信息與計(jì)算科學(xué)-凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用論文

1、凸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用摘要 凸函數(shù)的性質(zhì)在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究和實(shí)際應(yīng)用里具有極為重要的意義.但是對(duì)于大多數(shù)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)生來(lái)說(shuō)凸函數(shù)只是一個(gè)簡(jiǎn)單平常的數(shù)學(xué)理論，并未對(duì)凸函數(shù)有太多的深入了解，更缺乏對(duì)凸函數(shù)應(yīng)用的解讀和分析.論文從凸函數(shù)的多種定義開(kāi)始，引出凸函數(shù)的性質(zhì).也希望借寫(xiě)論文一方面可以強(qiáng)化概念，揭示凸函數(shù)的本質(zhì)，并且可以充分掌握概念與應(yīng)用的關(guān)系，更加深刻地理解凸函數(shù)的應(yīng)用，以解決問(wèn)題本質(zhì)達(dá)到處理問(wèn)題的目的.也希望可以激發(fā)大家的邏輯思維，來(lái)拓展對(duì)解決問(wèn)題的技能和手段.關(guān)鍵詞 凸函數(shù)，定義，性質(zhì)，應(yīng)用，琴生不等式，赫爾德不等式.Properties and applications of co

2、nvex functionAbstract The properties of convex function are of great significance in the research and practical application of many mathematical problems. But for most non-mathematics major students, convex function is just a simple and ordinary mathematical theory, not too much in-depth understandi

3、ng of convex function, more lack of application of convex function interpretation and analysis. It is hoped that the thesis can strengthen the concept, reveal the essence of convex function, grasp the relationship between the concept and application, and understand the application of convex function

4、 more deeply, so as to solve the essence of the problem and achieve the goal of dealing with the problem. Also hope to stimulate everyones logical thinking, to expand the problem-solving skills and means.Key words Convex function,definition,property,application,Jensen ,Holder.目 錄引 言11 凸函數(shù)的定義12 凸函數(shù)的判

5、定23 凸函數(shù)的性質(zhì)23.1運(yùn)算性質(zhì)-凸函數(shù)23.2 積分性質(zhì)-凸函數(shù)34 凸函數(shù)的應(yīng)用84.1凸函數(shù)在不等式的應(yīng)用84.1.1凸函數(shù)的性質(zhì)證明初等不等式84.1.2（Jensen）不等式94.1.3（Holder）不等式104.2凸函數(shù)在極值的應(yīng)用114.3凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用134.3.1凸函數(shù)在生產(chǎn)函數(shù)中的應(yīng)用134.3.2 凸函數(shù)在消費(fèi)者效用最大化問(wèn)題中的應(yīng)用14結(jié) 論15參考文獻(xiàn)：15致 謝16引 言 凸函數(shù)理論的建立起自于21本世紀(jì)初，凸函數(shù)這個(gè)現(xiàn)在為眾人所知的理論在很多有關(guān)于數(shù)學(xué)類(lèi)學(xué)科中運(yùn)用極為豐富.相比于函數(shù)論，數(shù)學(xué)分析，最優(yōu)化理論等學(xué)科里運(yùn)用都很頻繁.其中凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中極

6、為重要的函數(shù)之一，還有凸函數(shù)在最優(yōu)化的運(yùn)用，在運(yùn)籌學(xué)中的運(yùn)用，很多其他的數(shù)學(xué)等理科科目中也大量運(yùn)用這凸函數(shù)的知識(shí).但是凸函數(shù)在高等教育數(shù)學(xué)中往往極少具有直接的相對(duì)運(yùn)用，從而使得凸函數(shù)的研究在大學(xué)中并不常見(jiàn)，這往往是凸函數(shù)應(yīng)用不多的原因.在本論文中會(huì)結(jié)合凸函數(shù)的性質(zhì)和判定理論指出凸函數(shù)的應(yīng)用，來(lái)明確出凸函數(shù)的應(yīng)用優(yōu)勢(shì).1 凸函數(shù)的定義定義1：在a,b上有定義.任意的 有，則稱(chēng)為凸函數(shù).定義2：在a,b上有定義.任意的及有： ，則稱(chēng)為凸函數(shù).定義3：在a,b上有定義.任意的 且 ，有 ， 則稱(chēng)為凸函數(shù).定義4：在a,b上有定義.任意的 且 ，有 ， 則稱(chēng)為凸函數(shù).定義5：在a,b上連續(xù)，在（a,0

