(新課標)高考數(shù)學一輪復習第五章平面向量與復數(shù)5.1平面向量的概念及線性運算習題理

1、 5.1 平面向量的概念及線性運算1 .向量的有關概念(1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小，也就是向一一 ， ,， 量的(或稱模).ab勺模記作 .(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是 的.(3)單位向量：長度等于的向量叫做單位向量.7是一個與a同向的|a|.一號是一個與a的單位向量.|a|(4)平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量.平行向量又叫,任一組平行向量都可以移到同一直線上.規(guī)定：0與任一向量.(5)相等向量：長度 且方向 的向量叫做相等向量.(6)相反向量：長度 且方向 的向量叫做相反向量.(7) 向量的表示方法： 用 表示； 用 表示； 用 表示.2 .向量的加

2、法和減法(1)向量的加法三角形法則：以第一個向量 a的終點a為起點作第二個向量 b,則以第一個向量 a 的起點 o為 以第二個向量 b的終點 b為 的向量o瞅是a與b的推廣：a1a2+ a2ar +an-1an=6 / 191圖2平行四邊形法則：以同一點a為起點的兩個已知向量a, b為鄰邊作？abcd則以a為起點的 就是a與b的和（如圖2）.在圖2中，bb=ab= b,因此平行四邊形法 則是三角形法則的另一種形式加法的運算性質：a+ b=（交換律）；（a+ b） +c=（結合律）；a+ 0 = a.（2） 向量的減法已知向量 a, b,在平面內任取一點o,作oa= a, ob= b,則ba=,

3、即a b 表示從向量b 的終點指向向量a（ 被減向量） 的終點的向量（ 如圖 ） 3 向量的數(shù)乘及其幾何意義 定義：實數(shù) 入與向量a的積是一個向量，記作 ,它的長度與方向規(guī) 定如下：|入a | =;當人0時，入a與a的方向;當入0時，入a與a的方向;當入=0時，x a =.(2)運算律：設 入，c r,則： 入(1 a) =;(入 +(1) a=； 入(a+b) =.4兩個向量共線定理向量a(aw。)與b共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)入，使得.自查自糾i. (1)大小方向長度| ab|(2) 長度為 0 任意(3)1 個單位長度 單位向量方向相反(4) 相同 相反 非零共線向量平行(5) 相

4、等 相同 (6) 相等 相反(7) 字母有向線段坐標2. (1)起點 終點 和 a1an對角線ac b a a ( b c)0 a (2) a b3. (1)入a|入| a|相同相反 0(2)(入a)入a+a入a+入b4. b=入a設 a0 為單位向量， 若 a 為平面內的某個向量，則a=|a|a0;若a與ao平行，則a= | a|a;若a與ao平行且| a| = 1,則a= a.上述命題中，假命題的個數(shù)是（）d 3c 2b 1a o解： 向量是既有大小又有方向的量， a 與| a| ao 的模相同， 但方向不一定相同 ， 故是假命題；若a與ao平行，則當a為零向量時，a的方向任意；當a不為零

5、向量時，a與ao 的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a=|a|ao,故也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是3. 故選d.設d為4abc所在平面內一點，bc=3cd 則(14-a. ad= -ab+ -ac14b.ad= -ab-管c.ad= 4ab+ 軟41fd.ad= -ab-資（2015 東北三省聯(lián)考）在四邊形 abcd中，若ac= ab+ ad則四邊形 abcd-.定是（b.菱形a.矩形d.平行四邊形c.正方形 一 .、一、i -z一,z 一 _ 一一一.解：依題意得ac= ab+ bc= ab+ aq則bc= ad,因此 bc/ ad且bc= ad,故四邊形d.abcd-定是

6、平行四邊形.故選（2015 北京）在 abc中，點m, n滿足am= 2mc bn=nc若mn= xab3+ yac 則 x=, y=.解：在 abc扎 mn= an-am= 1（麗 ac-2ac= 1-abr- 1ac 所以x=-, y= -7.故填232626工_ j5；一百(2015 全國)設向量a, b不平行，向量入a+b與a+2b平行，則實數(shù)入=.解：由于入a+b與a+ 2b平行，且a+2bw0,，存在唯一的實數(shù)e r,使得 入a+入一！ 二 0,b= (1 (a+ 2b),即(入 一 w )a + (1 2 w )b = 0. 丁 a, b 不平行，/ c _ 解得 入=1 2=

