2021屆高考數(shù)學(xué)試卷專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)14平面解析幾何?含解析?

1、平面解析幾何解答題1（2021全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）某城市決定在夾角為的兩條道路之間建造一個(gè)半橢圓形狀的主題公園，如圖所示，千米，為的中點(diǎn)，為橢圓的長(zhǎng)半軸，在半橢圓形區(qū)域內(nèi)再建造一個(gè)三角形游樂(lè)區(qū)域，其中，在橢圓上，且的傾斜角為，交于.（1）若千米，為了不破壞道路，求橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的最大值；（2）若橢圓的離心率為，當(dāng)線(xiàn)段長(zhǎng)為何值時(shí)，游樂(lè)區(qū)域的面積最大？【答案】（1）；（2）當(dāng)線(xiàn)段長(zhǎng)為千米，游樂(lè)區(qū)域的面積最大.【解析】（1）由題可設(shè)橢圓方程為，可得出直線(xiàn)的方程為，根據(jù)題意可得直線(xiàn)與橢圓至多只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程利用可求出的范圍；（2）由題可得橢圓方程為，設(shè)，將直線(xiàn)的方程代入橢圓，利用韋達(dá)定理表示出三角形

2、面積可求出最值.【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，因?yàn)?，則，又夾角為，所以直線(xiàn)的方程為.又因?yàn)?，則，則橢圓方程為，為了不破壞道路，則直線(xiàn)與橢圓至多只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，得，由于直線(xiàn)與半橢圓至多只有一個(gè)交點(diǎn)，則，又，得.當(dāng)時(shí)半橢圓形主題公園與道路直線(xiàn)相切，所以.（2）設(shè)橢圓焦距為，由橢圓的離心率，解得，所以，橢圓的方程為.設(shè)，又傾斜角為，且交于，所以直線(xiàn)的方程為，由得，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積最大.所以當(dāng)線(xiàn)段長(zhǎng)為千米，游樂(lè)區(qū)域的面積最大.2（2021全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為.點(diǎn)在橢圓上；直線(xiàn)交軸于點(diǎn).且.其中為坐

3、標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程;（2）直線(xiàn)斜率存在，與橢圓交于兩點(diǎn)，且與橢圓有公共點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可得，再將點(diǎn)代入方程化簡(jiǎn)即可求得方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程代入橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式與三角形面積公式求得面積表達(dá)式，通過(guò)化簡(jiǎn)整理即可得結(jié)果.【詳解】解: 設(shè)由可得 得 即另外在橢圓上，因此即解得或(舍去)故橢圓的方程.設(shè)直線(xiàn)的方程為原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為聯(lián)立方程組并化簡(jiǎn)得，設(shè)，則:故而由可得則即故當(dāng)時(shí)，則故即直線(xiàn)與橢圓相切時(shí)面積最大為當(dāng)時(shí)，易知:時(shí)，面積最大為.綜上可得3（2021山東高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C： 1(a，b0)的左、右

4、焦點(diǎn)分別為F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c0， M(c，3)在C上，且C的離心率為2.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1MF2的角平分線(xiàn)l與曲線(xiàn)D： 1的交點(diǎn)為P，Q，試判斷OP與OQ是否垂直，并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）OP與OQ不垂直，答案見(jiàn)解析【解析】（1）利用點(diǎn)在曲線(xiàn)上和離心率，解出，進(jìn)而得出雙曲線(xiàn)方程；（2）利用角平分線(xiàn)定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)D的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合平面向量的數(shù)量積得出結(jié)論【詳解】（1）由題意得，即，解得，又，可得，故雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)角平分線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)可得，設(shè)，聯(lián)立方程，可得，即OP與OQ不垂

5、直4（2021全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：（）的離心率為，的長(zhǎng)軸是圓：的直徑.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線(xiàn)，其中交橢圓于，兩點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）根據(jù)的長(zhǎng)軸是圓：的直徑，可得a，再由離心率，求得b即可.（2）由（1）可得，分過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率不存在，斜率為0，的直線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，分別求得弦長(zhǎng)，根據(jù)兩直線(xiàn)垂直，由求解.【詳解】（1）由，得.由，得，所以.所以橢圓的方程為.（2）由（1）可得.當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，這時(shí).當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，這時(shí).當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的

