交通堵塞解決方案的數(shù)學(xué)建模

1、數(shù)學(xué)建模摘要本文用層次分析法，得出了解決交通堵塞應(yīng)采用建立人行天橋的方案。先建立層次結(jié)構(gòu)模型，分三層，第一層為目標(biāo)層( O) ,第二層為準(zhǔn)則層( C) ,第三層為方案層( P)，根據(jù)層次結(jié)構(gòu)模型構(gòu)造判斷矩陣。用MATLAB求出第2層對(duì)第一層的權(quán)向量W1，第三層對(duì)第二層的組合權(quán)向量W2，組合權(quán)項(xiàng)量 W=W1*W2，最后得出W= 0.4587 0.2984 0.2429可知第一方案為最優(yōu)方案。一、問(wèn)題的重述某市中心有一商場(chǎng)，由于附近的行人和車(chē)輛流量過(guò)大，經(jīng)常造成交通堵塞，政府組織了專(zhuān)家會(huì)商研究擬定了五個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和三個(gè)方案，評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為：B1：通車(chē)能力；B2：方便群眾；B3：費(fèi)用不宜過(guò)高B4：交通安全

2、；B5：市容美觀；方案為：C1:在商場(chǎng)附近建一人行天橋；C2：在商場(chǎng)附近建一地下人行通道；C3：搬遷商場(chǎng)；我們需根據(jù)這五個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)和三個(gè)方案，用層次分析法以改善市中心的交通環(huán)境為目標(biāo)，進(jìn)行模型的建立與分析，選出最優(yōu)的解決方案。二、模型假設(shè)1. 假設(shè)只根據(jù)所提的五個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，不考慮其他條件。2. 假設(shè)題中的三個(gè)方案是合理的，不考慮其他方案。3. 假設(shè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則的重要性判斷是合理的。符號(hào)的定義：1. B1：通車(chē)能力成對(duì)比較矩陣2. B2：方便群眾成對(duì)比較矩陣3. B3：費(fèi)用不宜過(guò)高成對(duì)比較矩陣4. B4：交通安全成對(duì)比較矩陣5. B5：市容美觀對(duì)比較矩陣6. P：總體比較矩陣7. CIx：一致性指標(biāo)

3、 (x=15)8. RIx: 隨機(jī)一致性指標(biāo) (x=15)9. CRx:總體一致性比率 (x=15)10. ZB:總體一致性比率矩陣11. W1：權(quán)向量（特征向量）12. W2：第2層對(duì)第一層的權(quán)向量13. ZC: 一致性指標(biāo)矩陣14. ZR：隨機(jī)一致性指標(biāo)矩陣三、模型的建立與求解(一)建立層次結(jié)構(gòu)模型問(wèn)題的層次結(jié)構(gòu)共分三層:第一層為目標(biāo)層( O) ,第二層為準(zhǔn)則層( C) ,第三層為方案層( P) 。方案層準(zhǔn)則層目標(biāo)層DQWOOOOOOOC2C1C3方便群眾通車(chē)能力交通安全費(fèi)用不宜過(guò)高市容美觀改善市中心的交通環(huán)境（二）構(gòu)造成對(duì)比較矩陣按照層次結(jié)構(gòu)，將每一層元素以相鄰上一層元素為準(zhǔn)則，進(jìn)行成對(duì)

4、比較并按1-9的標(biāo)度方法構(gòu)造判斷矩陣。準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的成對(duì)比較矩陣 P=通車(chē)能力B1=115446521方便群眾B2=1251/2121/51/21費(fèi)用不宜過(guò)高B3=1581/5131/83/81交通安全B4=11/21211111市容美觀B5=11/31/5311/2521（三）求組合權(quán)向量W1、先求出第2層對(duì)第一層的權(quán)向量W1因?yàn)橐恢滦灾笜?biāo)公式為CI =max n/n - 1 其中n和分別為矩陣的階數(shù)和最大特征值N=5 用MATLAB求P的最大特征值max S,T=eig(p),pmax=T(1,1)得出max= 5.2538用MATLAB求,CI=(pmax-5)/(5-1) 得CI =

5、 0.0634隨機(jī)一致性指標(biāo)RI查表得RI=1.12用MATLAB求CR=CI/RI CR = 0.0566用MATLAB求W1 W1=S(:,1)/sum(S(:,1)得W1 = 0.2353 0.2353 0.0590 0.3294 0.14122、求第三層對(duì)第二層的組合權(quán)向量W2第三層對(duì)第二層計(jì)算結(jié)果K1 2 3 4 5 WK0.7393 0.5954 0.7393 0.2599 0.10950.1831 0.2764 0.1831 0.4126 0.3090 0.0775 0.1283 0.0775 0.3275 0.5816K3.0037 3.0055 3.0776 3.0536 3

