極坐標系下兩點距離公式的發(fā)現(xiàn)與應用之歐陽音創(chuàng)編

1、極坐標系下兩點距離公式的發(fā)明與應用時間:2021.03. 11創(chuàng)作：歐陽音王立保米脂中學數(shù)學教研組，陜西 米脂718100 摘要：距離是幾何學研究的主要內(nèi)容之一。平面直 角坐標系中的兩點距離公式在解析幾何中有著極其 廣泛的應用。在選修44中，教材內(nèi)容沒有提出極坐 標系下的兩點距離公式，筆者發(fā)明了它，并在課后 習題以及高考試題中得以應用。關鍵詞：高考；極坐標；兩點距離公式在平面解析幾何里，兩點距離公式是最基本的公 式，有著極其廣泛的應用。特別是研究圓錐曲線的 軌跡方程上表示尤為突出。從開始，高考數(shù)學全國卷選做題22題，已由原 來的三選一釀成了二選一。如此一來，選修44的分 值明顯增加，極坐標的相

2、關知識占其中一半。在求 極坐標下的曲線軌跡方程問題上，課本的例題中， 往往是在曲線上構(gòu)造直角三角形或一般三角形，利 用直角三角形內(nèi)的三角運算或正余弦定理構(gòu)造等量 關系來處理，難度比較年夜。筆者在教學中，不經(jīng)意發(fā)明了極坐標系下的兩 點距離公式。利用公式來處理相關問題就便利多了。 一.公式以及證明若a,b兩點的極坐標辨別為（丹q）s，&2）（無 妨取門0,處0,2龍）貝I|ab|J- 2pp卩osi q_&2）證明：（1）如圖一，那時年2,= g + pj2ppOSQ 二 J加 +2ps 二 J（p泌尸二| 口-加，這顯然是正確的。如圖二，那時HR,|二 JP： + pj - 2ppOS兀-jp：

3、 +亦+2口門二 JS+2）2 二 h+cFo+R,這顯然也是正確的。（3）如圖三，當不是1,2兩種特殊情況時，點A、點 B、極點0三點一定能構(gòu)成一個三角形，由三角形的 余弦定理可知,|AB|2 =OA+OB-2OAOBcosZAOB , 即 AB=S+P 2PP（OS q-q）特別說明：在一中，cosZAOB二cos （q-q） 二cos（q-q）;在（3）二中,cos ZA0B二cos 2龍(0.-0. ) =COS (&-$)；證完.二應用例1.人教版選修44第15頁習題1.3第2題：求 適合下列條件的圖形的極坐標方程。(3)圓心在A(1,冬)，半徑為1的圓；4解:設圓上任意一點為P(Q

4、,&),則由|0鬥二1得：p2+l2-2pcos(-)=1化簡得: p = CQS(0-4例2.(新課標全國II),在直角坐標系xOy中，曲 rx=/cosa線G : tywsina (t為參數(shù),七工0)，其中0a/5cosQ.(1) 求C?與 交點的直角坐標；若G與q相交于點A, C,與G相交于點B,求的最 年夜值.解：略(2) q化為極坐標方程為：a ,那時& eo,d, A. B兩點在0點同側(cè)，如圖：此點A2所以- 2sina -2羽cosct 4sin(a-),此時，當&二0時，帆瘁二20那時A, B兩點在0點兩側(cè)，如圖(2)：此點A的極坐標為(2sina , a),B (2 石 COS (龍+a ),兀 + a)所以AB=2sna +2y/3 cos