湖南省2017年普通高等學(xué)校對(duì)口招生考試數(shù)學(xué)試卷.doc

1、湖南省 2017 年普通高等學(xué)校對(duì)口招生考試數(shù)學(xué)試題 ( 附答案 )本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分. 時(shí)量 120 分鐘. 滿分 120 分一、選擇題 （每小題4 分，共 40 分每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合 A1,2, B2，3,4 ,則 AB 等于【答案】 DA. 2B. 2，3,4C.1,3,4D.1,2,3,41(1)22.已知 a23， b2 2 ， c, 則 a,b,c 的大小關(guān)系為【答案】 B2A a b cB a c bC b a cD c b a3.已知 cos1 ,0,，則 sin【答案】 A2A 3B31D12C2224.已知兩條直線yax2和

2、y (a2) x 1互相垂直，則 a【答案】 DA 2B 1C 0D15.下列函數(shù)中，在區(qū)間0,上單調(diào)遞增的是【答案】 CA. ysin xB.y1C. yx2D.y log 1 xx36.已知函數(shù)f ( x) 的定義域?yàn)?R，則“ f ( x) 為偶函數(shù)”是“ f (1)f (1) ”的 【答案】 CA 充分必要條件B 必要不充分條件C 充分不必要條件D 既不充分也不必要條件7.不等式 x25x60 的解集是【答案】 DA x x 2B x x 3C x x 2或 x 3D x 2 x 38.設(shè) l、 m 是兩條不同的直線，是平面，則下列命題正確的是【答案】 BA 若 lm, m，則 lB

3、若 l, m / l ，則 mC若 l /,m，則 m/ lD若 l /, m / ，則 m / l9.從 1,2,3,4,5,6,7,8,9這 9 個(gè)數(shù)中取2 個(gè)不同的數(shù)，使其和為偶數(shù)，則不同的取法共有A. 72種 B.36 種C. 32種D. 16種【答案】 D10在三棱錐 PABC中， PA，PB，PC 兩兩互相垂直，且 PA=PB=PC=1 ，則該三棱錐的體積為【答案】 A111D 1A B C632二、填空題 （本大題共5 小題，每小題4 分，共20 分）11、在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的10 名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆撼煽?jī) /m1.501.601.651.70人數(shù)224

4、2則這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的平均數(shù)是_ （ m）【答案】 1.6212若直線kxy 60（ x 1)2( y2)24 的圓心，則k _經(jīng)過(guò)圓【答案】 413函數(shù) f x1 2 cos x 的最小值為【答案】114. 若關(guān)于 x 的不等式 2x b3 的解集為 x 3x0 ，則 b【答案】 315. 若雙曲線 x 2y21(a0,b 0) 上存在四點(diǎn) A ，B ， C， D，使四邊形 ABCD 為正方a 2b2形，則此雙曲線的離心率的取值范圍為【答案】2，三、解答題 （本大題共7 小題，其中第21， 22 題為選做題滿分60分解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）16. （本小題滿分 10 分）已知

5、函數(shù)f x2 log a ( x5)1(a0,且 a1), f ( 1)1 .（ I ）求 a 的值，并寫(xiě)出f x 的定義域；（ II ）當(dāng) x4,11 時(shí)，求 f x 的取值范圍解：（ I ）依題意，有：f12log a ( 15)11，解得： a4 ，由 x50得 x5 a4 ， f x 的定義域?yàn)椋?，）（ II ）由（ 1）得： fx2log 4 (x5)1 41, f x2 log 4 (x5)1為增函數(shù)，而 f ( 4)2log 4 1 11, f (11) 2log4161413當(dāng) x4,11 時(shí)， fx 的取值范圍為1,3 17. （本小題滿分 10 分）某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊3 次

6、，每次射擊擊中目標(biāo)的概率為2 ，求：3（ I）3 次射擊都擊中目標(biāo)的概率；（ II ）擊中次數(shù)的分布列解：238（I） P(3) （3）270123（ II ）隨機(jī)變量的分布列為：1248P27992718. （本小題滿分 10 分）已知數(shù)列an 為等差數(shù)列，若 a11, a3a2a1 ，求：（ I）求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；（ II）設(shè) bnan(1 ) an，求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 Sn 2（I ）設(shè)數(shù)列 an的首項(xiàng)為 a1 ，公差為 d ，依題意，有：解：a11a11, an a1 (n 1)d na12da1da1d 1,數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 ann ；（ II） bnan(1 a

7、n1n)=n （ ）221 11nn(n1)1n222n 2）1 Sn1（ n2212219. （本小題滿分10 分）已知向量 a(1, m) ，向量 b(2,3)（ I）若 a/b ，求m的值；（II）若ab（的值，求3a) (b3a)解：（ 1）由 a / b 得： 2m3 ，m32（2）由 ab 得 3m 20m23（3a)（31，2）(b 3a)（）（ ，）（=（3， 2）2,3 321,5）3（3a) (b 3a)3 （1）（2）5 1320. （本小題滿分 10 分）已知拋物線 C : y 22 px 的焦點(diǎn)為 F 2,0 .（ I ）求拋物線C 的方程；（ II ）過(guò)點(diǎn) M （

8、1,2）的直線l 與 C 相交于A, B兩點(diǎn)，且M 為AB的中點(diǎn)，求直線l 的方程解：（ I ）拋物線C : y 22 px 的焦點(diǎn)為F 2,0，p2 ，解得p4 ，2故拋物線 C 的方程為：y 28x ；（ 2）設(shè) A（ x1， y1) 、 B（ x2，y2 )，則依題意有 x1x22，y1y24易知若 直線 l 的斜率不存在，則直線方程為x 1，此時(shí) y1y204 ，不合題意，y128x1228( x)yy8由得： yy2x即12y228x2112x1x2y1y2klk ABy1y2882x1x2y1y24直線 l 的方程為2xy0注意：第21 題， 22 題為選做題，請(qǐng)考生選擇其中一題作

9、答21（本小題滿分10 分）已知a, b, c，分別為ABC 內(nèi)角A，B，C 的對(duì)邊，已知c22ab ，（I）若 C90，且 a1，求ABC 的面積 ；（ II）若 sin A sinC ，求 cosC 的值解：（I ）由C 90 ，且 a 1，則 a2b2c 2 ，又 c22abb 22b1 0 ，解得 b1S ABC1 ab122（ II）由正弦定理acsin Aa ，sin A sin Csin Cc又 sin AsinC ， ac ，又 c22ab ac2b由余弦定理得： cosCa2b 2c 2b212ab2ab422某公司有 40 萬(wàn)元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，按要求對(duì)項(xiàng)目甲的投資不小于對(duì)乙項(xiàng)目投資的 1 倍，且對(duì)每個(gè)項(xiàng)目的投資都不能低于5 萬(wàn)元。對(duì)項(xiàng)目甲每投資1 萬(wàn)元可獲得 0.23萬(wàn)元的利潤(rùn)，對(duì)項(xiàng)目乙每投資 1 萬(wàn)元可獲得 0.3 萬(wàn)元的利潤(rùn)。 問(wèn)：該公司如何規(guī)劃投資，才能使公司獲得的總利潤(rùn)最大？ 解 設(shè)投入甲、乙項(xiàng)目分別為x 萬(wàn)元， y萬(wàn)元，公司獲利為Z 萬(wàn)元，則z0.2x0.3yxy