6、.0037 CIK0.0018 0.0028 0.0388 0.0268 0.0018用MATLAB求W2 W2=S1(:,1)/sum(S1(:,1),S2(:,1)/sum(S2(:,1),S3(:,1)/sum(S3(:,1),S4(:,1)/sum(S4(:,1),S5(:,1)/sum(S5(:,1)W2 =0.7393 0.5954 0.7393 0.2599 0.1095 0.1831 0.2764 0.1831 0.4126 0.3090 0.0775 0.1283 0.0775 0.3275 0.58163、組合權(quán)項(xiàng)量 W=W1*W2用MATLAB求的W= 0.4587 0.

7、2984 0.2429第一項(xiàng)的組合權(quán)向量最大，故選擇第一方案。(四)單項(xiàng)一致性檢驗(yàn)用MATLAB進(jìn)行檢驗(yàn)p=1 1 5 5/7 5/3;1 1 5 5/7 5/3;1/3 1/3 1 1/7 1/3;7/5 7/5 7 1 7/3;3/5 3/5 3 3/7 1 S,T=eig(p),pmax=T(1,1),CI=(pmax-5)/(5-1),RI=1.12,CR=CI/RICR =0.0566B1=1 1 5;1 1 6;1/5 1/6 1B2=1 2 5;1/2 1 2;1/5 1/2 1B3=1 5 8;1/5 1 3;1/8 3/8 1B4=1 1/2 1;2 1 1;1 1 1B5=

8、1 1/3 1/5;3 1 1/2;5 2 1S1,T1=eig(B1),B1max=T1(1,1),CI1=(B1max-3)/(3-1),RI1=0.58,CR1=CI1/RI1S2,T2=eig(B2),B2max=T2(1,1),CI2=(B2max-3)/(3-1),RI2=0.58,CR2=CI2/RI2S3,T3=eig(B3),B3max=T3(1,1),CI3=(B3max-3)/(3-1),RI3=0.58,CR3=CI3/RI3S4,T4=eig(B4),B4max=T4(1,1),CI4=(B4max-3)/(3-1),RI4=0.58,CR4=CI4/RI4S5,T5

9、=eig(B5),B5max=T5(1,1),CI5=(B5max-3)/(3-1),RI5=0.58,CR5=CI5/RI5ZB =0.0032 0.0048 0.0669 0.0462 0.0032得出所有的值小于0.1通過(guò)一致性檢驗(yàn)（四）總體一致性檢驗(yàn) W1=S(:,1)/sum(S(:,1) ZC=CI1,CI2,CI3,CI4,CI5,ZR=RI1,RI2,RI3,RI4,RI5 a=ZC*W1,b=ZR*W1,CR=a/bCR =0.0219得出CR的值小于0.1，總體通過(guò)一致性檢驗(yàn) W1=S(:,1)/sum(S(:,1)W2=S1(:,1)/sum(S1(:,1),S2(:,1

10、)/sum(S2(:,1),S3(:,1)/sum(S3(:,1),S4(:,1)/sum(S4(:,1),S5(:,1)/sum(S5(:,1) W=W2*W1W = 0.4587 0.2984 0.2429得出第一方案的值最大，故選第一方案。四、模型的評(píng)價(jià)與推廣該模型利用層次分析法對(duì)三個(gè)方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，得出解決市中心交通堵塞的最佳方案應(yīng)為建立人行天橋。從該模型中我們可以了解到層次分析法對(duì)于多目標(biāo)問(wèn)題的決策能提供比較有效的定量依據(jù)。模型的不足在于主觀因素太強(qiáng)，如果能對(duì)方案的準(zhǔn)則進(jìn)行一定的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，應(yīng)該能得出更加準(zhǔn)確的結(jié)果。五、參考文獻(xiàn)1. 韓中庚合理分配住房的方案及模型 1997 ,27 :

11、(2)2. 常志勇 層次分析模型 2011.4.19附錄：MATLAB 計(jì)算過(guò)程MATLAB計(jì)算單項(xiàng)一致性檢驗(yàn)p=1 1 5 5/7 5/3;1 1 5 5/7 5/3;1/3 1/3 1 1/7 1/3;7/5 7/5 7 1 7/3;3/5 3/5 3 3/7 1p = 1.0000 1.0000 5.0000 0.7143 1.6667 1.0000 1.0000 5.0000 0.7143 1.6667 0.3333 0.3333 1.0000 0.1429 0.3333 1.4000 1.4000 7.0000 1.0000 2.3333 0.6000 0.6000 3.0000 0

