2021-2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽分類匯編-第11講 三角函數(shù) Word版含解析

1、本文格式為word版，下載可任意編輯2021-2021年全國高中數(shù)學聯(lián)賽分類匯編-第11講 三角函數(shù) word版含解析 2021-2021全國高中數(shù)學聯(lián)賽分類匯編第11講：三角函數(shù) 1、2021一試2已知函數(shù)x x a y sin )3cos (2-=的最小值為3-，那么實數(shù)a 的取值范圍是. 【答案】122 3-a 【解析】令t x =sin ，那么原函數(shù)化為t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=. 由3)3(3-+-t a at ，0)1(3)1(2-t t at ，0)3)1()(1(-+-t at t 及01-t 知03)1(-+-t

2、at 即3)(2-+t t a . 1 當1,0-=t 時1總成立； 對20,102+t t t ；對041 ,012+-t t t .從而可知1223 -a . 2、2021一試4假如)cos (sin 7sin cos 3355-，)2,0，那么的取值范圍是 【答案】 45,4 3、2021一試7滿足1 1 sin 43n 的全部正整數(shù)n 的和是 【答案】33 【解析】由正弦函數(shù)的凸性,有當(0,)6x 時,3 sin ,x x x 由此得 1 31 sin ,sin ,1313412124 = 131sin ,sin .10103993 =所以11sin sin sin sin sin

3、.134* 故滿足11sin 43n 的正整數(shù)n 的全部值分別為10,11,12,它們的和為33. 4、2021一試7設等邊三角形abc 的內(nèi)切圓半徑為2，圓心為i .若點p 滿足1=pi ，那么a b c 與apc 的面積之比的最大值為_. 其中，00=.6iap - = 由02ap i =知，011sin ,24ip ai r = = 于是cot =所以 1sin()cos 362sin()6+=- 依據(jù)1、2可知，當0p p =時， apb apc s s 5、2021二試2若實數(shù)滿足cos tan =,那么 41cos sin +的值為 . 【答案】2 【解析】由條件知，2cos si

4、n =，反復利用此結(jié)論，并留意到22cos sin 1+=，得 2242221cos sin cos sin (1sin )(1cos )2sin cos 2sin sin +=+=+-=+-= 6、2021一試7設為正實數(shù),若存在,(2)a b a b ,使得sin sin 2a b +=,那么實數(shù)的取值范 圍是 【答案】9513,)424 w + 【解析】由sin sin 2wa wb +=知sin sin 1wa wb =，而,2,wa wb w w 故題目條件等價于：存在整數(shù)()k l k l ，使得222.22w k l w + 當4w 時，區(qū)間,2w w 的長度不小于4，故必存在k

5、,l 滿足1式, 當04w 時，留意到,20,8w w ， 故僅需考慮如下幾種狀況： 5)2,22i w w 此時15,24 w w 且無解； 59)2,22ii w w 此時有95;42 w 913()222iii w w ，此時有13913, 4.424 w w 得 綜合)()()i ii iii 、，并留意到95134,).424w w +亦滿足條件，可知 7、2021一試6設函數(shù)10 cos 10sin )(44kx kx x f +=，其中k 是一個正整數(shù).若對任意實數(shù)a ，均有|)(1|)(r x x f a x a x f =+，那么k 的最小值為 . 【答案】16 反之，當5k

6、 時，任意一個開區(qū)間均包含)(x f 的一個完好周期，此時 |)(1|)(r x x f a x a x f =+成立.綜上可知，正整數(shù)的最小值為1615=+. 8、2021一試2若實數(shù),x y 滿足2 2cos 1 x y +=，那么cos x y -的取值范圍是. 【答案】11- 【解析】由于212cos 1,3,x y x =-故 由21cos 2 x y -=可知,2211cos (+1) 1.22x x y x x -=-=-因此當1x =-時,cos x y -有最小值-1. (這時y 可以取2) ；當x =cos x y - 這時y 可取，由于21(+1)12 x -的值域是 1

7、,從而cos x y - 的取值范圍是1. 9、2021一試9已知函數(shù)131()sin cos 2,022 f x a x x a a r a a =-+-+ 若對任意x r ，都有()0f x ，求a 的取值范圍； 若2a ，且存在x r ，使得()0f x ，求a 的取值范圍 【解析】(1)23()sin sin .f x x a x a a =+-令sin (11),t x t =-那么23()g t t at a a =+- (2)因為2,a 所以 1.2a - -所以min 3()(1)1g t g a =-=- 因此min 3()1.f x a =-于是,存在x r ,使得()0f x 的充要條件是3100 3.a a - 故a 的取值范圍是2,3. 10、2021一試10此題總分20分數(shù)列n a 滿足)(arctan(sec ,611*= +n n a a a n n 求正整數(shù)m ，使得100 1sin .sin sin 21=m a a a 【解析】由已知條件可知，對任意正整數(shù)n ， 11(,),tan sec .(1)22n n n a a a +-=