排列組合綜合應用問題

1、 引入：引入：前面我們已經(jīng)學習和掌握了排列組合問題前面我們已經(jīng)學習和掌握了排列組合問題 的求解方法，下面我們要在復習、鞏固已掌握的方的求解方法，下面我們要在復習、鞏固已掌握的方 法的基礎上，學習和討論排列、組合的綜合問題。法的基礎上，學習和討論排列、組合的綜合問題。 和應用問題。和應用問題。 問題：解決排列組合問題一般有哪些方法？應注問題：解決排列組合問題一般有哪些方法？應注 意什么問題？意什么問題？ 解排列組合問題時，當問題分成互斥各類時，根解排列組合問題時，當問題分成互斥各類時，根 據(jù)加法原理，可用據(jù)加法原理，可用分類法分類法；當問題考慮先后次序時，；當問題考慮先后次序時， 根據(jù)乘法原理，

2、可用根據(jù)乘法原理，可用位置法位置法；上述兩種稱；上述兩種稱“直接直接 法法”,當問題的反面簡單明了時，可通過求差排除法當問題的反面簡單明了時，可通過求差排除法, 采用采用“間接法間接法”；另外，排列中；另外，排列中“相鄰相鄰”問題可采問題可采 用用捆綁法捆綁法；“分離分離”問題可用問題可用插空法插空法等。等。 解排列組合問題，一定要做到解排列組合問題，一定要做到“不重不重”、“不漏不漏”。 分為三組，一組分為三組，一組5人，一組人，一組4人，一組人，一組3人；人； 分為甲、乙、丙三組，甲組分為甲、乙、丙三組，甲組5人，乙組人，乙組4人，人， 丙組丙組3人；人； 分為甲、乙、丙三組，一組分為甲、

3、乙、丙三組，一組5人，一組人，一組4人，一組人，一組3人；人； 分為甲、乙、丙三組，每組分為甲、乙、丙三組，每組4人；人； 分為三組，每組分為三組，每組4人。人。 例例1：有有12 人。按照下列要求分配，求不同的人。按照下列要求分配，求不同的 分法種數(shù)。分法種數(shù)。 答案答案 C125.C74.C33 C125.C74.C33 C125.C74.C33.A33 C124.C84.C44 分成三組，其中一組分成三組，其中一組2人，另外兩組都是人，另外兩組都是 5人。人。 C122. C105.C55 A22 C124.C84.C44 A33 小結(jié)小結(jié)：練習練習1說明了非平均分配、平均分配以及部分平

4、說明了非平均分配、平均分配以及部分平 均分配問題。均分配問題。 1.非平均分配問題中，沒有給出組名與給出非平均分配問題中，沒有給出組名與給出 組名是一樣的，可以直接分步求；給出了組名組名是一樣的，可以直接分步求；給出了組名 而沒指明哪組是幾個，可以在而沒指明哪組是幾個，可以在沒有給出組名沒有給出組名 （或給出組名但不指明各組多少個）種數(shù)的（或給出組名但不指明各組多少個）種數(shù)的 基礎上基礎上乘以乘以組數(shù)的全排列數(shù)。組數(shù)的全排列數(shù)。 2.平均分配問題中，平均分配問題中，給出組名的分步求；給出組名的分步求；若沒給出組名的，若沒給出組名的， 一定要在給出組名的基礎上一定要在給出組名的基礎上除以除以組數(shù)

5、的全排列數(shù)。組數(shù)的全排列數(shù)。 3.部分平均分配問題中，先考慮不平均分配，剩下的就是部分平均分配問題中，先考慮不平均分配，剩下的就是 平均分配。這樣分配問題就解決了。平均分配。這樣分配問題就解決了。 結(jié)論結(jié)論：給出組名：給出組名(非平均中未指明非平均中未指明 各組個數(shù)）的要在未給出組名的種各組個數(shù)）的要在未給出組名的種 數(shù)的基礎上，乘以組數(shù)的階乘。數(shù)的基礎上，乘以組數(shù)的階乘。 例例2：求不同的排法種數(shù)。求不同的排法種數(shù)。 6男男2女排成一排，女排成一排，2女相鄰；女相鄰； 6男男2女排成一排，女排成一排，2女不能相鄰；女不能相鄰； 4男男4女排成一排，同性者相鄰；女排成一排，同性者相鄰； 4男男

