概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章隨機(jī)向量及其分布ppt課件

1、2.3 2.3 延續(xù)型隨機(jī)變量延續(xù)型隨機(jī)變量 一一. . 延續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)延續(xù)型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì) 在線段上隨機(jī)投點(diǎn)的位置在線段上隨機(jī)投點(diǎn)的位置, ,溫度、氣壓、溫度、氣壓、 電壓、電流等物理量等等電壓、電流等物理量等等, , 實(shí)際上可以取到實(shí)際上可以取到 某個(gè)區(qū)間的任何實(shí)數(shù)值某個(gè)區(qū)間的任何實(shí)數(shù)值 對(duì)這種類(lèi)型的隨機(jī)變量對(duì)這種類(lèi)型的隨機(jī)變量, , 不能象離散型不能象離散型 隨機(jī)變量那樣隨機(jī)變量那樣, , 以指定它取每個(gè)值概率的方以指定它取每個(gè)值概率的方 式給出其概率分布式給出其概率分布, , 而是經(jīng)過(guò)給出所謂而是經(jīng)過(guò)給出所謂“概概 率密度函數(shù)的方式，從而得到延續(xù)型隨機(jī)率密度函數(shù)的方式

2、，從而得到延續(xù)型隨機(jī) 變量的概念變量的概念 b a P aXbfx dx fx設(shè)設(shè)X X 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, ,假設(shè)存在非負(fù)函數(shù)假設(shè)存在非負(fù)函數(shù) ab ,a b使得對(duì)任何滿足使得對(duì)任何滿足 的的 有有 定義定義 3.1 3.1 fx那么稱(chēng)那么稱(chēng) X X 是延續(xù)型隨機(jī)變量是延續(xù)型隨機(jī)變量, ,稱(chēng)稱(chēng) 是是 X X 的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù), ,簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度或密度簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度或密度 故故 X的密度的密度 f (x) 在在 x 這一點(diǎn)的值，恰好這一點(diǎn)的值，恰好 是是X 落在區(qū)間落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度 之比的極限之比的極限. 這里，假設(shè)把概率了解為質(zhì)這里，假設(shè)把概率了

3、解為質(zhì) 量，量，f (x) 相當(dāng)于線密度相當(dāng)于線密度 x ,(xxx 假設(shè)假設(shè)x是是 f (x) 的延續(xù)點(diǎn)，那么的延續(xù)點(diǎn)，那么 0 () lim x P xXxx x x )( lim 0 xx x x dttf =f (x) 概率密度的意義概率密度的意義 要留意的是，密度函數(shù)要留意的是，密度函數(shù) f (x)在某點(diǎn)處在某點(diǎn)處a 的高度，并不反映的高度，并不反映 X 取值的概率取值的概率.但是，這但是，這 個(gè)高度越大，那么個(gè)高度越大，那么 X 取取 a 附近的值的概率就附近的值的概率就 越大越大. 也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反 映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度映了

4、概率集中在該點(diǎn)附近的程度 f (x) x o 假設(shè)不計(jì)高階無(wú)窮小，有假設(shè)不計(jì)高階無(wú)窮小，有 xxfxxXxP )( 它表示隨機(jī)變量它表示隨機(jī)變量 X X 取值于取值于 的概率近似等于的概率近似等于 ,(xxx xxf)( ( )f xx 在延續(xù)型隨機(jī)變量實(shí)際中所起的作用與在延續(xù)型隨機(jī)變量實(shí)際中所起的作用與 () kk P Xxp 在離散型隨機(jī)變量實(shí)際中所起的作用相類(lèi)似在離散型隨機(jī)變量實(shí)際中所起的作用相類(lèi)似 由定義知道，概率密度由定義知道，概率密度f(wàn) (x) f (x) 具有以下性質(zhì)具有以下性質(zhì) 0 1( )0f x 0 2( )1f x dx f (x) 0 x 1 概率密度性質(zhì)概率密度性質(zhì)