6、方程為，.由，整理可得.，.所以.直線(xiàn)的方程為，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離，所以，所以.由，得，即.綜上所述，四邊形的面積的最小值為2.5（2021山東高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于1（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，直線(xiàn)，分別與圓：相切于點(diǎn)，求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由離心率與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于1，列方程即可求得，可得方程；（2）將直線(xiàn)代入橢圓結(jié)合韋達(dá)定理求得點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算可得，即可得【詳解】解：（1）直線(xiàn)的方程為到直線(xiàn)的距離為而，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，令，6（2021全國(guó)高三專(zhuān)題

7、練習(xí)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)（1）求的方程；（2）設(shè)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）把已知條件用坐標(biāo)表示，并化簡(jiǎn)即得的方程；（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得出切線(xiàn)的方程，由在切線(xiàn)上，從而可得直線(xiàn)的方程，由直線(xiàn)方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】（1）設(shè)，則，所以，可以化為，化簡(jiǎn)得所以，的方程為（2）由題設(shè)可設(shè)，由題意知切線(xiàn)，的斜率都存在，由，得，則，所以，直線(xiàn)的方程為，即，因?yàn)樵谏?，所以，即，將代入得，所以直線(xiàn)的方程為同理可得直線(xiàn)的方程為因?yàn)樵谥本€(xiàn)上，所以，又在直線(xiàn)上，所以，所以直線(xiàn)的方程為，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)7（2021全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)

8、）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之和為4.（1）試判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么曲線(xiàn)，并求其軌跡方程；（2）已知直線(xiàn):與圓:交于、兩點(diǎn)，與曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，其中、在第一象限.為原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，是否存在實(shí)數(shù)，使得取得最大值，若存在，求出；不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）橢圓，；（2）存在，.【解析】（1）根據(jù)橢圓定義得方程；（2）分析可知，再代入消元，用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式得到的函數(shù)關(guān)系式，再求最值.【詳解】（1）由題意知，又，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.由橢圓的定義可知，又因?yàn)樗?，故的軌跡方程.（2）由題設(shè)可知，、一個(gè)橢圓外，一個(gè)在橢圓內(nèi)；、一個(gè)在內(nèi)，一個(gè)在外，在直線(xiàn)上的四點(diǎn)滿(mǎn)足：由消去

9、得：，恒成立.設(shè)，由韋達(dá)定理，得，.所以，到距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.驗(yàn)證可知滿(mǎn)足題意.8（2021全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（文）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且點(diǎn)在C上（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)的直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題得，又，解方程可得，從而得橢圓的方程；（2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，所以，直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)其為，聯(lián)立方程并由韋達(dá)定理求出的式子得，求得，同理得出，求出，即可得.【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)，所以又橢圓C的離心率為，所以，故聯(lián)立得解得故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，所以，故直線(xiàn)l的斜率存在

10、，設(shè)直線(xiàn)聯(lián)立消去y并整理得，則，同理因?yàn)?，解得，所以，又因?yàn)?，所?（2021山東煙臺(tái)市高三一模）已知分別是橢圓的左右焦點(diǎn)， 為橢圓的上頂點(diǎn)，是面積為的直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，問(wèn)：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值為.【解析】（1）由題意可得，再由即可求解.（2）當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，其方程為，求出，當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，再將直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得，再由即可求解.【詳解】解：（1）由為直角三角形，故，又，可得解得所以，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)切線(xiàn)的斜率

11、不存在時(shí)，其方程為將代入，得，不妨設(shè)，又所以同理當(dāng)時(shí)，也有.當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，因?yàn)榕c圓相切，所以即，將代入，得，所以又，又，將代入上式，得，綜上，.10（2021江蘇常州市高三一模）已知O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F，右準(zhǔn)線(xiàn)為直線(xiàn)n.（1）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓C于兩個(gè)不同點(diǎn)，且以線(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，求該直線(xiàn)的方程；（2）已知直線(xiàn)l上有且只有一個(gè)點(diǎn)到F的距離與到直線(xiàn)n的距離之比為.直線(xiàn)l與直線(xiàn)n交于點(diǎn)N，過(guò)F作x軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)l于點(diǎn)M.求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)為交于橢圓，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓的方程得到韋達(dá)定理，求出直線(xiàn)的斜率即得解；

