巡游電子的磁性理論P(yáng)PT課件

1、第十一章第十一章 強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系 11 巡游電子的磁性理論巡游電子的磁性理論 的磁化率 c TT 斯通納理論斯通納理論 赫伯德模型赫伯德模型 分子場(chǎng)分子場(chǎng) 斯通納判據(jù)斯通納判據(jù) 自發(fā)磁化自發(fā)磁化 斯通納表述斯通納表述 在第三章中我們已經(jīng)證明，對(duì)于絕緣磁性材料產(chǎn)生磁性的局域電子在各 原子周圍形成局域自旋矩，它們之間的交換作用由海森伯模型描述。但是，但是， 在過(guò)渡金屬中產(chǎn)生磁性的在過(guò)渡金屬中產(chǎn)生磁性的d電子不是局域電子，它們依次在各原子的電子不是局域電子，它們依次在各原子的d軌道上軌道上 游移游移，布洛赫稱之為巡游電子（itinerant electron）,實(shí)際上就是公有化的能帶

2、電子的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，從赫伯德模型入手建立巡游電子的磁性理論。根據(jù)式 （11.1.13），有外磁場(chǎng)h時(shí)的赫伯德哈密頓量為 hEE nnUnEH Bkk l l l k kk , kkk CCn lll CCn （11.11.1） 我們將證明赫伯德哈密頓量的平均場(chǎng)近似（或哈特利平均場(chǎng)近似（或哈特利-?？私疲┚褪撬雇ǜ？私疲┚褪撬雇?納（納（Stoner）的能帶磁性模型。）的能帶磁性模型。若作無(wú)規(guī)相近似，則求得金屬中的自旋波無(wú)規(guī)相近似，則求得金屬中的自旋波 激發(fā)。激發(fā)。 斯通納理論斯通納理論 對(duì)H中的庫(kù)侖項(xiàng)作哈特利-?？私?llllllll nnnnnnnn （11.11.2） 略去等式右邊的常數(shù)

3、項(xiàng)并代入（11.11.1），求得哈特利-?？私频暮詹?哈密頓量 ll l l k kkk CCnUCCEH , （11.11.3） 在均勻情況下 應(yīng)與格點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，這時(shí)可設(shè) l nn （11.11.4） 再利用表象變換關(guān)系 k kk l ll CCCC （11.11.5） 將式（11.11.3）寫成對(duì)角形式 , k kkk CCEH （11.11.6） 其中 nUhEnUEE Bkkk （11.11.7） l n 代表巡游電子的能量。即使在外磁場(chǎng)h=0時(shí)，由于由于 項(xiàng)的存在，項(xiàng)的存在， 仍與自仍與自 旋取向有關(guān)旋取向有關(guān)。這時(shí)能帶按自旋取向分裂，導(dǎo)致能帶分裂的原因是由于反平行自旋 電子之間

4、的庫(kù)侖排斥作用。不難證明， 項(xiàng)將給出一個(gè)與磁化強(qiáng)度M成正比 的分子場(chǎng)。 （i）分子場(chǎng)）分子場(chǎng) 令 nnm nnn （11.11.8） 其中n為平均每個(gè)元胞中的巡游電子數(shù)，m代表相對(duì)磁化。當(dāng)元胞數(shù)為N、樣品 取單位體積時(shí)，磁化強(qiáng)度 mNM B （11.11.9） 利用式（11.11.8），求得 )( 2 1 )( 2 1 B N M nmnn ) 1(（11.11.10） nU k E nU 因此，式（11.11.7）寫為 ) 2 () 2 1 ( 2 M N U hnUEE B Bkk （11.11.11） 上式表明，對(duì)赫伯德模型作HF近似可求出一個(gè)與M成正比的分子場(chǎng) （11.11.12） M

