第4講_光線穩(wěn)定條件、類透鏡介質(zhì)中的光線方程與波動方程

1、 f1f2 SS+1MN f1 d 1 01 sM Ms rrd rr 22 1 1 1 s s N N r r f d f d r r 11 1 1 1 1 1 N N S S r r f d f d r r 同理，從同理，從N面到面到S面的光線傳播情況面的光線傳播情況 2 10 1 1 NM NM rr rr f 21 1 1 10 1 1 1 01 10 1 1 1 01 S S S S S S r r DC BA r rd f d f r r )1)(1 ( )1 ( 11 )2( 1 211 22 1 2 2 f d f d f d D f d ff C f d dB f d A 1

2、 1 sss sss DrCrr BrArr )( 1 1sss Arr B r )( 1 )( 1 1 121 1 SSS Sss sss DrCrr Arr B r Arr B r 21 2 21 12 2 1)( 2 1 02 ff d f d f d DAb rbrr sss 21 2 21 12 2 1)( 2 1 02 ff d f d f d DAb rbrr sss 0Arr )exp()0()(zAirzr is s err 0 )( 2 1 cos )sin( max DAb srrs 1 2 11 21 2 21 ff d f d f d 1) 2 1)( 2 1 (0

3、21 f d f d fd40 1 1 21 5 5 10 1 1 2 01 10 1 1 2 01 rL R L R r 15 1 1 15 rABr r T CD 2 2 22 1 112 2 1 2 (2) 222 (1) 222 (1)(1) d A R d Bd R d C RRR ddd D RRR 0 0 nn n rr T sinsin(1)sin 1 sinsinsin(1)sin nnn n nn ABAnBAB T CDCDnCD arccos/2AD 12 0111 22 LL ff 12 0111 LL RR 22 222 2 2222 2 1 1 (1) 22 xy

4、 ABAOBOfxyfff f xyxy ff ff 22222 0 2 222 xyxyr kk fff ) 2 exp( 22 f yx ikEE inout 2 2 2 0 0 ( , )1() 2 k x yxy k )( 4 )( 22 0 yx K D TrT 22 00 ( , )()() 4 n D x yTxy TK 2 22 2 r xyz r ddr dsds 0 rsab a rb s r 222 dsdxdydzdz ddr dzdz 2 2 ddrd r dzdzdz 0 d dz 20 0 k ijkxiyj xyzk 22 2 0 2 2 0 0 xyk ijx

5、iyj zzk 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 0 d xk x dzk d yk y dzk 2 2 2 0 0 d rk r dzk 22 12 00 ( )cossin kk r zczcz kk 0 0 r r 2 1020 0 ; k cr cr k 202 020 0 0 222 000 cossin sincos z z kkk zz kkk rr rr kkk zz kkk 202 00 020 222 00 000 cos sin sin cos kkk r zrzrz kkk kkk rzrzrz kkk 2 max 0 sin k r zrz k 如右圖的曲線

6、可以代表在類透鏡如右圖的曲線可以代表在類透鏡 介質(zhì)中傳播的光線，只是在幅度介質(zhì)中傳播的光線，只是在幅度 上作了夸大。從該方程可以得出上作了夸大。從該方程可以得出 結(jié)論：當結(jié)論：當k20時，類透鏡介質(zhì)對時，類透鏡介質(zhì)對 光線起匯聚作用，相當于正透鏡。光線起匯聚作用，相當于正透鏡。 22 0 00 020 222 00 000 coshsinh sinhcosh kkk r zz rz r kkk kkk rzz rz r kkk , ( )zr z (1) (2) 0(3) E H t H Eu t E 對對2式求旋度：式求旋度： 2 2 HE Euu tt 2 EEE 且由且由3式：式： 1

7、0EEEEE 在各向同性介質(zhì)中有介電常數(shù)不隨位置而發(fā)生變化，即在各向同性介質(zhì)中有介電常數(shù)不隨位置而發(fā)生變化，即 0 2 2 2 (4) E uE t 綜合上三式可以得到綜合上三式可以得到 假設(shè)折射率假設(shè)折射率n的空間變化很小，即的空間變化很小，即n(r)滿足慢變近似，此時可以將電磁場表示為：滿足慢變近似，此時可以將電磁場表示為： 0 ( , , , )Re( , , ) i t E x y z tE x y z e 代入代入(4)式式 22 00 22 ( )0 ( )( ) Ek r E k rur 波動方程波動方程 也稱亥姆也稱亥姆 霍茲方程霍茲方程 2 2 ( ) ( )( ) 1 r

8、k ruri 當當 代表吸收介質(zhì)，代表吸收介質(zhì)， 代表增益介質(zhì)代表增益介質(zhì)00 上式表示復(fù)數(shù)波數(shù)，我們考慮波數(shù)表示形式為上式表示復(fù)數(shù)波數(shù)，我們考慮波數(shù)表示形式為 22 2 002 ( )k rkk k r 其中其中k0、k2都可以是復(fù)數(shù)，這個表達式可以理解為波數(shù)與位置都可以是復(fù)數(shù)，這個表達式可以理解為波數(shù)與位置r和介質(zhì)的特和介質(zhì)的特 性性k2都有關(guān)系。由波數(shù)的定義：都有關(guān)系。由波數(shù)的定義： 可以得到可以得到n(r)的表達式：的表達式： 2 ( )( )k rn r 2 222 0020 0 ( )( )1 222 k n rk rkk k rkr k 的情況的情況 該表達式就是類透鏡介質(zhì)該表達

9、式就是類透鏡介質(zhì) 的折射率表達式，證明我的折射率表達式，證明我 們考慮的們考慮的k(r)表達式代表表達式代表 的正是在類透鏡介質(zhì)中的的正是在類透鏡介質(zhì)中的 情況。情況。 22 22 00 00 11 222 kk krnr kk 級數(shù)級數(shù) 展開展開 22 rxy 2 222 2 2 2 22 1 r zrrrz 2 ( , , ) ikz Ex y z e ( , , )x y z 2 , kk 2 2 2 20ikkkr 2 0exp ( ) 2 ( ) k Ei p zr q z 為什么取這種形式？這是對波動為什么取這種形式？這是對波動 方程進行長期研究得到的解，既方程進行長期研究得到的解，既 滿足方程，又有明確的、能夠被滿