極小曲面淺談

1、 極小曲面淺談 葉左 1253694在數(shù)學(xué)中，極小曲面是指平均曲率為零的曲面。舉例來(lái)說(shuō)，滿(mǎn)足某些約束條件的面積最小的曲面。 物理學(xué)中，由最小化面積而得到的極小曲面的實(shí)例可以是沾了肥皂液后吹出的肥皂泡。肥皂泡的極薄的表面薄膜稱(chēng)為皂液膜，這是滿(mǎn)足周邊空氣條件和肥皂泡吹制器形狀的表面積最小的表面。平均曲率定義為：令 p是曲面s上一點(diǎn)，考慮s上過(guò)p的所有曲線(xiàn)ci。每條這樣的ci在p點(diǎn)有一個(gè)伴隨的曲率ki。在這些曲率ki中，至少有一個(gè)極大值k1與極小值k2，這兩個(gè)曲率稱(chēng)為s的主曲率。p的平均曲率是兩個(gè)主曲率的平均值，由歐拉公式其實(shí)也是所有曲率的平均值故有此名。h=(k1+k2)/2.而極小曲面是指每一點(diǎn)

2、上的平均曲率都是0的曲面。這種曲面的研究始于有關(guān)滿(mǎn)足一定的約束條件（比如邊界固定或容納體積滿(mǎn)足一定條件）下表面積最小的曲面，因此被稱(chēng)為“極小曲面”。實(shí)際上極小曲面所囊括的內(nèi)涵比此類(lèi)最小面積曲面更廣泛。極小曲面的定義還可以擴(kuò)展到恒定平均曲率曲面，即曲面上由平均曲率等于某個(gè)常數(shù)的點(diǎn)組成的子曲面。當(dāng)這個(gè)常數(shù)等于零的時(shí)候， 恒定平均曲率曲面就是極小曲面。 極小曲面是平均曲率流的臨界點(diǎn)。極小曲面的經(jīng)典例子包括：1).歐幾里得平面，無(wú)特別約束條件下最平常的極小曲面；2).懸鏈面：由懸鏈線(xiàn)圍繞其水平準(zhǔn)線(xiàn)旋轉(zhuǎn)而得到的曲面。這是最早發(fā)現(xiàn)的“不尋常”的極小曲面。3).正螺面：一個(gè)線(xiàn)段沿著垂直于其中點(diǎn)的直線(xiàn)勻速螺旋

3、上升時(shí)掃過(guò)的曲面。這是繼懸鏈曲面后發(fā)現(xiàn)的第二種不尋常的極小曲面；4).enneper曲面。4).scheck曲面；5).costahoffmanmeeks曲面。懸鏈面 懸鏈曲面狀的皂液膜可以由將兩個(gè)等大的圓環(huán)緊貼放入肥皂水中，拿出后再緩慢分開(kāi)得到.方程：z=cosh-1. 正螺面 就是讓一條直線(xiàn)l的初始位置與x軸重合，然后讓直線(xiàn)l一邊繞z軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一邊沿z軸方向作勻速運(yùn)動(dòng)，則直線(xiàn)在這兩種運(yùn)動(dòng)的合成下掃出的曲面就是正螺旋面，它的方程為:z=arctan(y/x).顯然正螺旋面可以看做是由直線(xiàn)形成的，即它是一個(gè)直紋面costa面在三維歐氏空間e3中，若一張曲面可用方程z=z(x,y)來(lái)表示，則