5、這兩條性質(zhì)是斷定一個(gè)這兩條性質(zhì)是斷定一個(gè) 函數(shù)函數(shù) f (x) f (x)能否為某能否為某 X X的的 概率密度函數(shù)的充要條件概率密度函數(shù)的充要條件 這是由于這是由于 0 ()lim() x P XaP aXax 0 lim( ) ax ax f x dx 0 0 30P Xa 注注: : 由上述性質(zhì)可知，對(duì)于延續(xù)型隨機(jī)變量，由上述性質(zhì)可知，對(duì)于延續(xù)型隨機(jī)變量， 我們關(guān)懷它在某一點(diǎn)取值的問(wèn)題沒(méi)有太我們關(guān)懷它在某一點(diǎn)取值的問(wèn)題沒(méi)有太 大的意義大的意義, , 我們所關(guān)懷的是它在某一區(qū)我們所關(guān)懷的是它在某一區(qū) 間上取值的問(wèn)題間上取值的問(wèn)題 0 4 ; P aXbP aXb P aXb P aXb 0

6、 5 A P XAfx dx 對(duì)數(shù)集對(duì)數(shù)集A (A (嚴(yán)厲意義下要求可測(cè)性嚴(yán)厲意義下要求可測(cè)性), ), 例1 設(shè) X 是延續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 2 4202 0 cxxx fx 其其它它 解解: : 由密度函數(shù)的性質(zhì)由密度函數(shù)的性質(zhì) 1fx dx 21P X 求：求： 常數(shù)常數(shù) c; c; 例例1 1續(xù)續(xù) 1fx dx 得得 2 2 0 42cxxdx 2 23 0 2 2 3 cxx 8 3 c 3 8 c 所所以以 02 02 fx dxfx dxfx dx 2 2 1 3 42 8 xxdx 1 21P Xfx dx 2 23 1 32 2 83 xx 1 2 2 12 fx d

7、xfx dx 例例1 1續(xù)續(xù) 例2 某電子元件的壽命單位：小時(shí)是以 2 0100 100 100 x fx x x 為密度函數(shù)的延續(xù)型隨機(jī)變量求為密度函數(shù)的延續(xù)型隨機(jī)變量求 5 5個(gè)同類(lèi)型個(gè)同類(lèi)型 的元件在運(yùn)用的前的元件在運(yùn)用的前 150 150 小時(shí)內(nèi)恰有小時(shí)內(nèi)恰有2 2 個(gè)需求個(gè)需求 改換的概率改換的概率 解解: : 設(shè)設(shè)A = A = 某元件在運(yùn)用的前某元件在運(yùn)用的前 150 150 小時(shí)小時(shí) 內(nèi)內(nèi) 需求改換需求改換 例例2 2續(xù)續(xù) 檢驗(yàn) 5 個(gè)元件的運(yùn)用壽命可以看作是 在做一個(gè)5重貝努里實(shí)驗(yàn) B = 5 個(gè)元件中恰有 2 個(gè)的運(yùn)用壽命 不超越150小時(shí) 150P AP X 150 fx

8、 dx 150 2 100 100 dx x 1 3 23 2 5 12 33 P BC 80 243 二二. . 幾種常用的延續(xù)型隨機(jī)變量幾種常用的延續(xù)型隨機(jī)變量 1.1.均勻分布均勻分布(Uniform (Uniform 分布分布) ) ,Ua b ,a b 那么稱(chēng)那么稱(chēng) X X 服從區(qū)間服從區(qū)間 上的均勻分布上的均勻分布, , 對(duì)對(duì) , , 假設(shè)假設(shè) X X 的密度是的密度是 ab 1 , 0, xa b bafx xa b 記作記作 ,XUa b x o )(xf a b 均勻分布密度函數(shù)演示均勻分布密度函數(shù)演示 X X 取值在區(qū)間取值在區(qū)間(a , b)(a , b)上，上， 并且取