7、0,11l =5.故填,類型一向量的基本概念給出下列命題：若 | a| = | b|,則 a= b；若a, b, c, d是不共線的四點，則“晶=& 是“四邊形abcm平行四邊形”的充要條件；若 a= b, b= c,則 a= c；a=b的充要條件是| a| = | b|且a/ b.其中正確命題的序號是 .解：不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.正確.晶=氏，|麗=|而且晶/氏又.a b, c, d是不共線的四點，四 邊形abc時平行四邊形；反之，若四邊形 abcm平行四邊形，則曲/次且|而=|貢, 可得危=氏故龜=女 是四邊形abc時平行四邊形”的充要條件.正確.: a=b,

8、 a, b的長度相等且方向相同；又 b=c,.b, c的長度相等且方7/19向相同，a, c的長度相等且方向相同，故 a= c.不正確.由a= b可得| a| = | b|且a/b;由| a| = | b|且a/b可得a=b或a=b, 故i a| = |b|且a/ b不是a= b的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號是.故填 .【點撥】（1）相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.（2）共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.（3）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解aa題時，不要把它與函數(shù)圖象白移動混為一談.（4）非零向量a與的關系： 丁是a方向上|a|

9、a|的單位向量.下列命題中，正確的是.（填序號）有向線段就是向量，向量就是有向線段；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；向量利向量cd曲線，則a, b, c, d四點共線； 如果a/b, b/ c,那么a/c；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.解：不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量；不正確，若a與b中有一個為零向量，零向量的方向是任意的，故兩向量方向不一定相同或相反；不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；不正確，如果b為零向量，則a與c不一定平行；正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大??；向量的模均為實數(shù)，可以比較大小.故填.

10、類型二 向量的線性運算(1)如圖，正方形 abcd中，點e是dc的中點，點f是bc上靠近點b的一個三等分點，那么e等于(1b?b+2ad11aqab-手d11 / 19解：在cefk因為點e為dc的中點，因為點f為bc的一個三等分點，有 ef=ec+cf 所以ec= dc 所以 cf= 1cib 172；t172f172t所以 ef= 3do -cb= -ab+ 鼻da= ab-ad 232323故選d.（2）在abc, ab= c, ac-b,若點d滿足bd= 2氏 則a孱于（）52,a 2 , 1b. qc qba.-b + -c3333122,1d-b + -cc.,b&c3333解：-

11、. be）= 2dc ad-ab= 2（acad）, 2 1 213ad= 2ac ab，ad= aa zab=中+站. 3333故選a.【點撥】（1）解題的關鍵在于搞清構成三角形的三個向量間的相互關系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化.（2）用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧是：觀察各向量的位置；尋找相應的三角形或多邊形；運用法則找關系；化簡結果.(1)( 2015 福建模擬)在 abc中，ad= 2dc ba= a, bd= b, bcc,則下列等式成立的是()b. c=2a-ba. c=2ba3b a3abd- c=7-2c- c=7-2解：因為在

12、 abc中，bbddbd* 2ad=擒 2( bd-ba) = 3bd-t,ba 所以 c=|b1 一，一2a.故選d(2)( 2014 全國i )設d, e, f分別為4abc的三邊bc ca ab的中點，則eb+fc-()11d.2bcc.bcb.-ada. ad-1 - 1 - -解：eb+fo 2( ab+ceb+2( ac+bc1 f f.=-(ab+aq =ad 故選 a.類型三向量共線的充要條件及其應用已知 a, b, c是平面內三個不相同的點，o是平面內任意一點，求證：向量oa ob oc勺終點 a b c共線的充要條件是存 在實數(shù) 入，,使得oc=入oabwob且入+ = 1