6、4女排成一排，同性者不能相鄰。女排成一排，同性者不能相鄰。 分析：分析： 由由2女捆綁成一人與女捆綁成一人與6男全排列男全排列,再把再把2女全排列，女全排列， 有有A77.A22種種 “捆綁法捆綁法” 把把6男男2女女8人全排列，扣去人全排列，扣去 2 女女“ 相鄰相鄰”就是就是 2女女“ 不相鄰不相鄰”，所以有，所以有A88-A77.A22種。種?！芭懦ㄅ懦ā?還可用還可用“插空法插空法”直接求解：先把直接求解：先把6男全排列，男全排列， 再在再在6男相鄰的男相鄰的7個空位中排個空位中排2女，所以共有女，所以共有A66.A72種種. 分分 離離 排排 列列 問問 題題 思考思考:對于不相

7、鄰的分離排列能否都用對于不相鄰的分離排列能否都用“排除法排除法”?若改若改5男男3 女女 排成一列排成一列,3女不相鄰女不相鄰,用排除法得用排除法得 對嗎對嗎 ? 2 2 5 5 3 3 8 8 AAAA 4男男4女排成一列，同性者相鄰，把女排成一列，同性者相鄰，把4男、男、4女女 捆綁成一個排列，然后同性者之間再全排列，所捆綁成一個排列，然后同性者之間再全排列，所 在地共有在地共有A22.A44.A44種。種?！袄壏ɡ壏ā?同性不相鄰必須男女都排好，即男奇數(shù)位，同性不相鄰必須男女都排好，即男奇數(shù)位， 女偶數(shù)位，或者對調(diào)。女偶數(shù)位，或者對調(diào)。 總排列數(shù)為總排列數(shù)為A22.A44.A44種種

8、。 例例3：某乒乓球隊有某乒乓球隊有8男男7女共女共15名隊員，現(xiàn)進名隊員，現(xiàn)進 行混合雙打訓練，兩邊都必須要行混合雙打訓練，兩邊都必須要1男男1女，共有多女，共有多 少種不同的搭配方法。少種不同的搭配方法。 分析：每一種搭配都需要分析：每一種搭配都需要2男男2女，所以先要選出女，所以先要選出 2男男2女，有女，有C82.C72種；種； 然后考慮然后考慮2男男2女搭配，有多少種方法？女搭配，有多少種方法？ 男女男女-男女男女 Aa-Bb Ab-Ba Bb-Aa Ba-Ab 顯然：顯然： 與與； 與與在在 搭配上是一樣的。所以搭配上是一樣的。所以只有只有2 種方法，種方法，所以總的搭配方法所以總

9、的搭配方法 有有2 C82.C72種。種。 搭搭 配配 問問 題題 先組后排先組后排 1. 高二要從全級高二要從全級10名獨唱選手中選出名獨唱選手中選出6名在歌詠會名在歌詠會 上表演，出場安排甲，乙兩人都不唱中間兩位的上表演，出場安排甲，乙兩人都不唱中間兩位的 安排方法有多少種？安排方法有多少種？ 611524 824848 (AC A AA A種） （一）（一）.有條件限制的排列問題有條件限制的排列問題 例例1：5個不同的元素個不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。每次取全排列。 a,e必須排在首位或末位，有多少種排法？必須排在首位或末位，有多少種排法？ a,e既不在首位也不在末位，有

10、多少種排法？既不在首位也不在末位，有多少種排法？ a,e排在一起多少種排法？排在一起多少種排法？ a,e不相鄰有多少種排法？不相鄰有多少種排法？ a在在e的左邊（可不相鄰）有多少種排法？的左邊（可不相鄰）有多少種排法？ 解：解： （解題思路）分兩步完成，把（解題思路）分兩步完成，把a,e排在首末兩排在首末兩 端有端有A22種，再把其余種，再把其余3個元素排在中間個元素排在中間3個位置有個位置有A33種。種。 由乘法共有由乘法共有A22. A33=12(種種)排法。排法。 優(yōu)優(yōu)先先法法 解：解： 先從先從b,c,d三個選其中兩個三個選其中兩個 排在首末兩位，有排在首末兩位，有A32種，然后把剩下