5、 N U h B M 2 2 這就是斯通納能帶模型的出發(fā)點(diǎn)。當(dāng)h=0時(shí)若求得 ，則系統(tǒng) 具有自發(fā)磁化，代表鐵磁相。這時(shí)巡游電子在同一格點(diǎn)上得庫(kù)侖作用使能 帶按自旋取向分裂，產(chǎn)生自旋朝上與向下電子數(shù)的不平衡，從而形成鐵磁 相,其、自旋的能帶劈裂為 2)() (nnUEE kk 這里 應(yīng)自洽決定，而 由于在哈特利-?？私葡鹿茴D量已寫成獨(dú)立電子系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)角化形 式，根據(jù)式（11.11.6），巡游電子在布洛赫態(tài) 上的占據(jù)數(shù)為 kkkk EfCCn （11.11.13） nn n MBh ),(K 其中 是費(fèi)米分布函數(shù)是費(fèi)米分布函數(shù)，適當(dāng)選取能量的原點(diǎn)可消去式（11.11.11）中常數(shù)項(xiàng) 1/2n

6、U,將 寫成 hE M N U hEE Bk B Bkk ) 2 ( 2 （11.11.14） 利用平移對(duì)稱性，從式（11.11.14）可得 k k k k l ll Ef N n N n N nn ) ( 1 11 （11.11.15） 代入式（11.11.9），求得磁化強(qiáng)度為 k kk B B EfEf nnNTM ) () ( )()( （11.11.16） 當(dāng)h=0時(shí)，由上式可確定自發(fā)磁化與溫度的關(guān)系。當(dāng)由上式可確定自發(fā)磁化與溫度的關(guān)系。當(dāng)h=0時(shí)，由此可以時(shí)，由此可以導(dǎo)出巡游導(dǎo)出巡游 電子系統(tǒng)形成鐵磁相電子系統(tǒng)形成鐵磁相的條件。的條件。 f k E （ii）斯通納判據(jù)）斯通納判據(jù) 討

7、論巡游電子系統(tǒng)中順磁（PM）相的失穩(wěn)條件，可以確定形成鐵磁相的判 據(jù)。設(shè)h=0時(shí)系統(tǒng)處于順磁相，有 解。由于Mh，當(dāng)弱磁場(chǎng)h 作用時(shí)可以在式（11.11.16）中將 按h展開，求得 dEE E Ef M N U hTM B BB )( )( )2)( 0 （11.11.17） 其中 為能帶的態(tài)密度。對(duì)于自由電子氣體，取U=0，得到 hTTM p )()( （11.11.18） 其中 dEE E f T Bp 0 2 2)( 代表自由電子氣體的泡利磁化率。當(dāng)U=0時(shí)，對(duì)于巡游電子 hTh T N U T TM Bp p )( 4)(21 )( 0 2 （11.11.19） nn ) ( k Ef

8、 )(E 由此得到順磁相的靜態(tài)磁化率為 N U TT2)()( 1 0 1 0 （11.11.20） 這里取 為磁化率的單位。 當(dāng) 時(shí)順磁相失穩(wěn)，形成鐵磁相。因此，根據(jù)式（11.11.20），鐵鐵 磁磁序的穩(wěn)定條件磁磁序的穩(wěn)定條件為 1)()(2T N U P （11.11.21） 當(dāng)T=0K時(shí)，由于 ，因此以 為單位的泡利磁化率： FFP EdEEEET 2 1 )( 2 1 )0( （11.11.22） 由式（11.11.21），求得零溫度時(shí)形成鐵磁序的條件零溫度時(shí)形成鐵磁序的條件為 1)( F ENU 2 4 B 0)( 1 0 T )( F EE E f 2 4 B 這就是鐵磁相的斯通

9、納判據(jù)。鐵磁相與順磁相轉(zhuǎn)變的相界由條件 0 1 0 （11.11.23） 決定。例如從 ，可確定轉(zhuǎn)變的居里溫度 。 （iii） 的磁化率的磁化率 對(duì)于鐵磁金屬，當(dāng) 時(shí)實(shí)驗(yàn)上觀察到磁化率滿足居里-外斯（Curie- Weiss）定律 C TT C T )( 0 （11.11.24） 我們將證明斯通納的巡游電子理論不能解釋這個(gè)簡(jiǎn)單規(guī)律。根據(jù)式 （11.11.20），溫度T時(shí)以 為單位的磁化率為 )(21 )( )( 0 0 TI T T P （11.11.25） 其中 N U I 0)( 1 0 C T C T C TT C TT 2 4 B 而泡利磁化率 dEE E f T P )()( 2 1

