A 的的 (i, j) 元的代數(shù)余子式元的代數(shù)余子式, 記記 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA 111111 11 | nn nnnnnn aaAA A E aaAA 111111 11 | nn nnnnnn AAaa A E AAaa |AAA E |A AA E 代數(shù)余子式的性質(zhì)可寫(xiě)成兩個(gè)矩陣等式代數(shù)余子式的性質(zhì)可寫(xiě)成兩個(gè)矩陣等式 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 練習(xí) 110 212 321 A 求求的伴隨矩陣 * 312

4、 412 111 A 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 1 ()AAA n 階方陣階方陣 A 的伴隨陣的伴隨陣 A 具有下列性質(zhì)具有下列性質(zhì): v 伴隨矩陣的性質(zhì)伴隨矩陣的性質(zhì) |;AAA AA E (1) 1 |. n AA (2) 證明證明 由由(1)兩邊取行列式兩邊取行列式, 得得 | | nn AAAEA 當(dāng)當(dāng) | A | 0 時(shí)時(shí), 由上式即得由上式即得(2). 注注: 當(dāng)當(dāng) | A | 0 時(shí)時(shí), 1 1 , | AA A 11 AAAAE ()( 11 | )AAA A AE A 記記 則則 當(dāng)當(dāng) | A | 0 時(shí)時(shí), | A | 0: 從而從而 A O, 與與 | A | 0 矛盾矛盾

5、. |AAA E |A AA E 1 ()OAO 1 ()AAAA 11 ()|()AAA 1 ()AAE 若不然若不然, 則則 (A ) 1 存在存在,于是于是 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 方陣方陣 A 可逆時(shí)可逆時(shí), 其逆矩陣唯一其逆矩陣唯一, 記為記為 A 1. 證明證明 ()BB AC v 逆矩陣逆矩陣 如果存在矩陣如果存在矩陣 B, 使使 AB BA E 那么稱(chēng)方陣那么稱(chēng)方陣 A 為為可逆的可逆的, 并稱(chēng)并稱(chēng) B 為為 A 的逆矩陣的逆矩陣. 二、逆矩陣二、逆矩陣 設(shè)設(shè) C 也為方陣也為方陣 A 的的逆矩陣逆矩陣, 則則 E AC, 注注: 當(dāng)當(dāng) | A | 0 時(shí)時(shí), 1 1 , |

6、AA A 11 AAAAE ()( 11 | )AAA A AE A 記記 則則 ()CBA CEC 于是于是 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) v 逆矩陣計(jì)算公式逆矩陣計(jì)算公式 非奇異矩陣非奇異矩陣 A 可逆可逆, 且其逆矩陣為且其逆矩陣為 1 1 | AA A 如果如果 | A | 0, 那么稱(chēng)方陣那么稱(chēng)方陣 A 為為非奇異矩陣非奇異矩陣. 如果如果 | A | 0, 那么稱(chēng)方陣那么稱(chēng)方陣 A 為為奇異矩陣奇異矩陣. 1 (|)AA A 可可逆方陣逆方陣 A 為非奇異矩陣為非奇異矩陣, 且且 | A 1 | | A | 1. 證明證明 由由 AA 1 E, 得得 | A | | A 1| 1. 于是

7、于是 | A | 0, 11 |.AA 方陣方陣 A 為非奇異矩陣為非奇異矩陣, 且且 注注: 當(dāng)當(dāng) | A | 0 時(shí)時(shí), 1 1 , | AA A 11 AAAAE ()( 11 | )AAA A AE A 記記 則則 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 解解 例例1 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 求求 A 1 . 223 110 , 121 A 11 10 1, 21 A 21 23 4, 21 A 31 23 3 10 A 12 10 1, 11 A 22 23 5, 11 A 32 23 3 10 A 13 11 1, 12 A 23 22 6, 12 A 33 22 4 11 A 143 153, 164 A

8、 111112121313 |2 ( 1)2 ( 1)3 11Aa Aa Aa A 1 1 | AA A 143 153 164 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 練習(xí) 110 212 321 A 求求的伴隨矩陣 * 312 412 111 A 1* 312 1 412 | 111 AA A 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 解解 例例2 設(shè)設(shè) 423 110 , 123 A 且且 AX A 2X, 求求 X. 由由 AX A 2X, 得得 ( A 2E ) X A, 223 2110 , 121 AE 143 (2)153 164 AE |2|2 ( 1)2 ( 1)3 11AE 1 1 (2)(2) |2|