9、值并且取值 在在(a , b) (a , b) 中恣意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)中恣意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè) 小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比， 那么那么 X X 具有具有(a , b)(a , b) 上的均勻分布上的均勻分布 均勻分布的概率背景均勻分布的概率背景 XX ab x ll 0 1 c l c dx ba l ba ( ) c l c P cXclf x dx 即即 在區(qū)間在區(qū)間a , b 上服從均勻分布的上服從均勻分布的 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X ，落在區(qū)間，落在區(qū)間a , b中恣意中恣意 等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的能夠性是一樣的等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的能夠性是一樣的 均勻分布的意義均勻分布的意義

10、說(shuō)說(shuō) 明明 1. 類(lèi)似地，我們可以定義區(qū)間 , 1, 0, a b xa b I xa b fx還可以將密度還可以將密度 寫(xiě)成寫(xiě)成 , 1 a b fxI ba 2. 2. 采用采用 的示性函數(shù)的示性函數(shù) ,a b ,ababab， 上的均勻分布上的均勻分布 例3 設(shè)公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起每隔15分鐘 來(lái)一班車(chē),假設(shè)某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是 7:00 到7:30之間的均勻隨機(jī)變量試求該 乘客候車(chē)時(shí)間不超越5分鐘的概率 1 030 30 0其其它它 x fx 解解: : 設(shè)該乘客于設(shè)該乘客于7 7時(shí)時(shí)X X 分到達(dá)此站分到達(dá)此站 那么那么 X X 服從區(qū)間服從區(qū)間 0 , 30 0 , 30 上的

11、均勻分上的均勻分 布布 例例3 3續(xù)續(xù) 10152530P BPXPX 令：B = 候車(chē)時(shí)間不超越5分鐘 1 3 = = 1530 1025 11 3030 dxdx 2.2.指數(shù)分布指數(shù)分布(Exponential (Exponential 分分 布布) ) E 對(duì)正常數(shù)對(duì)正常數(shù) , , 假設(shè)假設(shè) X X 的密度是的密度是 ,0 0,0 x ex fx x 那么稱(chēng)那么稱(chēng)X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布 XE 記作記作 . ,0 . 0, 0 , 0,e 1 )( 分布分布 的指數(shù)的指數(shù)服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱(chēng)則稱(chēng)為常數(shù)為常數(shù)其中其中 的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連

12、續(xù)型隨機(jī)變量定義定義 X x x xf X x 指數(shù)分布的另一種等價(jià)定義指數(shù)分布的另一種等價(jià)定義 指數(shù)分布密度指數(shù)分布密度 函數(shù)圖形演示函數(shù)圖形演示 N tPt 0 , t N t例例4 4 設(shè)時(shí)間設(shè)時(shí)間 內(nèi)有內(nèi)有 粒子放射出來(lái)粒子放射出來(lái), , 設(shè)設(shè)X X 為第一個(gè)粒子發(fā)射出來(lái)的時(shí)辰，那么為第一個(gè)粒子發(fā)射出來(lái)的時(shí)辰，那么 0XtN t 0 0 0! t t P XtP N t t e e 0ab對(duì)任何對(duì)任何 有有 111 ab b x a P aXbP XaP Xb ee edx x fxe 即即X X 的概率密度為的概率密度為 例例4 4續(xù)續(xù) 正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉

13、由高斯由高斯(Gauss)(Gauss)加以推行，加以推行， 所所 以通常稱(chēng)為高斯分布以通常稱(chēng)為高斯分布 德莫佛德莫佛 德莫佛德莫佛De Moivre)De Moivre)最早最早 發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)分布的一個(gè)近似公發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)分布的一個(gè)近似公 式，這一公式被以為是正態(tài)分式，這一公式被以為是正態(tài)分 布的初次露面布的初次露面 3. 3. 正態(tài)分布正態(tài)分布(Normal (Normal 分布分布) ) 2 ,N 正態(tài)分布高斯分布正態(tài)分布高斯分布 2 2 2 1 exp 2 2 x fx xR 設(shè)設(shè) 是常數(shù)是常數(shù), , 是正常數(shù)是正常數(shù). .假設(shè)假設(shè) X 的密度是的密度是 2 , 那么稱(chēng)那么稱(chēng)X X 服從參數(shù)