10、 )( 0 （11.11.26） 由于金屬磁體的居里溫度 K，而費(fèi)米溫度 K， 高于金屬熔點(diǎn)。因此，即使在 溫區(qū)仍然有 關(guān)系，這時(shí)可算出 上述費(fèi)米積分 2 2 )( 12 1 2 1 )( F FP T T T 它只是溫度的緩變函數(shù)。代入式（11.11.25），求得 時(shí)順磁相的靜 態(tài)磁化率 2 2 2 2 )( 12 1 )( 12 1 2 1 )( F FF F F P T T II T T T （11.11.27） 其中 代表費(fèi)米面上的態(tài)密度。順磁與鐵磁相的轉(zhuǎn)變溫度 由條件 0)( 1 0 C T （11.11.28） 32 1010 C T 54 1010/ BFF kET F T C

11、TT F TT C TT )( FF E C T 決定。從式（11.11.28）可定出 ) 1 ( 12 2 F F FC I I TT （11.11.29） 將此結(jié)果代入式（11.11.27），經(jīng)整理后得到磁化率與溫度磁化率與溫度T的定性關(guān)系的定性關(guān)系 22 2 0 )( C F TT T T （11.11.30） 顯然，這個(gè)結(jié)果與居里-外斯定律不同。因此，斯通納的巡游電子理論不能 說(shuō)明 時(shí)磁化率的居里-外斯定律。這時(shí)理論應(yīng)用于有限溫區(qū)所遇到的一 個(gè)重要困難。 （iv）自發(fā)磁化）自發(fā)磁化 令 中外磁場(chǎng)h=0，從式（11.11.8）可得自發(fā)磁化方程為 K EE K kk K KK B kk e

12、eN EfEf N nn NN TM m 1 1 1 1 1 ) () ( 1 1)( )()( （11.11.31） C TT k E 為化學(xué)勢(shì)，而）（其中, 1 TkB )( 2 1 nnUhM B 2代表與自旋能帶的劈裂。當(dāng)材料的能帶態(tài)密度為已知時(shí)，原則上式 （11.11.31）可直接求出磁化強(qiáng)度與溫度的關(guān)系。從式（11.11.31）可知，磁 化強(qiáng)度由、自旋帶中電子數(shù)之差決定。因此其零溫飽和磁化M(0)并不要求 所有電子的自旋取向一致，這時(shí)斯通納模型不同于海森伯模型的特點(diǎn)。例如 當(dāng) 時(shí)，從式（11.11.31）可求出 )()2()()(2 )0( 0FT B EdEE E f N M （

13、11.11.32） 這時(shí)平均每個(gè)元胞內(nèi)的有效波二次字?jǐn)?shù)由能帶劈裂和費(fèi)米面上態(tài)密度之成積 決定，它是一個(gè)任意數(shù)，未必等于1。由此可知，在金屬磁體中平均每個(gè)元胞 內(nèi)的零溫飽和磁化強(qiáng)度不一定是波爾磁子的整倍數(shù)，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。這是 能帶模型的成功之處。 當(dāng) 時(shí)，將產(chǎn)生從自旋帶向自旋帶的熱激發(fā)。于是在自旋帶中 產(chǎn)生電子，而在自旋帶中留下空穴。這種改變自旋的電子-空穴對(duì)激發(fā)稱為斯 通納激發(fā)。隨著溫度升高斯通納激發(fā)將使、自旋帶的分裂減小，并造成M(T) 隨T升高而下降，利用費(fèi)米積分的索末菲展開式 KT0 .)()( 6 )( 1 )( 00 2 2 )( dE d TkdEEdE e E B E 從式（1