12、（2）分析得到直線(xiàn)與橢圓相切，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程得到，求出,再把代入化簡(jiǎn)即得解.【詳解】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)為交于橢圓聯(lián)立消去y得又因?yàn)橐跃€(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則則所求直線(xiàn)方程（2）已知橢圓的離心率為，右準(zhǔn)線(xiàn)直線(xiàn)n的方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)上只有一點(diǎn)到F的距離與到直線(xiàn)n的距離之比為，所以直線(xiàn)與橢圓相切，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立消去y得到：聯(lián)立點(diǎn)N坐標(biāo)為得到,由11（2021湖南岳陽(yáng)市高三一模）已知雙曲線(xiàn)的離心率為，點(diǎn)在上（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)交于M，N兩點(diǎn)，問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得為常數(shù)？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值，若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）；（

13、2）存在；定點(diǎn)【解析】（1）由已知得到a、b、c的方程組，解出a、b、c，即可求出雙曲線(xiàn)的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)定點(diǎn)，聯(lián)立方程組，用“設(shè)而不求法”表示出為常數(shù)，求出t，即可求出定點(diǎn)Q.【詳解】解：（1）由題意，解得，雙曲線(xiàn)方程為；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)定點(diǎn)，聯(lián)立，得，且，解得且設(shè)，為常數(shù)，與無(wú)關(guān)，即，此時(shí)在軸上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)12（2021湖南衡陽(yáng)市高三一模）已知圓：與圓：的公共點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為圓：上任意點(diǎn)，且圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)與交于，兩點(diǎn).試問(wèn)：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）是，.【解析】（1）由題知，,故,進(jìn)而

14、由橢圓的定義即可得曲線(xiàn)方程；（2）先討論直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，易得，進(jìn)而討論當(dāng)直線(xiàn)斜率存在，設(shè)：，由與圓相切得，與曲線(xiàn)聯(lián)立方程，并計(jì)算得，進(jìn)而由圓的性質(zhì)即可得：.【詳解】（1）設(shè)公共點(diǎn)為，則，即公共點(diǎn)的軌跡為橢圓.且，又，故曲線(xiàn)：.（2）方法一:當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，：，代入得，故，易知：；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在，設(shè)：，與圓相切，將方程代入，得，將代入，得，即綜上，恒有，.法二:當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，：，代入得，；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在，設(shè)：，與圓相切，即.將方程代入，得，同理可得，故將，及代入，可得.綜上.13（2021遼寧高三二模）已知點(diǎn)為橢圓：的右焦點(diǎn)，分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，橢圓上異于，的任意一點(diǎn)與，兩點(diǎn)連線(xiàn)的

15、斜率之積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的兩條弦，相互垂直，若，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)已知條件，列出方程組，消去的坐標(biāo)，可求得,得到橢圓的方程；（2），分別是，的中點(diǎn)，當(dāng)兩條弦所在直線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)所在直線(xiàn)的方程為，則直線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的方程整理化簡(jiǎn)為，得到直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).對(duì)一些特殊情況單獨(dú)驗(yàn)證經(jīng)過(guò)此點(diǎn)即可.【詳解】解：（1），設(shè)點(diǎn)，由已知可得：，整理可得：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：因?yàn)?，所以，分別是，的中點(diǎn)，當(dāng)兩條弦所在直線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，

16、設(shè)所在直線(xiàn)的方程為，則直線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，得，.，所以，所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)，即時(shí)，所以直線(xiàn)的方程為，即，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，亦過(guò)定點(diǎn).當(dāng)兩條直線(xiàn)的斜率分別為0和不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，也過(guò)點(diǎn).綜上所述，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).14（2021遼寧高三二模（理）已知點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率乘積為，點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).（）求曲線(xiàn)的方程；（）設(shè)斜率為的直線(xiàn)交軸于，交曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，是否存在使得為定值，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（）；（）存在，.【解析】（）設(shè)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意得計(jì)算斜率之積即可得：（）設(shè)，設(shè)直線(xiàn)為，與曲線(xiàn)C聯(lián)立方程并結(jié)合弦長(zhǎng)公式得：，再

