二次量子化方法[行業(yè)相關(guān)]

1、場(chǎng)的量子化方法 1技術(shù)教學(xué) o 使力學(xué)量變成算符的量子化手續(xù)稱為一次量 子化，使波場(chǎng)量子化手續(xù)稱為二次量子化。 2技術(shù)教學(xué) 場(chǎng)的拉氏形式和哈密頓形式 22 11 ( ,) tt tt SLdtdtdx 場(chǎng)的作用量 ( , )x t 描寫場(chǎng)的變換分為隨時(shí)間變化的廣義速度 和隨空間變化的梯 度 ，進(jìn)而引入了拉格朗日密度( , )x t 為了對(duì)波場(chǎng)采用量子化手續(xù)，需要建立場(chǎng)的場(chǎng)的拉氏 和哈密頓形式 。對(duì)于實(shí)數(shù)波場(chǎng)，我們通過廣義速度， 和梯度，考慮到連續(xù)，我們引入拉格朗日密度 3技術(shù)教學(xué) . 0,( , )( , )0) tt Sx tx t 根據(jù)最小作用量原理，場(chǎng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)滿足下列極值 2 1 t

2、t Sdtdx 場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)方程 對(duì)于 4技術(shù)教學(xué) 3 1 3 1 () () () i i i i i i x x tx x 2 1 3 1 () () 0 t t i i i Sdtdx tx x 將 上 式 帶 入 動(dòng) 力 學(xué) 方 程 可 得 5技術(shù)教學(xué) 3 1 ()0 () i i i tx x 由于 任意，所以上式可得出 (,)xt 我們引入廣義坐標(biāo)相聯(lián)系的廣義動(dòng)量 6技術(shù)教學(xué) 場(chǎng)的哈密頓密度 ( , , )xt 總的哈密頓量Hd x 3 1 () () i i i x x 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué) 方程 7技術(shù)教學(xué) 薛定諤波場(chǎng)的量子化 薛定諤方程 2 2 ( , )( , )( , )( , )

3、 2 x tVx tx tix t u 為經(jīng)典場(chǎng)的波動(dòng)方程，但它是一個(gè)復(fù)數(shù)場(chǎng)，所以又存在 2 2 2 Vi u 這里將外勢(shì)場(chǎng)視為實(shí)數(shù)場(chǎng) 8技術(shù)教學(xué) 拉氏密度 2 22 2 , ,0 , ()2()2 iiii iV u ViV i xuxxux 拉氏密度需要將它代入拉式方程中得到上面的薛定諤方程 9技術(shù)教學(xué) 2 2 ( , )( , )( , ) ( , ) 0 2 ixtxtV xtxt u 2 2 0 2 Vi u 對(duì)于 對(duì)于 找到拉式密度，得出相應(yīng)的正則動(dòng)量和哈密頓量 10技術(shù)教學(xué) ( , )x ti 2 2 V u 2 2 () 2 HdxdxV u ( , )0 x t 哈密頓密度

4、總哈密頓量 正則動(dòng)量 11技術(shù)教學(xué) 薛定諤波場(chǎng)的量子化 采用正則量子化的方法對(duì)薛定諤波場(chǎng)進(jìn)行量子化 其中要求廣義坐標(biāo)和正則動(dòng)量滿足下面對(duì)易關(guān)系 , , , (, ),(, )0 (, ),(, )0 (, ),(, )() x txt x txt x txtixx 12技術(shù)教學(xué) , , , (,),(,)0 (,),(,)0 (,),(,)() x txt x txt x txtxx (,)xti 利用正則動(dòng)量公式 可將上面對(duì)易關(guān)系轉(zhuǎn)換為 13技術(shù)教學(xué) 由于場(chǎng)量 已轉(zhuǎn)換為算符，所以總的哈密頓量也變成了算符 2 2 () 2 ( ) HdxV u dxHx 算符是來源場(chǎng)量 和 的算符性，所以是二

5、次量子化 的算符。 H 14技術(shù)教學(xué) 轉(zhuǎn)化到粒子數(shù)表象 (,)()() (,)()() a a a aa a xtbtx xtbtx 為了引入粒子數(shù)表象，我們?nèi)×苏煌耆瘮?shù)集，將場(chǎng)算符展開 1 ( )( ) ik x ak xxe 可取一次量子化理論中一單粒子力學(xué)量算符的 本證函數(shù)集 ( ) a x 15技術(shù)教學(xué) ( )( , )( ) ( )( , )( ) a a aa xx t dxbt xx t dxbt ( )( ) a xx dx 利用的正交歸一性 可得算符展開式是逆變換關(guān)系 16技術(shù)教學(xué) () ,()0 () ,()0 () ,() a a aa btbt btbt btbt

6、利用變換關(guān)系和算符對(duì)易關(guān)系得出 17技術(shù)教學(xué) 量子化波場(chǎng)的哈密頓算符公式 2 2 2 2 () 2 ( )()( ) 2 a HdxV u b bdxxVx u 2 2 ( )()( ) 2 aHb b H HdxxVx u 其中 18技術(shù)教學(xué) 二次量子化中的力學(xué)量二次量子化中的力學(xué)量 一次量子化理論中概率密度和粒子數(shù)密度，以及所有力學(xué)量 的平均值都變成了算符，這種算符就是二次量子化中的力學(xué)量。 , ( )( ) ( )( ) () ( )xxxdxxx xx 概率密度和粒子數(shù)密度 , ( )( ) ( )( ) () ( )xxxdxxx xx 二次量子化中它變成了算符 19技術(shù)教學(xué) ( )

7、( ) a xb bx 在粒子數(shù)表象中可表示為 , ( )( ) ()( )( )( ) aa xdxxx xxxx 注： () a nx dxbb 總 概 率 20技術(shù)教學(xué) 粒子數(shù)密度期望 ( )( ) ( ) a xxx bb ( )00 0 ()() 0 iai iiii xb b b b b bb b 假設(shè)0 a b 21技術(shù)教學(xué) ( )0 0( )( )( )( ) iiiiii xxxxx 00b 因?yàn)?和 化簡(jiǎn)上式 00b 22技術(shù)教學(xué) 坐標(biāo)算符 二次量子化中的算符是由量子力學(xué)中的坐標(biāo)算符平均值轉(zhuǎn)換而來 , ( )( )xdxx xx a xb b x 粒子數(shù)表象 , ( )()

8、xdxx xx 其中 23技術(shù)教學(xué) 0 a b 計(jì)算只有一個(gè)態(tài)指標(biāo)i的坐標(biāo)期望 00 ( )( ) a iiii ii xb b b bxx dxx xx 和量子力學(xué)中結(jié)果相同 24技術(shù)教學(xué) ( )( ) a Vdxx xxb b V 外場(chǎng)中粒子化波場(chǎng)中的勢(shì)能算符 ( )( )Vdxx Vx 其中矩陣元 25技術(shù)教學(xué) 動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程 二次量子化中的力學(xué)量是通過場(chǎng)算符來構(gòu)造的，如果一次量子化中采用薛定諤繪景， 那么二次量子化采用海森堡繪景 1 ( ), F F tH ti ( , )1 ( , ), ( ) xt xt H t ti 以算符是運(yùn)動(dòng)方 程為例 26技術(shù)教學(xué) 2 2 ( )( )( )( ) ( )=(,) 2 H tdxt H xt H xV x t u 量子場(chǎng)的哈密頓算符 其中（） , , ( , ),(, )()(, ) ()()(, ) idxx tx tH xx t t dxxx H xx t 將哈密頓算符帶入運(yùn)動(dòng)方程中 27技術(shù)教學(xué)