模擬試卷（4）

1、2015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試卷（4） 姓名_1.已知函數(shù)，則_.2.若且，則的最大值是_.3.已知，則的最小值是_.4.從直線上的任意一點作圓的兩條切線，切點為，則弦長度的最小值為_.5.以正方體的頂點為頂點截得一個底面是正三角形的三棱錐，設棱錐底面與正方體對角線的交點為.若，則_.6.已知橢圓的左右焦點分別為與，點在直線上. 當取最大值時，比的值為 .7.已知數(shù)列中，則_.8.在邊長為12的正三角形（含邊界）中有個點，用一個半徑為的圓形硬幣總可以“蓋住”其中的2 個點，則的最小值是_.9.過直線上的點作橢圓的切線，切點分別為，連結.（1）當點在直線上運動時，證明：直線恒過定點；（2）當時

2、，定點平分線段.10.已知為正常數(shù)，方程有兩個正數(shù)解（1）求實數(shù)的取值范圍； （2）求使不等式恒成立的的取值范圍11設的內切圓半徑為1，三邊長都是整數(shù)，求證：為直角三角形2015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試卷（4）參考答案1.已知函數(shù)，則_.【答案】.2.若且，則的最大值是_.【答案】.3.已知，則的最小值是_.【答案】.4.從直線上的任意一點作圓的兩條切線，切點為，則弦長度的最小值為_.【答案】.5.以正方體的頂點為頂點截得一個底面是正三角形的三棱錐，設棱錐底面與正方體對角線的交點為.若，則_.【答案】.6.已知橢圓的左右焦點分別為與，點在直線上. 當取最大值時，比的值為 .【答案】.7.已知數(shù)

3、列中，則_.【答案】.【解析】不動點法. 定理：設數(shù)列滿足，對于函數(shù)，.（1）若方程有兩個相異的實根，則；（2）若方程有唯一的實根，且，則.8.在邊長為12的正三角形（含邊界）中有個點，用一個半徑為的圓形硬幣總可以“蓋住”其中的2 個點，則的最小值是_.【答案】.【解析】如圖(1)，作一個分割，在每個交叉點上置一個點，這時任意兩點間距離不小于4，(硬幣直徑)，故這時硬幣不能蓋住其中的任意兩個點，說明是不夠的.如圖(2)，另作一個分割，得到16個全等的邊長為3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10個，它們的外接圓的半徑正好是.由圖(3)可知：只要圖(2)中的10個“向上”的三角形都用硬幣覆蓋，

4、則三角形完全被覆蓋.由抽屜原理，在大三角內任意放置11個點，必有一個硬幣可以至少蓋住其中的2個點.故的最小值是11.9.過直線上的點作橢圓的切線，切點分別為，連結.（1）當點在直線上運動時，證明：直線恒過定點；（2）當時，定點平分線段.解：設，易證直線方程為（考試需寫出證明過程?。?（1）當點在上運動時，代入上式得，即，當，即時上式恒成立，即直線恒過定點.（2）當時，代入橢圓方程，消去得，設，則，故點平分線段.10.已知為正常數(shù)，方程有兩個正數(shù)解（1）求實數(shù)的取值范圍； （2）求使不等式恒成立的的取值范圍解：（1）由于方程有兩個正數(shù)解 故，解得，即實數(shù)的取值范圍是； （2）令，則， 若，則，故在上為增函數(shù)，當且僅當時取等號，故不能恒成立，不滿足題意； 若，令，解得，當時，遞減；當時，遞增，故對于恒成立，當且僅當，即，解得綜上，的取值范圍是 11設的內切圓半徑為1，三邊長都是整數(shù)，求證：為直角三角形解：如圖，易知，且，故由都是