對(duì)《一道新定義試題的解題分析》的思考

1、對(duì)一道新定義試題的解題分析的思考 中數(shù)參2013第1-2期的“一道新定義試題的解題分析”一文是對(duì)2012年北京中考試卷最后一題所做的分析.文中從對(duì)試題的閱讀理解、彰顯思想方法、揭示本質(zhì)、挖掘能力，尋求更佳等五個(gè)方面進(jìn)行了遞進(jìn)式的解讀與分析，無(wú)論是從小標(biāo)題的選擇、還是從內(nèi)容的組織，筆者都覺(jué)得文采豐富、無(wú)可挑剔，但從學(xué)生的角度來(lái)看，這樣的分析對(duì)教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行試題分析毫無(wú)幫助，甚至有將教師引入歧途. “站得高才能望得遠(yuǎn)”，這是對(duì)教師的要求.這句話本身沒(méi)錯(cuò)，但我們還得牢記這一原則：“數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵是將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而找到解題的捷徑”.所以對(duì)試題的分析，必須站在學(xué)生的角度，用學(xué)生的水平和眼光看問(wèn)題

2、，找到問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題的捷徑.本文嘗試將自己對(duì)此題的理解與諸位分享. 例1 （2012年北京）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)p1（x1，y1）與p2（x2，y2）的“非常距離”，給出如下定義：若|x1-x2|y1-y2|，則點(diǎn)p1與點(diǎn)p2的“非常距離”為|x1-x2|；若|x1-x2| （1）已知點(diǎn)a（-12，0），b為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 若點(diǎn)a與點(diǎn)b的“非常距離”為2，寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)b的坐標(biāo)； 直接寫出點(diǎn)a與點(diǎn)b的“非常距離”的最小值； （2）已知c是直線y=34x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 如圖2，點(diǎn)d的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)c與點(diǎn)d的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)c的坐標(biāo)； 如

3、圖3，e是以原點(diǎn)o為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)c與點(diǎn)e的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)e和點(diǎn)c的坐標(biāo). 重提“揭示本質(zhì)”，確立解題途徑 試題的四個(gè)設(shè)問(wèn)中，（1）、兩問(wèn)是考查學(xué)生對(duì)新定義“非常距離”的理解情況，更是促進(jìn)學(xué)生必須認(rèn)真讀題，“逼”著學(xué)生走好解決后面問(wèn)題所需要的準(zhǔn)備，這兩問(wèn)的設(shè)計(jì)很具人性化；（1）、（2）、這三個(gè)設(shè)問(wèn)都是確定點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”的最小值，而且這三個(gè)設(shè)問(wèn)的要求是層層遞進(jìn)的. 在問(wèn)題（1）中，點(diǎn)a是x軸上的定點(diǎn)，點(diǎn)b是y軸上的動(dòng)點(diǎn).由于這兩點(diǎn)的特殊位置，a、b的“非常距離”就是oa、ob長(zhǎng)度的較大值：當(dāng)oaob時(shí)，a、b的“非常距離”就是oa的長(zhǎng)度（oa=12）；

4、當(dāng)oa12）.綜上，a、b的“非常距離”的最小值是12. 在問(wèn)題（2）中，d是y軸上的定點(diǎn)，c是直線上的動(dòng)點(diǎn).如何找到c、d的“非常距離”的最小值，我們可以在嘗試畫圖過(guò)程中發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法： 如圖4，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)矩形cpdq是正方形時(shí)，c、d的“非常距離”有最小值（正方形的邊長(zhǎng)）.理由是，如果向下（如圖4）或向上（如圖5）移動(dòng)c點(diǎn)到達(dá)c點(diǎn)，它與點(diǎn)d的“非常距離”都會(huì)增大.所以，根據(jù)pc=pd就可以解決問(wèn)題：設(shè)c（m，34m+3），則-m=34m+3-1，m=-87，所以c（-87，157），“非常距離”的最小值=87. 在問(wèn)題（2）中，c、e都是動(dòng)點(diǎn)，但由第（2）的研究可以感悟到，c、e具有相

5、對(duì)的位置：c、e所在的直線與直線y=-x平行；當(dāng)c、e的“非常距離”最小時(shí)，ce最小，相應(yīng)地e到直線y=34x+3的距離最小，e點(diǎn)的位置可以理解為：直線y=34x+3向右下平移到與圓只有唯一的公共點(diǎn)（即與圓o相切）切點(diǎn). 連結(jié)oe，作egx軸，則egoboa， eg4 = og3 =15，eg=45，og=35， 所以e（-35，45），進(jìn)而可以求得c（-85，95）， “非常距離”的最小值是1. 例2 （2010年南通）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)a（-4，3）、b（2，0）兩點(diǎn)，當(dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.經(jīng)過(guò)點(diǎn)c（0，-2）的直線l與 x軸平行，o為坐標(biāo)原

6、點(diǎn). （1）求直線ab和這條拋物線的解析式； （2）以a為圓心，ao為半徑的圓記為a，判斷直線l與a的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； （3）設(shè)直線ab上的點(diǎn)d的橫坐標(biāo)為-1，p（m，n）是拋物線y=ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)， 當(dāng)pdo的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形codp的面積. 誤析 根據(jù)拋物線的定義，o點(diǎn)是這條拋物線的焦點(diǎn)，直線x=-2是準(zhǔn)線；拋物線上的任意一點(diǎn)p與點(diǎn)o的距離等于p到直線x=-2的距離，因此，過(guò)d作dh直線l于h，交拋物線于p，則p就是所求的點(diǎn)，此時(shí)，pdo的周長(zhǎng)最小. 這種分析，確實(shí)很準(zhǔn)確，有根有據(jù)；但拋物線、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的知識(shí)是在高中的學(xué)習(xí)內(nèi)容；作為初中學(xué)生顯示不能這樣思考.正確的分析如下： 正析 （2）問(wèn)是一個(gè)利用d=r來(lái)判斷圓與直線的位置關(guān)系的基本問(wèn)題，有很高的得分率；如果沒(méi)有對(duì)（2）問(wèn)的深入思考，就不能找到解決（3）問(wèn)的解題方法；可以說(shuō)，（3）是（2）的遞進(jìn). 觀察（2）的結(jié)果：相切，是因?yàn)閍到直線l的距離等于a到o的距離；還有，注意到拋物線與y軸的交點(diǎn)（0 ，-1）、拋物線與x軸的交點(diǎn)（-2 ，0），也有類似的特征；由此猜想到：拋物線上的任意一點(diǎn)p與點(diǎn)o的距離等于p到直線x=-2的距離.這就要求學(xué)生能夠在認(rèn)真觀察的基礎(chǔ)上，掌握“從特殊到一般”的思想方法，尋找解題方法. 找到這一規(guī)律后，過(guò)d作dh直線l于h，交拋物線于p，并通過(guò)計(jì)算來(lái)說(shuō)明ph=po，p就是所求的點(diǎn)