利用數(shù)軸探討一類最小值的求法

1、精品文檔利用數(shù)軸探討一類最小值的求法我們知道，在數(shù)軸上若兩定點(diǎn) A、B 分別表示數(shù) a、b，則 A、B 之間存在點(diǎn) P（設(shè)它表示的數(shù)為 x ，bxa ），使得它到兩個(gè)定點(diǎn) A、B 的距離之和最小，這個(gè)最小值為 AB|x a|+|x b| |a b| (b xa)（如圖 1 所示）那么，在數(shù)軸上到三個(gè)定點(diǎn) A、B、C 的距離之和最小的點(diǎn)是否存在呢？若存在， 這點(diǎn)又在何處？如圖 2 所示，假設(shè)這點(diǎn)（ P）就在 B 處（即 |PB| 0），則有 PA+PB+PCPA+0+PCAC，而當(dāng) P 點(diǎn)不在點(diǎn) B 處時(shí)，顯。1歡迎下載精品文檔然都有 PA+PB+PCAC，假設(shè)是成立的所以在數(shù)軸上到三個(gè)定點(diǎn) A

2、、B、C的距離之和最小的點(diǎn)就在中間那個(gè)點(diǎn) (B 點(diǎn) ) 處，且最小值為 AC的長現(xiàn)在我們繼續(xù)探討：數(shù)軸上四個(gè)定點(diǎn) A、B、C、 D 的情形，如圖 3 所示，當(dāng) P 在 BC之間（含點(diǎn) B、C）時(shí)，PA+PB+PC+PDBC+AD；當(dāng) P 在 AB之間（不含點(diǎn) B）或在 CD之間（不含點(diǎn) C）時(shí)，如圖 4 所示， PA+PB+PC+PD2PB+BC+AD BC+AD 或PA+PB+PC+PD2PC+BC+ADBC+AD；。2歡迎下載精品文檔當(dāng) P 點(diǎn)在點(diǎn) A 左邊或點(diǎn) D 右邊時(shí)， |PA|+|PB|+|PC|+|PD| 的值將會(huì)更大于是，我們可以肯定的說，數(shù)軸上到四個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)一定

3、在中間那兩個(gè)點(diǎn)之間（含兩個(gè)端點(diǎn)），且最小值為|BC|+|AD| 我們還類似的可以得出： 數(shù)軸上到五個(gè)定點(diǎn) A、E、B、C、D的距離之和最小的點(diǎn) P，就在它們當(dāng)中中間的一個(gè)點(diǎn) B 處( 如圖 5 所示 ) 依此類推。3歡迎下載精品文檔于是，我們得如下結(jié)論：設(shè)數(shù)軸上有 n 個(gè)定點(diǎn)，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，到這 n 個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)在第 +1 個(gè)點(diǎn)之間（含兩個(gè)端點(diǎn)）；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，到這 n 個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)在第個(gè)點(diǎn)處這個(gè)結(jié)論的應(yīng)用很廣，現(xiàn)舉兩例：例 1 求 |x 1|+|x 2|+|x 3|+ +|x 2008| 的最小值析解：設(shè)數(shù)軸上有 2008 個(gè)點(diǎn)分別表示連續(xù)整數(shù) 1、2、3、

4、、2008，點(diǎn) P 表示數(shù) x，。4歡迎下載精品文檔則本題就是在數(shù)軸上求點(diǎn)P 到這 2008 個(gè)整點(diǎn)的距離之和的最小值因此，必須求出P點(diǎn)表示的數(shù)是多少？即點(diǎn)P 的位置因?yàn)?008 是偶數(shù)，由上面結(jié)論知，點(diǎn)P 所表示的數(shù) x 應(yīng)是中間兩個(gè)點(diǎn)之間的任何一點(diǎn)表示的數(shù)，我們不妨取右端點(diǎn)的數(shù)x1005，得原式的最小值為：|1005 1|+|1005 2|+|1005 3|+|1005 2009| |1004|+|1003|+|1002|+|2|+|1|+|0|+| 1|+| 2|+| 3|+| 1004| 2（ 1+2+3+ 1004）（ 1+1004） 10041009020。5歡迎下載精品文檔例 2

5、 某城鎮(zhèn)沿環(huán)形路有五所小學(xué)，依次為一小、二小、三小、四小、五小，它們分別有電腦 15、7、11、3、14 臺(tái)，現(xiàn)在為使各校電腦臺(tái)數(shù)相等， 各調(diào)幾臺(tái)給鄰校： 一小給二小，二小給三小， 三小給四小， 四小給五小，五小給一小，若甲小給乙小 3 臺(tái)，即為乙小給甲小 3 臺(tái)，要使電腦移動(dòng)的總臺(tái)數(shù)最小，應(yīng)作怎樣安排？析解：如圖，用 A、B、C、D、E 分別表示這五所小學(xué)的位置，并設(shè) A向 B調(diào) 臺(tái)電腦， B 向 C調(diào) 臺(tái)電腦， ，E 向 A 調(diào) 臺(tái)電腦，依題意有： 7+ 11+ 3+ 14+ 15+ 505 10，所以，。6歡迎下載精品文檔3，2，9，5，設(shè)調(diào)動(dòng)的電腦的總臺(tái)數(shù)為y, 則 y| |+| 3|+| 2|+| 9|+| 5| ，這樣，這個(gè)實(shí)際問題就轉(zhuǎn)化為求 y 的最小值問題，仿例 1 的分析，并由上面所得結(jié)論知：當(dāng) 3 時(shí)， y 的最小值為 |3|+|3 3|+|3 2|+|3 9|+|3 5| 12，即調(diào)動(dòng)的總臺(tái)數(shù)為 12因?yàn)?