14、為服從參數(shù)為 的正態(tài)分布的正態(tài)分布, , 2 ,XN 記作記作 正面圖案：德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)正面圖案：德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué) 家和天文學(xué)家高斯頭像家和天文學(xué)家高斯頭像 正態(tài)分布密度函數(shù)演示正態(tài)分布密度函數(shù)演示 正態(tài)分布是運(yùn)用最廣泛、最重要的一種正態(tài)分布是運(yùn)用最廣泛、最重要的一種 延續(xù)型分布延續(xù)型分布 正態(tài)分布的概率背景與運(yùn)用正態(tài)分布的概率背景與運(yùn)用 例如例如:某地的年降雨量某地的年降雨量; 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等; 丈量誤差丈量誤差, 如射擊目的的程度或垂直偏向如射擊目的的程度或垂直偏向; 信號(hào)噪聲信號(hào)噪聲, 等等等等 都服從或近似服從正態(tài)分布都服從或近似服從

15、正態(tài)分布 這是用上海這是用上海19991999年年降雨量的數(shù)據(jù)年年降雨量的數(shù)據(jù) 畫(huà)出的頻率直方圖畫(huà)出的頻率直方圖 從直方圖可以初步看出，年降雨量從直方圖可以初步看出，年降雨量 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布 年降雨量問(wèn)題年降雨量問(wèn)題 這是用某大學(xué)男大學(xué)生的身高的這是用某大學(xué)男大學(xué)生的身高的 數(shù)據(jù)畫(huà)出的頻率直方圖數(shù)據(jù)畫(huà)出的頻率直方圖 紅線是擬紅線是擬 合的正態(tài)合的正態(tài) 密度曲線密度曲線 可見(jiàn)，某大學(xué)男大學(xué)生的身高可見(jiàn)，某大學(xué)男大學(xué)生的身高 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 身高問(wèn)題身高問(wèn)題 此外，人的身高高低不等，但中等身體此外，人的身高高低不等，但中等身體 的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且的占

16、大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且 較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個(gè)方面較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個(gè)方面 反映了服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特點(diǎn)反映了服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特點(diǎn) 身高問(wèn)題續(xù)身高問(wèn)題續(xù) 正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見(jiàn)正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見(jiàn) 的分布之一，大量的隨機(jī)景象都是服從或近的分布之一，大量的隨機(jī)景象都是服從或近 似服從正態(tài)分布的可以證明，假設(shè)一個(gè)隨似服從正態(tài)分布的可以證明，假設(shè)一個(gè)隨 機(jī)目的遭到諸多要素的影響，但其中任何一機(jī)目的遭到諸多要素的影響，但其中任何一 個(gè)要素都不起決議性作用，那么該隨機(jī)目的個(gè)要素都不起決議性作用，那么該隨機(jī)目的 一定服從或近似服

17、從正態(tài)分布一定服從或近似服從正態(tài)分布 正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì) 是其它許多分布所不具備的是其它許多分布所不具備的 正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布 說(shuō)說(shuō) 明明 有些分布有些分布 ( (如二項(xiàng)分布、泊松分布如二項(xiàng)分布、泊松分布) )的極的極 限分布是正態(tài)分布限分布是正態(tài)分布. .所以所以, ,無(wú)論在實(shí)際中無(wú)論在實(shí)際中, ,還是還是 在實(shí)際上在實(shí)際上, ,正態(tài)分布是概率論中最重要的一種正態(tài)分布是概率論中最重要的一種 分布分布 二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換 二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換續(xù)二項(xiàng)分布向正態(tài)分布

18、的轉(zhuǎn)換續(xù) 二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換續(xù)二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換續(xù) 二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換續(xù)二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換續(xù) 正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)分布密度函數(shù)的幾何特征 x 1曲線關(guān)于曲線關(guān)于 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng) ( )f xx 2當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 獲得最大值獲得最大值 1 2 x 3當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ( )0f x 4曲線在曲線在 處有拐點(diǎn)處有拐點(diǎn)x 5曲線以曲線以 x 軸為漸近線軸為漸近線 6當(dāng)固定當(dāng)固定 , 改動(dòng)改動(dòng) 的大小時(shí)，的大小時(shí)， 圖形的外形不變，只是沿著圖形的外形不變，只是沿著 x 軸作軸作 平移變換平移變換 ( )f x 7當(dāng)固定當(dāng)固定 , 改動(dòng)改動(dòng) 的大小時(shí)，的大小時(shí)， 圖形的對(duì)稱(chēng)軸不

