平面基本性質(zhì)2

1、平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)2 平面的基本性質(zhì)：平面的基本性質(zhì)： 公理公理1 1 如果一條直線的如果一條直線的兩點(diǎn)兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，在一個(gè)平面內(nèi)， 那么這條直線上那么這條直線上所有點(diǎn)所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)都在這個(gè)平面內(nèi). . A B A A B B ABAB公理公理1 1的的符號(hào)表示符號(hào)表示: : 應(yīng)用：判定直線在平面內(nèi)；判定點(diǎn)在平面內(nèi)。應(yīng)用：判定直線在平面內(nèi)；判定點(diǎn)在平面內(nèi)。 公理公理2 如果兩個(gè)平面有如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)，那么，那么 它們還有其它的公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合它們還有其它的公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合 是是一條直線一條直線(兩平面不重合兩平面不重合). l l . .

2、P P l lP Pl l P P 且且 平面的基本性質(zhì)：平面的基本性質(zhì)： 公理公理2 2的的符號(hào)表示符號(hào)表示: : P P 應(yīng)用：應(yīng)用： 判定兩相交平面的相交（確定兩平面交線位置）；判定兩相交平面的相交（確定兩平面交線位置）； 判定點(diǎn)在直線上。判定點(diǎn)在直線上。 用手指頭將一本書平衡地?cái)[方在用手指頭將一本書平衡地?cái)[方在 空間某一位置，至少需要幾個(gè)手指空間某一位置，至少需要幾個(gè)手指 頭？頭？ 這些手指需要滿足什么條件？這些手指需要滿足什么條件？ 公理公理3.3.過(guò)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面. . AC B 公理公理3 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)不在同一條直線上不

3、在同一條直線上的三的三 點(diǎn)點(diǎn)有且只有一個(gè)有且只有一個(gè)平面平面. A B C 平面的基本性質(zhì)：平面的基本性質(zhì)： 線不不共共A,B,C A,B,C A,B,C A,B,C 與與重重合合 A,B,C A,B,C 應(yīng)用：確定平面；證明兩個(gè)平面重合。應(yīng)用：確定平面；證明兩個(gè)平面重合。 公理公理3 3的的符號(hào)表示符號(hào)表示: : 【想一想】 為什么用兩個(gè)合頁(yè)和一把鎖就可以固 定一扇門，有的自行車旁只安裝一只 撐腳呢？ 因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面. 答：答： ABC【例1】已知：在平面 外，ABP， ACR，BCQ 求證：P，Q，R三點(diǎn)共線. 證明： ABP PABP，平

4、面 PABC點(diǎn) 為平面與平面 的公共點(diǎn) （公理2） 同理可證：QRABC， 也在平面與平面 的公共點(diǎn) . PQRABC PQR ， ， 都在平面與平面 的交線上 即 ， ， 三點(diǎn)共線 要要證明空間多點(diǎn)共線，通常證明這些點(diǎn)同時(shí)落在兩個(gè)相證明空間多點(diǎn)共線，通常證明這些點(diǎn)同時(shí)落在兩個(gè)相 交平面內(nèi)，則落在它們的交線上交平面內(nèi)，則落在它們的交線上. . A B C P R Q AB 又平面ABC P平面ABC 【例2】p11 例3 例例3 3如圖，在長(zhǎng)方體如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，中，P為棱為棱BB1的中點(diǎn)，畫出由的中點(diǎn)，畫出由A1， C1，P三點(diǎn)所確定的平面三點(diǎn)所確定的平面 與長(zhǎng)方體表

5、面的交線與長(zhǎng)方體表面的交線 D B B1 A A1 D1 C C1 P 因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P既在平面既在平面 內(nèi)又在平面內(nèi)又在平面AB1內(nèi)，內(nèi)， 所以點(diǎn)所以點(diǎn)P在平面在平面 與平面與平面AB1的交線上的交線上 同理點(diǎn)同理點(diǎn)A1在平面在平面 與平面與平面AB1的交線上的交線上 因此，因此，PA1就是平面就是平面 與平面與平面AB1的交線的交線 同理，連結(jié)同理，連結(jié)PC1，A1C1，它們都是，它們都是 平面平面 與長(zhǎng)方體表面交線的一部分與長(zhǎng)方體表面交線的一部分 與底面與底面ABCD交線？交線？ P D A C C1 A1 B1 D1 B P11 例2 【例例4】如圖，直線如圖，直線AB、BC、CA兩兩相

6、交，交兩兩相交，交 點(diǎn)分別為點(diǎn)分別為A、B、C，證明三條直線共面，證明三條直線共面. A BC A、B、C三點(diǎn)不在一條直線上三點(diǎn)不在一條直線上 證明：證明： 過(guò)過(guò)A、B、C三點(diǎn)可以確定平面三點(diǎn)可以確定平面 A , B AB (公理公理1) 同理同理BC , AC AB、AC、BC共面共面 公理公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 平面的基本性質(zhì)的三種語(yǔ)言描述：平面的基本性質(zhì)的三種語(yǔ)言描述： 公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直 線線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)上所有的點(diǎn)都

7、在這個(gè)平面內(nèi). A AB B 直線 B B A A P lPl P 且 , , , A B C ABC 三點(diǎn)不共線 有且只有一個(gè)平面 ，使 公理公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，點(diǎn)， 這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線 符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言： 符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言： 符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言： 由公理由公理3 3，不共線的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，那么，不共線的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，那么: : 問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 一條直線和這條直線外一點(diǎn)能否確定一個(gè)平面呢？一條直線和這條直線外一點(diǎn)能否確定