17、令即可得答案.【詳解】（）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則 ，曲線(xiàn)的方程為（）設(shè)，設(shè)直線(xiàn)為代入得所以由弦長(zhǎng)公式得：所以為定值，則，15（2021遼寧高三其他模擬）已知橢圓，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，且，兩直線(xiàn)和與橢圓分別交于，和，其中，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，若，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由已知條件求出直線(xiàn)的方程，從而可求出橢圓的上頂點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得的值，再由焦距，結(jié)合求出的值，進(jìn)而可得橢圓的方程；（2）設(shè)，將直線(xiàn)的方程分別與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，距離公式求出和的值，然后由列方程可求出結(jié)果【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，

18、直線(xiàn)，即為橢圓的上頂點(diǎn)，故，由半焦距，則，故橢圓的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，消去得，則；設(shè)，聯(lián)立，消去得，即，則.由得，即，因?yàn)?，?16（2021全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)P，左、右焦點(diǎn)分別為，且，定直線(xiàn)，點(diǎn)M在直線(xiàn)上，且滿(mǎn)足（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)的斜率，且過(guò)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)右支交于兩點(diǎn)，求的外接圓方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由，結(jié)合各點(diǎn)的坐標(biāo)可得，由動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，即可寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，而直線(xiàn)，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得， ，即可求，而外接圓圓心在的垂直平分線(xiàn)上，根據(jù)弦長(zhǎng)、弦心距、半徑的關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式，求圓心、半徑即

19、可寫(xiě)出圓的方程.【詳解】（1）由題意，知，設(shè)點(diǎn)，則， ，得，整理得， 即雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （2）由題意，知直線(xiàn)，設(shè)，聯(lián)立方程，得，整理得，故， ，而，中點(diǎn)為，而外接圓圓心在的垂直平分線(xiàn)上，則，又由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，可知 設(shè)圓心滿(mǎn)足，解得 半徑，故外接圓方程為17（2021全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線(xiàn)相交于點(diǎn)且它們的斜率之積是，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，且點(diǎn)位于軸上方，記直線(xiàn)的斜率分別為證明：為定值；設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求面積的最大值【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；【解析】（1）根據(jù)條件列出方程化簡(jiǎn)即可求出曲線(xiàn)方程；（2

20、）設(shè)直線(xiàn)的方程為，直接表示出斜率，消元為關(guān)于的式子，再根據(jù)直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立可得的和、積，代入化簡(jiǎn)即可求證為定值；由題意坐標(biāo)為，可得直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)D(4,0),，化簡(jiǎn)后利用均值不等式求最值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線(xiàn)的斜率分別為，依題意知，化簡(jiǎn)得；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，則，又，消得，得因此，故為定值；坐標(biāo)為，則直線(xiàn)方程為，令解得，即直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，故，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)面積最大值為18（2021全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理）已知，是橢圓：長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線(xiàn)，的斜率之積等于.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，直線(xiàn)方程為，若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)，與的交點(diǎn)分別為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為.判

21、斷是否存在正數(shù)使直線(xiàn)的斜率為定值，并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）由在橢圓上得到，然后根據(jù)直線(xiàn)，的斜率之積等于，由求解.（2）當(dāng)該直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)驗(yàn)證即可,當(dāng)該直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，根據(jù)，三點(diǎn)共線(xiàn)，求得，同理求得，進(jìn)而得到N的坐標(biāo)，再利用斜率公式求解.【詳解】（1）由已知：，因?yàn)樵跈E圓上，直線(xiàn)，的斜率之積等于，所以，解得：，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）設(shè)，為過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，此時(shí)，為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)，不妨設(shè)，因?yàn)椋c(diǎn)共線(xiàn)，坐標(biāo)為，同理坐標(biāo)為，此時(shí)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，所以，當(dāng)該直線(xiàn)的斜率存在時(shí)