13、. 證明：(i)先證必要性.若oa ob oc勺終點a b c共線，貝uab/ bc存在實數(shù) m使得bc= mah 即oc-ob= mob-oa, p-一 一 言一 . oc= roaf (1 + m ob令人=ml (i = 1+ ml 則 入+w = m1 1 + m= 1, 一 即存在實數(shù) 入，w ,使得oc=入o/v w ob且入+ w = 1.(2)再證充分性.若oc=入oafob 且入+ =1,則 oc= xoaf(1 -入)ob.oc-ob= x(oa-oe),即鼠入的be/ ba 又 bcw ba有公共點 b, .a, b, c三點共線. 綜合(1)(2)可知，原命題成立.【點

14、撥】 證明三點a, b, c共線，借助向量，只需證明由這三點a b, c所組成的向量中有兩個向量共線，即證明存在一個實數(shù)入，使ab=入bc但證明兩條直線 ab/ cd除了證明存在一個實數(shù)入，使ab=入cd7卜，還要說明兩直線不重合.注意：本例的結論可作定理使用.(1)已知向量 a, b,且ab= a+2b,bc= 5a+6b, &a 7a 2b,則一定共線的三點是()b. a, b, ca. a b, dd. a, c, dc. b, c, d 一 人一不 ，解：bd=bacd= ( 5a+6b) + (7a2b) =2a+4b=2(a+2b) = 2ab, ：. a b, d 二點共線.故選

15、a（2）設兩個非零向量 a與b不共線，若ka + b和a+kb共線，則實數(shù)k=.解：: ka+b和a+kb共線，存在實數(shù)入，使ka+b=入（a+kb）,即ka + b=入a+入kb.，（ k入）a=（入k l）b. a, b是兩個不共線的非零向量，k- x = x k-l = 0,.k2-1 = 0. k= 1.故填 1.（3）（ 2015 南京模擬）如圖，經過oab勺重心g的直線與oa ob分別交于點p, q 設. noa oq= nob m ncr,則+【的值為.n m 18 /19解法一：g是oab勺重心， -og= 1( oav ob=，ok 1- oq 由p, g, q三點共線可 3

16、3m 3n/口 11 皿11信家赤=1,故mn=3.f 2.一.、. 7 2 1 1解法二：設oaf a, ob= b,由題意知 og=ax5（o/vob=a（a+b） 3 23pq= ooo由 nb-ma, pg=ogop= 3ma+.由 p, g q三點共線得入，使得pq=入pg且m=入r11.入wo ,即nb na=入ma+-入b,從而331n=,入, j 1消去入得一+-=3.故填3.n m1 .準確理解向量的概念，請?zhí)貏e注意以下幾點：(1) a/b,有a與b方向相同或相反兩種情形；(2)向量的模與數(shù)的絕對值有所不同，如| a| =|b|/a= b;(3)零向量的方向是任意的，并不是沒

17、有，零向量與任意向量平行；(4)對于任意非零向量 a, 昌是與a同向的單位向量，這也是求單位向量的方法； | a|(5)向量平行，其所在直線不一定平行，兩向量還可能在一條直線上；(6)只要不改變向量a的大小和方向，可以自由平移a,平移后的向量與 a相等，所以線段共線與向量共線是有區(qū)別的，當兩向量共線且有公共點時，才能得出線段共線，向量的共線與向量的平行是一致的.2 .向量具有大小和方向兩個要素，既能像實數(shù)一樣進行某些運算，又有直觀的幾何意義，是數(shù)與形的完美結合.向量是一個幾何量，因此，在研究向量的有關問題時，一定要 結合圖形進行分析、判斷，這是研究平面向量最重要的方法與技巧.3 .向量加法的三

18、角形法則可簡記為“首尾相接，指向終點”；減法法則可簡記為“起點重合，指向被減向量”；加法的平行四邊形法則可簡記“起點重合，指向對角頂點”.4 .平面向量的三種線性運算的結果仍為向量，在三種線性運算中，加法是最基本、最重要的運算，減法運算與數(shù)乘運算都以加法運算為基礎，都可以歸結為加法運算.5 .對于兩個向量共線定理(a(aw0)與b共線？存在唯一實數(shù) 入使得b=入a)中條件“aw0”的理解:(1)當a=0時，a與任一向量b都是共線的；(2)當a=0且bwo時，b=xa是不成立的，但 a與b共線.因此，為了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我們要求aw0.換句話說，如果不加條件“ aw?！保?/p>