19、變，而外形在改動(dòng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸不變，而外形在改動(dòng) ( )f x 越小，圖形越高越瘦；越小，圖形越高越瘦； 越大，圖形越矮越胖越大，圖形越矮越胖 1 0 當(dāng)當(dāng) , , 時(shí)，時(shí)， X 的密度的密度 那么稱(chēng)那么稱(chēng) X X 服從規(guī)范正態(tài)分布，服從規(guī)范正態(tài)分布， 0 ,1XN 記作記作 規(guī)范正態(tài)分布規(guī)范正態(tài)分布 0,1N 2 1 exp 22 x x xR 規(guī)范正態(tài)分布密度函數(shù)演示規(guī)范正態(tài)分布密度函數(shù)演示 1 0 x xedx 4. Gamma 4. Gamma 分布分布 , , 設(shè)設(shè) 是正常數(shù)是正常數(shù), , 由積分由積分 定義定義. . 假設(shè)假設(shè) X X 的密度是的密度是 1 ,0 0,0 x xex

20、fx x , 那么稱(chēng)那么稱(chēng)X服從參數(shù)服從參數(shù) 的的Gamma分布分布, ,X 記作記作 0 00 x ex fx x 這正是參數(shù)為這正是參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布 說(shuō)說(shuō) 明明 E 1, 1 1、當(dāng)、當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 即即 1 此時(shí)此時(shí) 1 22 2 1 0 2 2 00 nx n xex n fx x 2 n 我們稱(chēng)此分布為自在度為我們稱(chēng)此分布為自在度為 n n 的的 分布，記作分布，記作 . . 它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中 重要的分布之一重要的分布之一 2 1 2 2 2、假設(shè)、假設(shè) ， ，其中，其中 n n 為為 自然數(shù)，那么有自然數(shù)，那么有 2 n 2.4 2.4 概率分布函數(shù)概率分

21、布函數(shù)( (一一) ) 一概率分布函數(shù)的概念與性質(zhì)一概率分布函數(shù)的概念與性質(zhì) 對(duì)于隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量 X, 我們不僅要知道我們不僅要知道 X取哪些值取哪些值, 還要知道還要知道 X 取這些值的概率取這些值的概率 ; 而且更重要的是想而且更重要的是想 知道知道 X 在恣意有限區(qū)間內(nèi)取值的概率在恣意有限區(qū)間內(nèi)取值的概率 , , k k Xa b P Xa bp 假設(shè)假設(shè) X 是離散型隨機(jī)變量，那么是離散型隨機(jī)變量，那么 ,Xa b 計(jì)算事件計(jì)算事件 的概率的概率例如例如 分析分析 , b a P Xa bfx dx 假設(shè)假設(shè) X 是延續(xù)型隨機(jī)變量，那么是延續(xù)型隨機(jī)變量，那么 ,P Xa bP a

22、Xb P XbP Xa 更普通地，無(wú)論是離散型還是延續(xù)型，更普通地，無(wú)論是離散型還是延續(xù)型， 以致其它類(lèi)型的隨機(jī)變量以致其它類(lèi)型的隨機(jī)變量 ,Xa b 對(duì)事件對(duì)事件 的概率，都有的概率，都有 為了對(duì)不同類(lèi)型的隨機(jī)變量給出一種為了對(duì)不同類(lèi)型的隨機(jī)變量給出一種 一致的描畫(huà)方法，我們引進(jìn)分布函數(shù)的概一致的描畫(huà)方法，我們引進(jìn)分布函數(shù)的概 念念 F xP Xx ( )F a 現(xiàn)實(shí)上，假設(shè)我們定義現(xiàn)實(shí)上，假設(shè)我們定義 那么上述概率那么上述概率 ,P Xa bP aXb P XbP Xa ( )F b分布分布 函數(shù)函數(shù) 即即 ,P Xa bF bF a 的概率的概率 ,Xa b F x這樣的這樣的 可以協(xié)助