9、AEAE AE 143 153 164 1 (2)XAEA 386 296 2129 設(shè)設(shè) A 可逆可逆, 則矩陣方程則矩陣方程 AX B 有唯一解有唯一解 X A 1 B. 設(shè)設(shè) A 可逆可逆, 則矩陣方程則矩陣方程 XA B 有唯一解有唯一解 X BA 1 . 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 設(shè)設(shè) A 可逆可逆, 則矩陣方程則矩陣方程 AX B 有唯一解有唯一解 X A 1 B. 設(shè)設(shè) A 可逆可逆, 則矩陣方程則矩陣方程 XA B 有唯一解有唯一解 X BA 1 . 注注: 當(dāng)當(dāng) | A | 0 時(shí)時(shí), A 可逆可逆, 方程組方程組 Ax b 有唯一解有唯一解 1111 1 1 1 | n nn

10、nn AAb xA b A AAb 因此因此 1122 1 () (1,2, ) | jjjnnj xb Ab Ab Ajn A 記記 111,11,11 1,1,1 1 jjn j nnnjn jnn aaaa D aaba b a 1212 jjnn j AbbbAA 則則 (1,2, ) | j j D xjn A Cramer 法則法則 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 解解 例例3 求線(xiàn)性變換求線(xiàn)性變換 1123 2123 3123 23 34 22 yxxx yxxx yxxx 的逆變換的逆變換. 線(xiàn)性變換的系數(shù)矩陣線(xiàn)性變換的系數(shù)矩陣 123 134 , 212 A 211 641 531

11、A |1 2263 ( 5)1A 1 211 1 641 | 531 AA A 所求逆變換為所求逆變換為 1123 2123 3123 2 64 53 xyyy xyyy xyyy 設(shè)設(shè) A 可逆可逆, 則線(xiàn)性變換則線(xiàn)性變換 y Ax 的的逆變換逆變換為為 x A 1 y. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 11 ,ABBA 證明證明由由 AB E, 得得 | A | | B | 1, v 定理定理1 設(shè)設(shè) A, B 為為 n 階方陣階方陣, 若若 AB E, 則則 A, B 可逆可逆, 且且 因此因此 A, B 可逆可逆. 于是于是 | A | 0, | B | 0, 111 ()()AABAABBA

12、 111 ()()BABBBBAA 例例4 設(shè)設(shè) A3 O, 證明證明 12 ()EAEAA 證明證明 2 ()()EA EAA 3 EAE 因此因此 12 ()EAEAA 等式等式 E AB 兩邊左乘兩邊左乘 A 1 及右乘及右乘 B 1, 得得 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 提示提示 例例5 設(shè)方陣設(shè)方陣 A 滿(mǎn)足關(guān)系式滿(mǎn)足關(guān)系式 A2 2A 4E O, 證明證明 A 2E 可逆可逆, 并求其逆并求其逆. (2)(4)4AEAEE 2 24AAE(2)44AE AAE (2)4(2)4AE AAEE 證明證明 (2)(4)AEAE 2 28AAE4E 因此因此 A 2E 可逆可逆, 且且 1 1

13、 (2) 4 AEEA 1 (2)() 4 AEEAE v 定理定理1 設(shè)設(shè) A, B 為為 n 階方陣階方陣, 若若 AB E, 則則 A, B 可逆可逆, 且且 11 ,ABBA 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) v 逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的性質(zhì) 設(shè)設(shè) A, B 為為 n 階可逆矩陣階可逆矩陣, 則有下列性質(zhì)則有下列性質(zhì): 11 (1) ();AA 111 (2) ()(0);kAkAk 111 (3) ();ABBA T11 T (4) ()() ;AA 11 1 (5) ()(). | AAA A (5)的證明的證明 111 |()()AA A 1 |AA 1111 ()|()AAA 11111 ()()()BAB BAAAAAEB 1 |AA (3)的證明的證明 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返