14、1.11.31）可求出在低溫范圍內(nèi) 2 )()0(TTMMM （11.11.33） 此結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的 規(guī)律不符。這是因?yàn)樗雇{理論仍是獨(dú) 立電子模型，其中熱激發(fā)的電子和空穴時(shí)分別獨(dú)立地在平均場(chǎng)中運(yùn)動(dòng) 的。在斯通納理論中只考慮了自旋的個(gè)別激發(fā)，而忽略了自旋的集體 激發(fā)。根據(jù)第三章的討論， 時(shí)著名的布洛赫規(guī)律，它代表色散 曲線為 的自旋波激發(fā)所產(chǎn)生的磁化強(qiáng)度下降規(guī)律，這是自旋的 集體激發(fā)效應(yīng)。人們必須超出哈特利-福克近似，計(jì)及電子-空穴對(duì)的互 作用，才能求得金屬中的自旋波。 （v）斯通納表述）斯通納表述 為了便于讀者閱讀有關(guān)金屬磁性的文獻(xiàn)，我們將介紹斯通納關(guān)于 鐵磁性的表述。根據(jù)公式（11.11

15、.16），以 為單位的磁化強(qiáng)度 NmNNM 2 1 )( 2 1 （11.11.34） 2 3 TM 2 3 TM 2 Dq B 2 說(shuō)明與自旋的電子在k空間作占得相體積不同。對(duì)于球形等能面有 ，若再取順磁相 為波數(shù)的單位，構(gòu)成 的量綱為1的波數(shù)為 ，由此求得，電子的費(fèi)米 球半徑為 的磁序參量：為。斯通納引入下列量綱濃度為 平均每格點(diǎn)的電子?？紤]到總電子數(shù)在這里 仍代表相對(duì)磁化，為格點(diǎn)數(shù)，而的電子數(shù)，代表自旋取向?yàn)槠渲?1)/( , NNn NNNNnN mNN e e e NNN/ )( （11.11.35） ）有關(guān)系式對(duì)于鐵磁相（0 )1 ( 2 1 e NN)1 ( 2 1 e NN （

16、11.11.36） 3 1 )1 ( k 3 1 )1 ( k （11.11.37） 當(dāng)存在鐵磁序 時(shí)，量綱為1的半徑kk,如圖所示?；脽羝?21 在無(wú)外磁場(chǎng)時(shí)，自旋與個(gè)電子間的能帶劈裂 3 1 2max )6( Nk 3 1 )3()0( 2 eF Nk的 3 1 max )/2()/( eF NNkkk )0( Un NNNU nnU / )( )(2 （11.11.38） 利用式（11.11.14）并在球形等能面情況下取 可將 表示為 0 )()()( EfEdEEfN k k 時(shí)即可求出再利用索末飛展開式，）（其中KTEmE e 0,4/2 2 2 3 * 2 3 2 2 3 * )(

17、 6 )2( e m N 或更明確地寫成下列表示式： )()( 2 2 3 2 3 2 3 F e e E N N （11.11.39a） （11.11.39b） )()( 2 2 2 3 2 3 2 3 F E nU )2/( *2 ek mkE N 滿足和 的為為能量的單位，則量綱均取與為零溫化學(xué)勢(shì)，若再將其中 1 F E )()( 2 1 1 2 3 2 3 )()( 2 1 2 3 2 3 （11.11.40b） （11.11.40a） )( 2 1 )1 ()1( 2 1 22 3 2 3 2 kk （11.11.41） 以上表示將對(duì)自旋波頻譜的計(jì)算帶來(lái)方便。若再將式（11.11.38）也寫成量綱 為1的表示式 ,又可求得下列決定零溫鐵磁序參量 的自洽方 程： )2/( F EnU )()1 ()1( 2 1 )2/( 3 2 3 2 REnU F （11.11.42） 其中 由等式左邊的 直線與等式右邊的 曲線之交點(diǎn)決 定， ，由于 曲線之斜率在 分別為（2/3）與 ，可求得3中不同的解：順磁解 不完全 的鐵磁解（0 0） 的條件為 。再