19、 a與b共線”是“存在唯一實數(shù)入使得b=入a”的必要不充分條件. ab 1 .設a、b都是非零向量，下列四個條件中，使言=言成立的充分條件是()1a|b|b. a/ ba. a=- bd. all b且|a| = | b|c. a=2b.,_ a b 工解：由題意=匯1表示與向量a和向量b同向的單位向量相等，故a與b同向共|a|b|線.故選c2.已知兩個非零向量 a, b不共線，ab= 2a+pb, b(c= a+b, cd= a2b,若a, b, d三點共線，則實數(shù) p的值是()d. 2c. 1b. 1 a. - 2解：.bc= a + b, cd= a2b, .bb=bcd= 2a b.又

20、.a, b, d 三點共線,麗瞅線.設 ab=入 bd .2a+pb=入(2 ab), . 2= 2 入且 p=入，.入=1, p= 1.故選b.3 .已知 q a, m b為平面上四點，且om= xob (1 入)oa 實數(shù)入c (1 , 2),則()a.點m在線段 ab上b.點b在線段am上c.點a在線段bm上d. q a, m b四點一定共線解：由題意得omoa=入(麗-oa,即am=xafe又 入c(1, 2), 點b在線段 am上.故選b.4 .如圖，已知ab是圓o的直徑，點c, d是半圓弧的兩個三等分點 ，ab= a, ac= b,則 ad=()11b.2a- ba. a2b11d

21、.2a+bc. a+2b解：連接 od cd 顯然/ bod= /cao= 60 ,則 ac/ od 且 ac= od 即四邊形 caod 1.為菱形，故ad=aac= 2a+b,故選d.5 .已知平面內一點 p及4abc若無十和電危 則點p與4abc的位置關系是()a.點p在線段ab上b.點p在線段bc上c.點p在線段ac上d.點p在aba卜部解：由捻和pc=ab#pa+pc)= ab-pb=af即曲=ap-pa= 2ah 所以點p在線段ac上.故選c.6 .在平行四邊形 abcd,點e是ad的中點，be與ac相交于點f,若ef= nab+ nadg ne r),則m勺值為()11d.2 c

22、. 2b. -2 a. 2. 一 1解：設ab= a, ad= b,則ef= ma+ nb, be=ae-ab= 2ba,由向量 effb削線可知存m=一入，1在非零實數(shù) 入，使得ef=入be,即ma+ nb = -x b入a,又a與b不共線，則 12n=2入，m消去入得n= 2.故選a7.如圖，在abc43, h為bc上異于b, c的任一點，m為ah的中點，若amk入 超(1 ac 則入 + !1 =. .一 . 一一17解：由b, h, c三點共線，可令ah= xab+ (1 x)ac又m是ah的中點，所以am=？h1 一 1 一 一 一 一一111 1=2x ab+ 2(1 -x) ac

23、 又 a陣 入 ab+ ac；所以入 +=-x+-(1 x)=j 故填1 f8 .直角三角形 abc中，斜邊bc長為2, o是平面abs一點，點p滿足op=oaf-(ab+ ac,則 |ap=.22 /19解：如圖，取bc邊中點d,連接aq則)和前=龜金o42(ab+ac)? o層oa+ ae? op- oa= ad? af ah 因此 | 麗= |ad = 1,故填 1.9 .如圖，在梯形 abcdk ab/ cd且ab= 2cd m n分別是dc和ab的中點，若ab-.，一 ，一 =a, ad= b,試用 a, b 表布 bgdmn解：bb=bvab+db= a+b+；a=b ga.= m

24、df da+ an=111-4a+(-b)+-a=-a-b.mn10 .設兩個非零向量 e1和e2不共線.,一,、-. . _ _ (1)如果 ab= e1 e2, be 3e + 2e2)cd= - 8e1 2e2,求證：a, c, d一點共線； 如果ab=e1+e2, b2e1-3e2, cb= 2eke2,且 a c, d三點共線，求 k 的值.解：(1)證明：ab= e1 e2, bc= 3e1 + 2e2 , cd= - 8e1 2e2,1.1 , - 、1： ac= ab-l- bc= 4e1 + e2= 一 2( 8e1 2e2)= 一 cd. afe電線.又abfcd府公共點c,