4、稱(chēng)它為圖，或非參數(shù)化曲面。由極小條件h=0,e3中極小圖的z(x,y)滿(mǎn)足下述二階非線(xiàn)性橢圓型微分方程：通常稱(chēng)它為極小曲面方程。 歷史上極小曲面的發(fā)展是環(huán)繞普拉托問(wèn)題注而展開(kāi)的，這實(shí)質(zhì)上是一個(gè)非線(xiàn)性的橢圓型邊值問(wèn)題。早在19301931年，t.拉多和j.道格拉斯就各自獨(dú)立地在廣義解的范圍內(nèi)解決了這個(gè)問(wèn)題,他們得到如下的存在性定理:給定任一可求長(zhǎng)的空間若爾當(dāng)閉曲線(xiàn)，總存在一張以為邊界的廣義極小曲面。這里可能有孤立的分支點(diǎn)，在分支點(diǎn)處曲面不是浸入。直到1970年，r.奧斯曼才證明了拉多和道格拉斯的解是處處內(nèi)部正則的，即不會(huì)有分支點(diǎn)。后來(lái)丘成桐等又解決了何時(shí)浸入化為嵌入的問(wèn)題。除了這類(lèi)存在性問(wèn)題外，

5、還有不少屬于惟一性方面的問(wèn)題，其中最著名的是伯恩斯坦定理：e3中完備的極小圖必是平面。 正如用導(dǎo)數(shù)來(lái)確定函數(shù)的極值一樣，面積泛函的第一變分為零只是面積最小的必要條件，要進(jìn)一步確定最小面積的曲面，還必須考慮第二變分。在任何法向變分下，使面積泛函的第二變分恒非負(fù)的極小曲面稱(chēng)為穩(wěn)定極小曲面。e3中極小圖是穩(wěn)定的。因此，從伯恩斯坦定理自然產(chǎn)生這樣的猜想：e3中完備的穩(wěn)定極小曲面是平面。這個(gè)命題已被d.菲舍爾-科爾布里和 r.舍恩所證明，稍后，m.杜卡莫和彭家貴一起也獨(dú)立地予以證明。對(duì)于伯恩斯坦定理在高維空間的推廣，人們很早就提出這樣的問(wèn)題：設(shè)是en的完備極小超曲面,那么函數(shù)z(x1,x2,xn)是否必

6、是線(xiàn)性的？1965年，e.迪喬吉證明n=3是對(duì)的；1966年,f.j.阿姆格倫證明n=4也是對(duì)的。1967年，j.西蒙斯證明當(dāng) n7時(shí)，都是對(duì)的。出乎意料的是，e.邦別里、e.迪喬吉和e.朱斯蒂在1968年聯(lián)合證得,n=8時(shí)，就是不對(duì)的。因此，這是一個(gè)十分有趣的問(wèn)題。關(guān)于極小曲面及其在高維流形的推廣，陳省身、項(xiàng)武義、丘成桐等都作出了重要貢獻(xiàn)。在建筑學(xué)上的應(yīng)用 1.慕尼黑奧運(yùn)會(huì)田徑場(chǎng)2.張拉膜注：著名的普拉托實(shí)驗(yàn)是把圍成封閉曲線(xiàn)的金屬絲放入肥皂溶液中，然后取出來(lái)，由于表面張力的作用，在它上面就蒙有表面積最小的薄膜。這種表面積最小的曲面就是所謂極小曲面，從數(shù)學(xué)上求這膜曲面的問(wèn)題稱(chēng)為普拉托問(wèn)題。x4+y4=z4無(wú)正整數(shù)解之證明2013-01-18 02:42:02|分類(lèi)： 代數(shù)學(xué) |標(biāo)簽：正整數(shù)解 |字號(hào)訂閱（1）只需證明x4+y4=z2無(wú)正整數(shù)解：假設(shè)有正整數(shù)解，則z存在最小解；（2）x、y、z兩兩互質(zhì)：z為偶數(shù)，無(wú)解；令y為偶數(shù)；（3）x4=z2-y4=(z+y2)(z-y2)，且(z+y2，z-y2)=1，設(shè)z+y2=u4、z-y2=v4，y2=(1/2)(u2+v2)(u2-v2)；（4）因(1/2)(u2+v2)與u2-v2互質(zhì)，同理可設(shè)：(1/2)(u2+v2)=s2、u