12、.4286 1.0000 S,T=eig(p),pmax=T(1,1),CI=(pmax-5)/(5-1),RI=1.12,CR=CI/RIS = -0.4777 -0.4725 -0.4453 -0.0040 0.3838 -0.4777 0.4725 -0.4453 0.0040 -0.3838 -0.1198 -0.1890 0.3788 -0.1930 0.1928 -0.6687 0.6614 -0.6234 -0.5481 -0.7801 -0.2866 0.2835 -0.2672 0.8138 -0.2440T = 5.2538 0 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0

13、 0 -0.2538 0 0 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0 0 0.0000pmax = 5.2538CI = 0.0634RI = 1.1200CR =0.0566B1=1 1 5;1 1 6;1/5 1/6 1B1 = 1.0000 1.0000 5.0000 1.0000 1.0000 6.00000.2000 0.1667 1.0000S1,T1=eig(B1),B1max=T1(1,1),CI1=(B1max-3)/(3-1),RI1=0.58,CR1=CI1/RI1S1 = -0.6797 -0.3398 - 0.5886i -0.3398 + 0.5886i -0.

14、7223 0.7223 0.7223 -0.1279 -0.0640 + 0.1108i -0.0640 - 0.1108iT1 = 3.0037 0 0 0 -0.0018 + 0.1053i 0 0 0 -0.0018 - 0.1053iB1max = 3.0037CI1 = 0.0018RI1 = 0.5800CR1 =0.0032B2=1 2 5;1/2 1 2;1/5 1/2 1B2 = 1.0000 2.0000 5.0000 0.5000 1.0000 2.00000.2000 0.5000 1.0000S2,T2=eig(B2),B2max=T2(1,1),CI2=(B2max

15、-3)/(3-1),RI2=0.58,CR2=CI2/RI2S2 = -0.8902 -0.8902 -0.8902 -0.4132 0.2066 + 0.3578i 0.2066 - 0.3578i -0.1918 0.0959 - 0.1661i 0.0959 + 0.1661iT2 = 3.0055 0 0 0 -0.0028 + 0.1290i 0 0 0 -0.0028 - 0.1290iB2max = 3.0055CI2 = 0.0028RI2 = 0.5800CR2 =0.0048 B3=1 5 8;1/5 1 3;1/8 3/8 1B3 = 1.0000 5.0000 8.00

16、00 0.2000 1.0000 3.00000.1250 0.3750 1.0000 S3,T3=eig(B3),B3max=T3(1,1),CI3=(B3max-3)/(3-1),RI3=0.58,CR3=CI3/RI3S3 = 0.9657 0.9654 0.9654 0.2392 -0.1385 + 0.2005i -0.1385 - 0.2005i 0.1013 -0.0388 - 0.0849i -0.0388 + 0.0849iT3 = 3.0776 0 0 0 -0.0388 + 0.3350i 0 0 0 -0.0388 - 0.3350iB3max = 3.0776CI3

17、= 0.0388RI3 = 0.5800CR3 =0.0669 B4=1 1/2 1;2 1 1;1 1 1B4 = 1.0000 0.5000 1.0000 2.0000 1.0000 1.00001.0000 1.0000 1.0000 S4,T4=eig(B4),B4max=T4(1,1),CI4=(B4max-3)/(3-1),RI4=0.58,CR4=CI4/RI4S4 = 0.4425 -0.2212 + 0.3832i -0.2212 - 0.3832i 0.7024 0.7024 0.7024 0.5575 -0.2788 - 0.4828i -0.2788 + 0.4828i

18、T4 = 3.0536 0 0 0 -0.0268 + 0.4038i 0 0 0 -0.0268 - 0.4038iB4max = 3.0536CI4 = 0.0268RI4 = 0.5800CR4 =0.0462 B5=1 1/3 1/5;3 1 1/2;5 2 1B5 = 1.0000 0.3333 0.2000 3.0000 1.0000 0.5000 5.0000 2.0000 1.0000 S5,T5=eig(B5),B5max=T5(1,1),CI5=(B5max-3)/(3-1),RI5=0.58,CR5=CI5/RI5S5 = -0.1640 0.0820 + 0.1420i 0.0820 - 0.1420i -0.4629 0.2314 - 0.4008i 0.2314 + 0.4008i -0.8711 -0.8711 -0.8711 T5 = 3.0037 0 0 0 -0.0018 + 0.1053i 0 0 0 -0.0018 - 0.1053iB5max = 3.0037CI5 = 0.0018RI5 = 0.5800