7、）上可導(dǎo)，任意的有 ，則稱(chēng)為凸函數(shù).定義6：在a,b上連續(xù)，并且在區(qū)間（a,b）上是可導(dǎo)的函數(shù)，同時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱(chēng) 為凸函數(shù).定義7：在a,b上連續(xù)，并且在區(qū)間（a,b）上是可二次求導(dǎo)的函數(shù)，并且總存在，則稱(chēng) 為凸函數(shù).2 凸函數(shù)的判定1. 假設(shè)函數(shù)與此同時(shí)在區(qū)間a,b內(nèi)是可導(dǎo)的，則可以稱(chēng)在區(qū)間a,b內(nèi)是遞增函數(shù)為是凸函數(shù)的充要條件.2. 假設(shè)函數(shù)與此同時(shí)在區(qū)間a,b上存可以在二階求導(dǎo)，則是為函數(shù)是凸函數(shù)的充要條件.3. 假設(shè)函數(shù)并且在區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)，且有使得則稱(chēng)為函數(shù)是凸函數(shù)的充要條件.4. 假設(shè)函數(shù)并且在a,b內(nèi)可導(dǎo)，若存在則稱(chēng)為函數(shù)是凸函數(shù)的充要條件.5.假設(shè)對(duì)并且，則稱(chēng)為函數(shù)

8、是凸函數(shù)的充要條件.3 凸函數(shù)的性質(zhì)3.1運(yùn)算性質(zhì)-凸函數(shù)1. （相加）如果函數(shù)和函數(shù)都是凸函數(shù)并且區(qū)間為a,b，則也是凸函數(shù)，區(qū)間為a,b.推論：假設(shè)函數(shù),都是凸函數(shù)并且區(qū)間為，是非負(fù)實(shí)數(shù),則也為都是凸函數(shù)并且區(qū)間為.2. （倍乘）如果函數(shù)是凸函數(shù)并且區(qū)間為a,b，,則也是凸函數(shù)并且區(qū)間為a,b.3. （相乘）如果函數(shù)和函數(shù)都是凸函數(shù)并且區(qū)間為a,b同時(shí)為非負(fù)單調(diào)遞增凸函數(shù)，且，則也是凸函數(shù)并且區(qū)間為a,b.4. （復(fù)合）如果函數(shù)總為單調(diào)遞增的凸函數(shù)，也是一個(gè)凸函數(shù)，那么函數(shù)為凸函數(shù).5. （最值）設(shè)函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)，則在區(qū)間也為凸函數(shù).6. （高階導(dǎo)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間為非負(fù)凸函數(shù)，則在區(qū)間上

9、也為凸函數(shù).7. （反函數(shù)）設(shè)在區(qū)間為嚴(yán)格減少的凸函數(shù)，則反函數(shù)也為凸函數(shù).證明1. （相加性質(zhì)）當(dāng)我們需要去證明凸函數(shù)的相加性質(zhì)時(shí)，知道函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，則可以根據(jù)定義寫(xiě)出它有關(guān)運(yùn)算的公式，函數(shù)+的和就是兩個(gè)運(yùn)算公式的和，在區(qū)間上也是成立的.證明：若并且，又因?yàn)楹瘮?shù)和函數(shù)都是區(qū)間a,b上的凸函數(shù)，所以 因此，+得由凸函數(shù)定義知 也是凸函數(shù)，區(qū)間為a,b.推論：證：, , 因函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，從而 且 又因?yàn)闉榉秦?fù)實(shí)數(shù)，所以有=+因此在區(qū)間也為凸函數(shù).2. （倍乘）因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間a,b上的凸函數(shù)，則和，存在 式兩端同時(shí)乘以，則得到由凸函數(shù)定義知 也是凸函數(shù)，區(qū)間為a,b.3. （相乘）

