圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的充要條件的行列式證明

1、圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的充要條件的行列式證明62中.7擻.7(2021年第1期.高中版).教學(xué)隨筆.圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的充要條件的行列式證明545006廣西柳州高級(jí)中學(xué)吳佐慧430062湖北大學(xué)數(shù)學(xué)系劉合國(guó)本文是1的繼續(xù).在1中,我們利用四階行列式的特征證明了下面的定理.定理設(shè)a(acoso,bsinoi)(=1,2,3,4;0<2叮r)22是橢圓+=1(其中06)上互異四點(diǎn),那么四點(diǎn)共圓ul,的充要條件是l+02+03+=21t,4,tr,6tr.自然地,我們依次討論拋物線,雙曲線上四點(diǎn)共圓的情況.現(xiàn)在,我們?nèi)杂?的方法來(lái)證明如下的定理.值得指出的是,從我們得到的結(jié)果出發(fā),能夠推出已有的相

2、關(guān)結(jié)果.定理1如果a(,y1)(i=1,2,3,4)是拋物線=2px(p>o)上(按逆時(shí)針?lè)较?互異的四點(diǎn),那么這四個(gè)點(diǎn)共圓的充要條件是,.+),4=0.證明必要性如果a.,a:,a,a4四點(diǎn)共圓,由引理1可以得到1l121314yl2l),2y4:=0.又因?yàn)?=(=1,2,3,4),所以1露l1x213141l121314yl+.y2x22+2px2y3;+23y4:+242lyl戈:y2y3:y=0.1茹1yi2l121x3;1y42再由四階行列式的性質(zhì)可以得到,1y2-yly3-yl一yi進(jìn)而,似13+l1ixlly3+1y4+yl1y2-yly3y了一1=0.,t一.歷i而1:

3、x3-x2y.3.+.y.ty.2.+y11-x,2歷y一2+yt=0,歷1.,2+1,.)=(-4-x:)(麗1麗1:再結(jié)合.i=2px(:1,2,3,4)化簡(jiǎn)可得yi=0.至此證明了必要性;充分性,反之亦然.定理2如果a(,y)(f-1,2,3,4)是拋物線,2=(p>0)上(按逆時(shí)針?lè)较蚓€以及圓的對(duì)稱性可得,必須k從,kact,都存在,并且都不為零.并且當(dāng)a(,y)(=1,2,3,4)四點(diǎn)共圓時(shí),如果相鄰兩點(diǎn),如,與:的橫坐標(biāo)相等,那么必有剩下兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)也相等.下面我們只討論(fj=1,2,3,4)的情況.我們有下面的定理.?教學(xué)隨筆?中7擻-?(2ol1年第1期?高中版)63從

4、一個(gè)案例引發(fā)對(duì)怒題教學(xué)的思考316211浙江省岱山縣東沙中學(xué)周斌前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家?jiàn)W涅加相說(shuō)過(guò)必須重視很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其教學(xué)功能,開(kāi)展功能和教育功能的可能性.習(xí)題是教學(xué)必不可少的載體,認(rèn)真鉆研習(xí)題,拓展其教學(xué)功能,不僅是教師組織教學(xué)探究的重要素材,也是學(xué)生高考復(fù)習(xí)的有效途徑之一,更是減輕學(xué)生負(fù)擔(dān),跳出題海的重要渠道.本文將要談到2021年的一道高考選擇題,它屬于中檔常規(guī)題,但在學(xué)生的解法中,我們可以發(fā)現(xiàn)很多問(wèn)題.我們?cè)噲D把這一道普通的題目作為一個(gè)典型案例,從學(xué)生的各種求解思路中,努力發(fā)現(xiàn)一些我們解題教學(xué)中存存的一些問(wèn)題,并積累起根本解題教學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).試題展現(xiàn)例1(2021年安徽高考數(shù)學(xué)理

5、科第l0題)設(shè)口是任意等比數(shù)列,它的前n項(xiàng)和,前2n項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和分別為,y,z,那么以下等式中恒成立的是a.x+z=2yb.y(y-=z(z一c.=d.y(y_=x(z-x)這是一道數(shù)列求解題,目的是考查學(xué)生對(duì)等比數(shù)列的性質(zhì)理解和根本的運(yùn)算變形等方法,不過(guò),類似的題目早已出現(xiàn)過(guò),請(qǐng)看以下兩個(gè)例子.例2(2021年遼寧高考理科第6題)設(shè)等比數(shù)列cc的前n項(xiàng)和為s,假設(shè)=3,那么=36a.2b.7c.)32614y4(1+b2)26=01lyl12y2;13y32314y4:再由四階行列式的性質(zhì)直接計(jì)算可得(42)kl3=(32)l4+(3).il2.于是證明了必要性;充分性,反之亦然.在計(jì)算

6、行列式的過(guò)程中減去不同的行,我們還可以得到以下充要條件(x3-x1)ku=(41)23+(3一)后l2或().3:(.)+(.),或(31)k24=x32)l4+(21)k34.此充要條件表達(dá)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)品嘗到數(shù)學(xué)的濃濃的趣味.從以上可以看出行列式雖然是高中選修的內(nèi)容,但它同時(shí)也是高中與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接.用行列式的一些性質(zhì)同樣可以解決相應(yīng)的問(wèn)題,并且能夠使證明過(guò)程非常地自然,容易被學(xué)生理解與接受.這樣也可以激發(fā)學(xué)生的求知欲,引導(dǎo)學(xué)生去對(duì)新知識(shí)進(jìn)行探索.參考文獻(xiàn)1吳佐慧,劉合國(guó).橢圓上四點(diǎn)共圓的充要條件的行列式證明j.中學(xué)數(shù)學(xué),2021,62姬士學(xué),王恩權(quán).拋物線上四點(diǎn)共圓的一個(gè)充要條件j.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊(蘇州