11、的一個與種，然后把剩下的一個與a,e 排在中間三個位置有排在中間三個位置有A33種，由乘法原理種，由乘法原理: 共有共有A32. A33=36種排列種排列. 間接法：間接法： A55- 4A44+2A33（種）排法。（種）排法。 解：解：捆綁法：捆綁法：a,e排在一起，可以將排在一起，可以將a,e看成看成 一個整體一個整體,作為一個元素與其它作為一個元素與其它3個元素全排列，有個元素全排列，有 A44種；種； a,e兩個元素的全排列數(shù)為兩個元素的全排列數(shù)為A22種，由乘法原種，由乘法原 理共有理共有A44. A22(種種)排列。排列。 解：解：排除法：排除法：即用即用5個元素的全排列數(shù)個元素的

12、全排列數(shù)A55，扣除，扣除 a,e排在一起排列數(shù)排在一起排列數(shù)A44. A22，則，則a,e不相鄰的排列總數(shù)不相鄰的排列總數(shù) 為為A55- A44. A22（種）（種） 插空法插空法：即把：即把a,e以外的三個元素全排列有以外的三個元素全排列有A33種，種， 再把再把a,e插入三個元素排定后形成的插入三個元素排定后形成的4個空位上有個空位上有A42 種，由乘法原理共有種，由乘法原理共有A33. A42 (種種) 解解: a在在e的左邊的左邊(可不相鄰可不相鄰)，這表明，這表明a,e只有一種順只有一種順 序，但序，但a,e間的排列數(shù)為間的排列數(shù)為A22，所以，可把，所以，可把5個元素全排個元素全

13、排 列得排列數(shù)列得排列數(shù)A55，然后再除以，然后再除以a,e的排列數(shù)的排列數(shù)A22。所以共。所以共 有排列總數(shù)為有排列總數(shù)為A55 / A22（種）（種） 注意：若是注意：若是3個元素按一定順序，則必須除以排列數(shù)個元素按一定順序，則必須除以排列數(shù) P33。 例例2：已知集合已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9 求含有求含有5個元素，且其中至少有兩個是偶數(shù)的子個元素，且其中至少有兩個是偶數(shù)的子 集的個數(shù)。集的個數(shù)。 （二）有條件限制的組合問題：（二）有條件限制的組合問題： 解法解法1：5個元素中至少有兩個是偶數(shù)可分成三類：個元素中至少有兩個是偶數(shù)可分成三類： 2個偶數(shù)，個偶數(shù)，3個奇數(shù)

14、；個奇數(shù)；3個偶數(shù)，個偶數(shù)，2個奇數(shù)；個奇數(shù)；4個偶數(shù)，個偶數(shù)， 1個奇數(shù)。所以共有子集個數(shù)為個奇數(shù)。所以共有子集個數(shù)為 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105 解法解法2：從反面考慮，全部子集個數(shù)為從反面考慮，全部子集個數(shù)為P95，而不符合條件，而不符合條件 的有兩類：的有兩類： 5 個都是奇數(shù)；個都是奇數(shù)；4個奇數(shù)，個奇數(shù)，1個偶數(shù)。所以個偶數(shù)。所以 共有子集個數(shù)為共有子集個數(shù)為C95-C55-C54.C41=105 下面解法錯在哪里下面解法錯在哪里? 例例2：已知集合已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9 求含有求含有5個元素，且其中至少有兩個是偶數(shù)的子個元素，且

15、其中至少有兩個是偶數(shù)的子 集的個數(shù)。集的個數(shù)。 至少有兩個偶數(shù)，可先由至少有兩個偶數(shù)，可先由4個偶數(shù)中取個偶數(shù)中取2個偶數(shù)，個偶數(shù)， 然后再由剩下的然后再由剩下的7個數(shù)中選個數(shù)中選3個組成個組成5個元素集合且滿足至個元素集合且滿足至 少有少有2個是偶數(shù)。成以共有子集個是偶數(shù)。成以共有子集C42.C73=210(個個) 用用“具體排具體排”來看一看是否重復，如來看一看是否重復，如C42中的一種選法是：選中的一種選法是：選4 個偶數(shù)中的個偶數(shù)中的2，4，又，又C73中選剩下的中選剩下的3個元素不個元素不6，1，3組成集組成集 合合2，4，6，1，3，；再看另一種選法：由；再看另一種選法：由C42