10、分析：利用凸函數(shù)的定義和函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性可以證明在區(qū)間也為凸函數(shù).證明：因?yàn)榍遥忠驗(yàn)楹瘮?shù)和函數(shù)都是區(qū)間a,b上的單調(diào)遞增凸函數(shù)，所以，即 因?yàn)楹瘮?shù)和函數(shù)都是區(qū)間a,b上的凸函數(shù)，則， .從而得，*，得到由式知 由凸函數(shù)定義知 也是凸函數(shù)，區(qū)間為a,b.注：，非負(fù) 例：假設(shè) ，且函數(shù)和函數(shù)都是凸函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)可知不是一個(gè)凸函數(shù)，因?yàn)闉樨?fù)數(shù). ，單調(diào)遞增 例：假設(shè)，且函數(shù)和函數(shù)都是凸函數(shù)， 以當(dāng)時(shí)可知不是凸函數(shù)，因?yàn)槭菃握{(diào)遞減的函數(shù).4. （復(fù)合）分析：因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，是凸函數(shù)，由凸函數(shù)定義得 ，因此得到，即，所以是凸函數(shù).5.（最值）分析：利用凸函數(shù)的定義可以證明在區(qū)間也為凸函數(shù)

11、.證明： , 因函數(shù),在區(qū)間為凸函數(shù)，從而且令=,則 因此 在區(qū)間也為凸函數(shù).6.（高階導(dǎo)）分析：利用不等式的性質(zhì)和函數(shù)的連續(xù)可以證明在區(qū)間上也為凸函數(shù).證明： ，因函數(shù)為非負(fù)凸函數(shù)，可知在連續(xù)，且0從而在區(qū)間連續(xù)，因,有，因此 可知在區(qū)間上也為凸函數(shù).7.（反函數(shù)）分析:根據(jù)凸函數(shù)的一些已證性質(zhì)，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可以證明反函數(shù)也為凸函數(shù).證明：因在區(qū)間上嚴(yán)格減少，從而存在反函數(shù)，設(shè)A=，., 則，使即則為凸函數(shù)，從而=因?yàn)閲?yán)格減少.因此，即 因此，由定義知在A=也為凸函數(shù).3.2積分性質(zhì)-凸函數(shù)1.設(shè)是上的凸函數(shù),則為上的凸函數(shù). 2.設(shè)函數(shù)在上遞增,則函數(shù)為凸函數(shù).積分性質(zhì)-證明1

12、.分析：利用凸函數(shù)的定義和求導(dǎo)的公式為上的凸函數(shù).證明：為凸函數(shù)區(qū)間是,因此它在區(qū)間內(nèi)連續(xù),在區(qū)間上有界.由此知有意義. ,令 時(shí)，恒有 = （因的凸性） 所以是上的凸函數(shù).2.分析：利用函數(shù)的不等式的性質(zhì)（增減性）可以證明函數(shù)為凸函數(shù). 證明： 因 遞增,積分有意義.且.故為凸函數(shù).4 凸函數(shù)的應(yīng)用在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明過(guò)程中，我們經(jīng)常遇到一些有關(guān)于不等式的證明，所以我們可以學(xué)會(huì)著去運(yùn)用凸函數(shù)來(lái)證明，因?yàn)橥购瘮?shù)的性質(zhì)和判定方法可以很大程度化簡(jiǎn)化證明.通過(guò)例舉出的例子可以得出，運(yùn)用凸函數(shù)的性質(zhì)證明來(lái)證明與之相關(guān)的不等式，則可讓一些難度比較大的和不容易證明的不等式得以求證出結(jié)果.所以要學(xué)會(huì)用凸函數(shù)

13、來(lái)解決一些不等式的問(wèn)題，這樣才能讓發(fā)揮數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的優(yōu)勢(shì)，和凸函數(shù)的存在意義，更能方便我們的學(xué)習(xí)和生活.4.1凸函數(shù)在不等式的應(yīng)用4.1.1凸函數(shù)的性質(zhì)證明初等不等式 （例）證明：當(dāng)且時(shí)，有.思路：將不等式變形，即兩邊同時(shí)乘以，得新式，因此我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)，則可證出.證：設(shè) 在區(qū)間是凸函數(shù)對(duì) 且 ，得 所以得即1. 凸函數(shù)的性質(zhì)證明函數(shù)不等式（例）證明：對(duì)任何非負(fù)實(shí)數(shù)有證：設(shè)， ，則在上是凸函數(shù)，由凸函數(shù)性質(zhì)知，對(duì)任何的非負(fù)實(shí)數(shù)有，既所以.2. 凸函數(shù)的性質(zhì)證明積分不等式（例）證明：在上可積且，是在上的連續(xù)凸函數(shù)，則證：設(shè) 由于是凸函數(shù)，故有由定積分的定義知在中令時(shí)使得.4.1.2（Jen