22、，設(shè)該直線(xiàn)的方程是，聯(lián)立方程得：，消元并化簡(jiǎn)得：，所以，設(shè)，因?yàn)?，三點(diǎn)共線(xiàn)，即，所以，由已知得，點(diǎn)不在直線(xiàn)上，且，所以，同理可得，所以，,將，代入上式并化簡(jiǎn)得：，所以的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率，因?yàn)榕c的取值無(wú)關(guān)，所以，即，此時(shí).綜合可知：存在使得直線(xiàn)的斜率為定值.19（2021浙江高二期末）如圖，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為四邊形為正方形，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn).（1）若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求直線(xiàn)的斜率；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為，直線(xiàn)，的斜率分別為，則是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）過(guò)，分別向作垂線(xiàn)，垂足為，設(shè)中點(diǎn)為，

23、過(guò)向作垂線(xiàn)垂足為，利用拋物線(xiàn)的定義及題目中所給的條件可推出，從而得出斜率；（2）由正方形的邊長(zhǎng)為可得出拋物線(xiàn)的方程為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)方程與直線(xiàn)得到點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別表示出，再聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，得到，使得成立，利用韋達(dá)定理代入值化簡(jiǎn)求解的值即可.【詳解】解：（1）如圖所示，過(guò)，分別向作垂線(xiàn)，垂足為，設(shè)中點(diǎn)為，過(guò)向作垂線(xiàn)垂足為，則又在中，直線(xiàn)的斜率為（2）正方形邊長(zhǎng)為，拋物線(xiàn)方程為，設(shè)，方程為，得由得，即存在常數(shù)使得成立.20（2021全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與相交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).（1）求的方程（2）過(guò)點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn)，若直線(xiàn)與曲線(xiàn)

24、交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)四點(diǎn)構(gòu)成四邊形，且四邊形的面積為時(shí)，求直線(xiàn)的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）根據(jù)題意可得，進(jìn)而判斷點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，即可求出軌跡方程；（2）可得軸時(shí)和軸時(shí)不符合題意，設(shè)方程為，則直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓，表示出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即可表示出四邊形的面積，求出，得出直線(xiàn)方程.【詳解】（1）在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，又在上，則可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，則，即，故的方程為；（2）若軸時(shí)，如圖，此時(shí)，則，不符合題意；若軸時(shí)，如圖，此時(shí)，則，不符合題意；當(dāng)都不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，如圖，設(shè)斜率分別為，由于傾斜角互補(bǔ)，則斜率為，則直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與

25、橢圓，可得，設(shè)，則，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，同理可得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則，解得，故直線(xiàn)的方程為或.21（2021山東高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，以、為焦點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，以為直徑的圓和恰好有兩個(gè)交點(diǎn).（1）求的方程；（2）是外的一點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)、均與相切，且、的斜率之積為，記為的最小值，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知條件求出、的值，由此可得出橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)的切線(xiàn)方程為，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去可得出關(guān)于的一元二次方程，由直線(xiàn)與橢圓相切可得出，可得出關(guān)于的二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理得出，進(jìn)而可得出的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)得出，結(jié)合的取值范圍可得結(jié)果

26、.【詳解】（1）由題意可得，又因?yàn)橐詾橹睆降膱A和恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，則，可得，因此，橢圓的方程為；（2）由題意可知，直線(xiàn)、的斜率存在且不為零，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)，聯(lián)立，消去可得，由于直線(xiàn)與橢圓相切，則，化簡(jiǎn)并整理得，整理成關(guān)于的二次方程得（易知），設(shè)直線(xiàn)、的斜率分別為、，易知、為關(guān)于的二次方程得的兩根，所以，所以，易知當(dāng)時(shí)，有，即的取值范圍是.22（2021全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，以橢圓的短軸為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】（1