16、中選中選4個偶數(shù)中個偶數(shù)中 的的4，6，又，又C73中選剩下的中選剩下的3個元素不個元素不2，1，3組成集合組成集合4，6， 2，1，3。顯然這是兩個相同和子集，所以重復了。重復的原。顯然這是兩個相同和子集，所以重復了。重復的原 因是分類不獨立。因是分類不獨立。 （三）排列組合混合問題：（三）排列組合混合問題： 例例3：從從6名男同學和名男同學和4名女同學中，選出名女同學中，選出3名男同名男同 學和學和2名女同學分別承擔名女同學分別承擔A，B，C，D，E5項工作。項工作。 一共有多少種分配方案。一共有多少種分配方案。 解解1：分三步完成，分三步完成，1.選選3名男同學有名男同學有C63種，種，

17、2.選選 2名女同學有名女同學有C42種，種，3.對選出的對選出的5人分配人分配5種不同的種不同的 工作有工作有A55種，根據(jù)乘法原理種，根據(jù)乘法原理C63.C42.A55=14400(種種). 例例3：從從6名男同學和名男同學和4名女同學中，選出名女同學中，選出3名男同名男同 學和學和2名女同學分別承擔名女同學分別承擔A，B，C，D，E5項工作。項工作。 一共有多少種分配方案。一共有多少種分配方案。 解解2：把把工作當作元素，同學看作位置工作當作元素，同學看作位置，1.從從5種種 工作中任選工作中任選3種（組合問題）分給種（組合問題）分給6個男同學中的個男同學中的3人人 （排列問題）有（排列

18、問題）有C53.A63種種,第二步第二步,將余下的將余下的2個工作分給個工作分給 4個女同學中的個女同學中的2人有人有A42種種.根據(jù)乘法原理共有根據(jù)乘法原理共有C53.A63. A42=14400(種種). 亦可先分配給女同學工作亦可先分配給女同學工作,再給男同學分配工作再給男同學分配工作,分配分配 方案有方案有C52 . A42.A63=14400(種種). 2 21 11 11 1 8 82 27 77 7 2 2( (A A + +C C C C C C ) ) 1 12 2 7 77 7 C C A A 2 21 11 11 1 8 82 27 77 7 2 2( (A A+ + C

19、 C C C C C ) ) 1 12 2 7 77 7 C C A A 排列組合應用題與實際是緊密相連的，但思排列組合應用題與實際是緊密相連的，但思 考起來又比較抽象?？计饋碛直容^抽象?！熬唧w排具體排”是抽象轉(zhuǎn)化為是抽象轉(zhuǎn)化為 具體的橋梁，是解題的重要思考方法之一。具體的橋梁，是解題的重要思考方法之一。 “具體排具體排”可以幫助思考，可以找出重復，遺可以幫助思考，可以找出重復，遺 漏的原因。有同學總結(jié)解排列組合應用題的方漏的原因。有同學總結(jié)解排列組合應用題的方 法是法是“ 想透，排夠不重不漏想透，排夠不重不漏” 是很有道理的。是很有道理的。 解排列組合應用題最重要的是，通過分析構(gòu)想設計解排列

20、組合應用題最重要的是，通過分析構(gòu)想設計 合理的解題方案，在這里抽象與具體，直接法與間接合理的解題方案，在這里抽象與具體，直接法與間接 法，全面分類與合理分步等思維方法和解題策略得到法，全面分類與合理分步等思維方法和解題策略得到 廣泛運用。廣泛運用。 典型例題典型例題 1. 4名優(yōu)等生被保送到名優(yōu)等生被保送到3所學校，每所學校，每所學校至少所學校至少 得得1名，則不同的保送方案總數(shù)為（名，則不同的保送方案總數(shù)為（ ）。）。 （A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 2.若把英語單詞若把英語單詞“error”中字母的拼寫順序?qū)戝e了，則可能中字母的拼寫順序?qū)戝e了，則可能 出現(xiàn)的錯誤的種數(shù)是（出現(xiàn)的錯誤的種數(shù)是（ ） （A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 3.小于小于50000且含有兩個且含有兩個5，而其它數(shù)字不重復的五位數(shù)，而其它數(shù)字不