8、一個(gè)平面呢？ 兩條相交直線呢？?jī)蓷l相交直線呢？ 兩條平行直線呢？?jī)蓷l平行直線呢？ 老式自行車后輪旁安裝撐腳老式自行車后輪旁安裝撐腳 和現(xiàn)代自行車區(qū)別？和現(xiàn)代自行車區(qū)別？ 推論推論1.1.一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 a A B C . Aa Aa 直線有且只有一個(gè)平面 ， 使得， 數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示: .有且只有一個(gè)平面和點(diǎn)求證：過(guò)直線 ，已知：直線 Al lAl lACBl，、上任取兩點(diǎn)在 . CB且 BC得直線由公理1 .l即 .有一個(gè)平面和點(diǎn)過(guò)直線Al lClB 且又 .CBAAl、的平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)任何經(jīng)過(guò)直線 的平面只有一個(gè)

9、，、，經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)再根據(jù)公理CBA3 .的平面只有一個(gè)和點(diǎn)過(guò)直線Al .綜上，命題成立 有一個(gè)平面、，經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)根據(jù)公理CBA3 證明： 【例例1】如圖，直線如圖，直線AB、BC、CA兩兩相交，交兩兩相交，交 點(diǎn)分別為點(diǎn)分別為A、B、C，判斷這三條直線是否共面，判斷這三條直線是否共面 ，并說(shuō)明證明，并說(shuō)明證明. A BC 證法證法2: A 直線直線BC 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A和直線和直線BC確定平面確定平面 A , BBC B ,AB 同理同理AC AB、AC、BC共面共面 證明： 同理： 即直線AD、BD、CD共面 Dl 直線 l 與點(diǎn) D 可以確定一個(gè)平面（推論） 又Al A Dl且 ,BD

10、CD 直線 AD、BD、CD 在同一個(gè)平面 內(nèi) 【例1變式】已知： 求證：直線 AD、BD、CD 共面. ,Al Bl Cl Dl A D（公理） 例1變式、 如圖所示，已知直線a,b,c,d都與直 線l相交，且都經(jīng)過(guò)l外的一點(diǎn)， 求證:直線a,b,c,d共面 p a b cd l ABCD 推論2.經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有有且只有一個(gè)平面。 C a b 數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示: . abC ab 直線有且只有一個(gè)平面 ， 使得， . . 有且只有一個(gè)平面，求證：過(guò)直線 已知： ba Pba 證明：bBaA ，取)(PBA不同于、 有一個(gè)平面、，經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)根據(jù)公理PBA3 . PBA

11、，由根據(jù)公理1ab且 .的平面、是經(jīng)過(guò)即平面ba ，、的平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)、經(jīng)過(guò)直線又PBAba 的平面只有一個(gè)，、，經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)根據(jù)公理PBA3 .的平面只有一個(gè)、過(guò)直線ba .有且只有一個(gè)平面，綜上：過(guò)直線ba a b P . A . B ab 【例例2】如圖，直線如圖，直線AB、BC、CA兩兩相交，交兩兩相交，交 點(diǎn)分別為點(diǎn)分別為A、B、C，判斷這三條直線是否共面，判斷這三條直線是否共面 ，并說(shuō)明證明，并說(shuō)明證明. A BC 證法證法3: ABAC=A 直線直線AB、AC確定一個(gè)平面確定一個(gè)平面 BAB ,CAC ,C BBC (推論推論2) (公理公理1) 直線直線AB、BC、CA都在

12、平面都在平面 內(nèi) 內(nèi) 即它們共面即它們共面 獨(dú)木舟旁加一根木頭可以增加穩(wěn)定性（雙體船）獨(dú)木舟旁加一根木頭可以增加穩(wěn)定性（雙體船） 推論推論3.3.經(jīng)過(guò)兩條平行直線，經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有有且只有一個(gè)平面。一個(gè)平面。 AC B a b 數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示: / . ab ab 直線有且只有一個(gè)平面 ， 使得， a b a b 證明： ，ba/ 由平行線的定義知.在同一平面內(nèi)、 ba 有一個(gè)平面、即過(guò)直線ba. . A ，任取aA，則bA.bA，且 ，的推論根據(jù)公理13 .的平面只有一個(gè)和直線過(guò)點(diǎn)bA .的平面只有一個(gè)、過(guò)直線ba .有且只有一個(gè)平面，綜上：過(guò)直線ba . ./ 有且只有

13、一個(gè)平面，求證：過(guò)直線 已知： ba ba 例3已知ab，laA，lbB，求 證：a，b，l三條直線共面 變變:已知ab c，laA，lb B， lcC求證：a，b，c, l 四條 直線共面 練習(xí)： 1判斷下列命題是否正確 如果一條直線與兩條直線都相交，那么這 三條直線確定一個(gè)平面. 經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的兩條直線確定一個(gè)平面 經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面 平面和平面交于不共線的三點(diǎn)A，B，C. 2下列命題中，有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面下列命題中，有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面 重合；梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)；重合；梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)； 三條互相平行的直線必共面；兩組對(duì)邊分三條互相平行的直線必共面；兩組對(duì)邊分 別相等的四邊形是平行四邊形其中正確命別相等的四邊形是平行四邊形其中正確命 題個(gè)數(shù)是題個(gè)數(shù)是_ 3直線直線l1l2，在，在l1上取三點(diǎn)，在上取三點(diǎn)，在l2上取兩點(diǎn)，上取兩點(diǎn)， 由這五個(gè)點(diǎn)能確由這五個(gè)點(diǎn)能確_個(gè)平面?zhèn)€平面 推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 推論推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面 推論推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面 公理公理3：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面