27、）根據(jù)題意，結(jié)合， 即可求得的值，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別討論軸、軸時(shí)分別計(jì)算四邊形面積，當(dāng)和都不與軸垂直時(shí)，設(shè)，以及直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程得出、，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，同理求出，四邊形面積為，利用換元法和配方法求最值即可.【詳解】解：（1）由題意知，又，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)四邊形面積為，則，當(dāng)軸時(shí)，所以，當(dāng)軸時(shí)，所以，當(dāng)和都不與軸垂直時(shí)，直線(xiàn)斜率存在且不為0，設(shè)，直線(xiàn)斜率為，則直線(xiàn)斜率為，聯(lián)立方程，消去得：，所以，（*）過(guò)做直線(xiàn)的平行線(xiàn)和橢圓交于點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性知，在（*）中把換成，得，所以，所以，令，則，所以，令，則，所以，因?yàn)?，所以綜上所述：四邊形面積取值范圍是

28、23（2021全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)交橢圓C于M，N（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若M是線(xiàn)段AN的中點(diǎn)，求直線(xiàn)MN的方程；（3）設(shè)P，Q是直線(xiàn)l上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，問(wèn)：直線(xiàn)PM于QN的交點(diǎn)是否在一條定直線(xiàn)上？請(qǐng)說(shuō)明你的理由【答案】（1），；（2）；（3）與的交點(diǎn)恒在直線(xiàn)上，理由見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，結(jié)合，求得的值，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，又由拋物線(xiàn)，求得準(zhǔn)線(xiàn)方程，即可求得的坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，聯(lián)立方程組，求得的坐標(biāo)，即可求得直線(xiàn)的方程；（3）設(shè)，得到，聯(lián)立方程組，求得，得到，再由直線(xiàn)和的方程，求得交點(diǎn)的

29、橫坐標(biāo)，即可求解【詳解】（1）由題意，橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，可得且，又由，解得，即橢圓的方程為，又由拋物線(xiàn)，可得準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以（2）設(shè)，則，聯(lián)立方程組，解得，當(dāng)時(shí)，可得直線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，可得直線(xiàn)，所以直線(xiàn)的方程為（3）設(shè)，可得，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，所以，則，又由直線(xiàn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以與的交點(diǎn)恒在直線(xiàn)上24（2021廣東汕頭市高三一模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度之和等于（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2過(guò)作互相垂直的兩條直線(xiàn)、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，、的中點(diǎn)分別為、；證明：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)求四邊形面積的最小值【答案】（1）；（2）證明

30、見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為；.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)已知條件得出，結(jié)合橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是橢圓，求出、的值，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)位置可得出點(diǎn)的軌跡方程，并求出的取值范圍；（2）分析出直線(xiàn)的斜率存在且不為零，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，可得出直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與點(diǎn)的軌跡方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)的方程，進(jìn)而可得出直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；求得、，利用基本不等式可求得四邊形面積的最小值【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，依題意，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓（左、右頂點(diǎn)除外），則，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是；（2）若與軸重合，則直線(xiàn)與動(dòng)點(diǎn)的軌跡沒(méi)有交點(diǎn)，不合乎題意；若與軸重合，則直線(xiàn)與動(dòng)點(diǎn)的軌跡沒(méi)有交點(diǎn)，不合

31、乎題意；設(shè)直線(xiàn)的方程為，則直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)、均過(guò)橢圓的焦點(diǎn)（橢圓內(nèi)一點(diǎn)），、與橢圓必有交點(diǎn)設(shè)、，由，由韋達(dá)定理可得，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的方程是，即，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)綜上，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；由可得，同理可得，所以，四邊形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)因此，四邊形的面積的最小值為.25（2021江蘇鹽城市高三二模）已知直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)（1）設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求證：四點(diǎn)共圓【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)，直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程后由判別式得的范圍，由韋達(dá)定理得，再由向量的數(shù)乘可得0，結(jié)合韋達(dá)定

32、理可得值；（2）設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性得，再由在拋物線(xiàn)上，代入變形得與的關(guān)系，然后計(jì)算，得，同理，得證四點(diǎn)共圓【詳解】解：由得設(shè)，則因?yàn)橹本€(xiàn)與相交，所以得（1）由，得，所以，解得從而，因?yàn)樗越獾茫?）設(shè)，因?yàn)閮牲c(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則解得又于是解得又點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，于是因?yàn)樗?，于是因此，同理于是點(diǎn)在以為直徑的圓上，即四點(diǎn)共圓26（2021河北唐山市高三二模）已知、分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為（1）求的方程；（2）設(shè)與的另一交點(diǎn)為，與的另一交點(diǎn)為，問(wèn)：是否存在點(diǎn)，使得四邊形為梯形，若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）存在；【解析】（1）設(shè)，求出取得最小值，由求