14、sen）不等式琴生不等式是一個(gè)十分重要凸函數(shù)的性質(zhì)，因?yàn)槊恳粋€(gè)凸函數(shù)都可以滿(mǎn)足琴聲不等式性質(zhì)，于是琴生不等式是重要方法對(duì)于研究不等式來(lái)說(shuō).定理：假設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的凸函數(shù)，則存在并且，總有.（例）若求證：證：因?yàn)閷?duì)所有的，可以令，所以有又因?yàn)槭峭购瘮?shù)所以有 .注：當(dāng)時(shí)， 則存在.當(dāng)時(shí)， 有.4.1.3（Holder）不等式赫爾德不等式是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容，不等式的命名來(lái)自?shī)W圖.赫爾德.This inequality clearly shows the relationship between LP spaces. There are many Hlders inequality, and of

15、course there are also proofs of convex functions.定理：假設(shè)，則存在 其中，并且.（例）證明存在n個(gè)正數(shù)，這些數(shù)倒數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于這些數(shù)的算術(shù)平均值的倒數(shù).證：假設(shè)函數(shù)，因此 所以在上是凸函數(shù)，在Jensen不等式中取 則得到 既.4.2凸函數(shù)在極值的應(yīng)用根據(jù)常識(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)我們可以得知，一個(gè)連續(xù)函數(shù)如果是有界的，那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定有max和min.但是對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)max和min可能是在區(qū)間上的隨機(jī)處.又因?yàn)閷?duì)于凸函數(shù)，它的max(min)具有一些特征性質(zhì)。由于凸函數(shù)可以求最值問(wèn)題，因此凸性質(zhì)解決最值問(wèn)題有可行的辦法和有效的方式. 1 .

16、設(shè)是一非空有界閉凸集，是凸函數(shù).（1）若是在上的局部極小值，則是在上的最小值 ；（2）若是嚴(yán)格凸函數(shù)，則它在上的最小值點(diǎn)是唯一的.證明：（1）若是的一個(gè)局部極小值點(diǎn)，則存在的一個(gè)鄰域，對(duì)于，有.從而有又由是凸函數(shù)，故有移項(xiàng)即可得，故在上取最小值；（2）假設(shè)在上的兩點(diǎn),取到最小值，即.因是凸集，故對(duì)于.又由是嚴(yán)格凸的，則有這與在上取最小值矛盾.2. 有界閉凸集上的凸函數(shù)必在的邊界上取到最大值.證明： 設(shè)，若則定理得證；否則，的內(nèi)點(diǎn)，過(guò)任做一“直線(xiàn)”，由有界閉凸集的性質(zhì)，該“直線(xiàn)”必與邊界交于兩點(diǎn)，設(shè)為,于是存在正數(shù).由假設(shè)知故若，則即從而有，這與點(diǎn)為最大值點(diǎn)矛盾，故.同理.3. 設(shè) 為有界凸多面

17、體，為的頂點(diǎn)，為上的凸函數(shù)，則的最大值必在的頂點(diǎn)上取到，即證明： 由2知，存在, 使設(shè)在的某一側(cè)面上，則的頂點(diǎn)是的頂點(diǎn)中的一部分.若是的頂點(diǎn)，則結(jié)論已成立；若不是的頂點(diǎn)，設(shè)，是的頂點(diǎn)，則存在且由的凸性知，由此可知注： 若是凹函數(shù)，則在凸多面體上的最小值必在該多面體的頂點(diǎn)得到.推論： 若是有界凸多面體上的線(xiàn)性函數(shù)，則的max，min都在該多面體的頂點(diǎn)上取到.4.3凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用4.3.1凸函數(shù)在生產(chǎn)函數(shù)中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中定義為：在工程技術(shù)知識(shí)水平一定的情況下，給特定投入從而能夠得到的最大的產(chǎn)出.一般來(lái)說(shuō)，生產(chǎn)函數(shù)刻畫(huà)出的就是在社會(huì)現(xiàn)有技術(shù)水平下，所能達(dá)到的最大需求產(chǎn)出和應(yīng)該投入生產(chǎn)資料之間