23、我們計(jì)算可以協(xié)助我們計(jì)算 顯然，我們看到顯然，我們看到 下面給出概率分布函數(shù)的定義下面給出概率分布函數(shù)的定義 定義定義 4.1 4.1 對(duì)隨機(jī)變量X, 稱(chēng) x 的函數(shù) F xP Xx x 為為 X 的概率分布函數(shù)的概率分布函數(shù), 簡(jiǎn)稱(chēng)為分布函數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)為分布函數(shù) 0 0 xx X 分布函數(shù)的概念分布函數(shù)的概念 說(shuō)說(shuō) 明明 1 1、分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是經(jīng)過(guò)、分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是經(jīng)過(guò) 它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來(lái)研討隨機(jī)它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來(lái)研討隨機(jī) 變量變量 2、 假設(shè)將假設(shè)將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)， 那么分布函數(shù)那么分布函數(shù) F (x)

24、的值就表示的值就表示 X 落在區(qū)間落在區(qū)間 的概率的概率(, x 3 3、對(duì)于恣意的實(shí)數(shù)、對(duì)于恣意的實(shí)數(shù) x1 , x2 (x1 x1 , x2 (x1 x2) x2) ，有，有 1221 21 ()() P xXxP XxP Xx F xF x x 1 x 2 x x X o o 因此，只需知道了隨機(jī)變量因此，只需知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描畫(huà)它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描畫(huà) 分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì) 分布函數(shù)分布函數(shù) F (x) F (x) 具有以下根本性質(zhì)具有以下根本性質(zhì) 10 F (x) 10 F (x) 是一個(gè)單調(diào)不減的函是一個(gè)單調(diào)不減

25、的函 數(shù)數(shù) 1212 ()(),()F xF xxx即即 20200( )1, ()lim( )0;( )lim( )1 xx F x FF xFF x 且且 30 30 (0)( ),( )F xF xF x 即即 右延續(xù)右延續(xù) 注注 : 假設(shè)一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，那么假設(shè)一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，那么 一定是某個(gè)隨機(jī)變量一定是某個(gè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 也就是說(shuō)，上述三條性質(zhì)是鑒別一個(gè)也就是說(shuō)，上述三條性質(zhì)是鑒別一個(gè) 函數(shù)能否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的函數(shù)能否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的 充分必要條件充分必要條件 試闡明試闡明 F (x) F (x) 能否是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)能否是

26、某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 例例1 1 設(shè)設(shè) sin,0 ( ) 0, xx F x 其其它它 解解: : 留意到函數(shù)留意到函數(shù) F (x) F (x) 在在 上下降，上下降， 不滿足性質(zhì)不滿足性質(zhì)(1)(1)，故，故F (x)F (x)不能是分布函數(shù)不能是分布函數(shù) ,2 不滿足性質(zhì)不滿足性質(zhì)(2)(2)， 可見(jiàn)可見(jiàn) F (x) F (x) 也不能是也不能是 分布函數(shù)分布函數(shù). . 或者或者0)(lim)( xFF x 0F aF a P XaP XaP Xa P aXbP XbP Xa F bF a 用分布函數(shù)計(jì)算某些事件的概率用分布函數(shù)計(jì)算某些事件的概率 P aXbP XbP Xa 0F bF a P aXbP XbP Xa 0F bF a P aXbP XbP Xa 00F bF a 前往主目錄前往主目錄 1 1 P XbP Xb F b 1 10 P XbP Xb F b 8 1 8 3 8 3 8 1 3210 p X X 的分布列為的分布列為 解解: 13,5.5PXP X 例例2 2 將一枚硬幣拋擲三次，將一枚硬幣拋擲三次，X X表示三次中正面表示三次中正面 出現(xiàn)的次數(shù)，求出現(xiàn)的次數(shù)，求 X X 的分布列及分布函數(shù)；并的