33、出，從而可得的方程；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足題設(shè)，設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，求出，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程求出，利用得到，代入，可求出即可得解.【詳解】（1）由題設(shè)得，設(shè)，則，所以，于是當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，解得所以的方程為（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足題設(shè)，設(shè)，所以直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為將代入得，可得，所以將代入得，可得若四邊形為梯形，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，整理可得，即，解得故?dāng)時(shí)，四邊形為梯形27（2021山東棗莊市高三二模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).（1）求的軌跡方程，并說(shuō)明其形狀；（2）過(guò)直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)分別作的兩條切線(xiàn)、（、為切點(diǎn)），為弦的中點(diǎn)，直線(xiàn)：分別與軸、軸交

34、于點(diǎn)、，求的面積的取值范圍.【答案】（1），曲線(xiàn)是以為圓心，半徑為2的圓；（2）.【解析】（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M坐標(biāo)，代入距離比關(guān)系式，化簡(jiǎn)方程可得；（2）先求切點(diǎn)弦方程，再根據(jù)切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)及弦中點(diǎn)性質(zhì)得出N點(diǎn)軌跡，然后求出動(dòng)點(diǎn)N到定直線(xiàn)EF的距離最值，最后求出面積最值.切點(diǎn)弦方程的求法可用以下兩種方法.法一：由兩切點(diǎn)即為兩圓公共點(diǎn)，利用兩圓相交弦方程（兩圓方程作差）求出切點(diǎn)弦方程；法二：先分別求過(guò)Q、R兩點(diǎn)的切線(xiàn)方程，再代入點(diǎn)P坐標(biāo)，得到Q、R兩點(diǎn)都適合的同一直線(xiàn)方程，即切點(diǎn)弦方程.【詳解】解：（1）設(shè)，由，得.化簡(jiǎn)得，即.故曲線(xiàn)是以為圓心，半徑為2的圓.（2）法一(由兩圓相交弦方程求切點(diǎn)弦方程)

35、：由題意知,、與圓相切，、為切點(diǎn)，則，則D、R、P、Q四點(diǎn)共圓，Q、R在以為直徑的圓上(如圖).設(shè)，又，則的中點(diǎn)為，.以線(xiàn)段為直徑的圓的方程為，整理得(也可用圓的直徑式方程化簡(jiǎn)得. )又、在：上，由兩圓方程作差即得：.所以，切點(diǎn)弦所在直線(xiàn)的方程為.法二(求Q、R均滿(mǎn)足的同一直線(xiàn)方程即切點(diǎn)弦方程)：設(shè)，.由，可得處的切線(xiàn)上任一點(diǎn)滿(mǎn)足(如圖)，即切線(xiàn)方程為.整理得.又，整理得.同理，可得處的切線(xiàn)方程為.又既在切線(xiàn)上，又在切線(xiàn)上，所以，整理得.顯然，的坐標(biāo)都滿(mǎn)足直線(xiàn)的方程.而兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，所以切點(diǎn)弦所在直線(xiàn)的方程為.則恒過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).由消去并整理得.設(shè)，則.點(diǎn)縱坐標(biāo).因?yàn)?，顯然，所以點(diǎn)與點(diǎn)，均不重合.(或者由對(duì)稱(chēng)性可知，的中點(diǎn)N點(diǎn)在x軸上當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，因?yàn)椋c(diǎn)P不在x軸上，則點(diǎn)N也不在x軸上，所以點(diǎn)與、均不重合.)因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，且為圓心，由圓的性質(zhì)，可得，即(如圖).所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓心為，半徑.因?yàn)橹本€(xiàn)分別與軸、軸交于點(diǎn)、，所以，.又圓心到直線(xiàn)的距離.設(shè)的邊上的高為，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最