18、的比例關(guān)系.生產(chǎn)函數(shù)常?？煞譃閮煞N，第一種是可變投入生產(chǎn)函數(shù)第二種是多種可變投入生產(chǎn)函數(shù).通常來(lái)說(shuō)第一種用于思考短時(shí)期的產(chǎn)出，第二種用于思考時(shí)間較長(zhǎng)的產(chǎn)出.生產(chǎn)函數(shù)Q 可展現(xiàn)成： 表達(dá)式中變量L為產(chǎn)能，K為付出的工作，N為本錢(qián)，E為土地和企業(yè)家.通常情況下，我們將生產(chǎn)函數(shù)簡(jiǎn)化為：實(shí)際經(jīng)濟(jì)在增長(zhǎng)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)兩種生產(chǎn)函數(shù)，這兩種生產(chǎn)函數(shù)分別是凸函數(shù)和凹函數(shù)但是我們?cè)谶@里需要研究的是前者的函數(shù)模型.設(shè)總產(chǎn)量為Q,即，在函數(shù)中平均產(chǎn)量為AP，邊際產(chǎn)量（若在生產(chǎn)中別的投入保持不變，因?yàn)槊慨?dāng)新增1單位的投入而多生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)量或產(chǎn)出）為MP，假設(shè)Q = f (L,K)是連續(xù)的.那么就有 , 在某一區(qū)間上當(dāng)生

19、產(chǎn)函數(shù)是凸函數(shù)時(shí)，那么依據(jù)定理可知在這個(gè)區(qū)間上其二階微分 ，也可以說(shuō)是邊際產(chǎn)量的微分.由文章前的定義知可導(dǎo)的凸函數(shù)它的導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞增的，因此當(dāng)生產(chǎn)函數(shù)為凸函數(shù)時(shí)，我們可以得出邊際產(chǎn)量是遞增的換而言之社會(huì)總產(chǎn)量的增長(zhǎng)率是遞增的.此時(shí)經(jīng)濟(jì)是處于增長(zhǎng)的狀態(tài).于是乎這時(shí)我們可以得到一些結(jié)論：在社會(huì)存在的一定已技術(shù)水平條件中，當(dāng)生產(chǎn)的產(chǎn)量呈現(xiàn)出凸函數(shù)模型的時(shí)候，我們可以知道這是經(jīng)濟(jì)是處在一個(gè)上升的階段，為了有利于經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，應(yīng)該加大生產(chǎn)投入，因?yàn)榧哟笸度肟梢垣@取更大的產(chǎn)量和物質(zhì)收入.4.3.2 凸函數(shù)在消費(fèi)者效用最大化問(wèn)題中的應(yīng)用注：西方經(jīng)濟(jì)學(xué)認(rèn)為，產(chǎn)品價(jià)值的多少，是由產(chǎn)品的效用大小決定.

20、效用就是指消費(fèi)者在消費(fèi)物品或勞動(dòng)獲得的滿(mǎn)足，并且這種滿(mǎn)足程度純粹是一種消費(fèi)主義觀(guān)心里感覺(jué).由于消費(fèi)物品或者勞務(wù)所獲得的滿(mǎn)足是一種主觀(guān)的心里感覺(jué)，因此產(chǎn)品效果的大小因人而異，因地而異，因時(shí)而異.一些西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為，效用的大小可以設(shè)想用數(shù)字表示并加以計(jì)算和比較，這就是基數(shù)效用論的由來(lái).例如，消費(fèi)者消費(fèi)了 n 個(gè)商品，那么從第一個(gè)商品到第n個(gè)商品的效用可分別用U1,U2,.,Un 來(lái)表示,它也被稱(chēng)為消費(fèi)組合.U0令表示n個(gè)商品總滿(mǎn)意度，那么效用函數(shù)就可以表示為U0=U1+U2+.+Un.如此我們可以將較為抽象的商品效用用具體的值來(lái)表示出，同樣的可知有了具體的值來(lái)表示效用時(shí)，我們可以對(duì)效用的值賦予大小.對(duì)于那些帶給我較高滿(mǎn)意度的商品組合我們通常會(huì)賦予一個(gè)大的值，相比于帶給我們體驗(yàn)較差的商品組合