第三章-彈性本構(gòu)方程

1、2021/3/231 中篇 彈性力學(xué) 2021/3/232 第三章 彈性本構(gòu)方程 3-1 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá) 3-2 各向異性線彈性體 3-3 各向同性線彈性體 3-4 彈性應(yīng)變能與彈性應(yīng)變余能 2021/3/233 3-1 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 從靜力學(xué)的角度對(duì)應(yīng)力進(jìn)行了分析從靜力學(xué)的角度對(duì)應(yīng)力進(jìn)行了分析 從幾何學(xué)的角度對(duì)應(yīng)變進(jìn)行了分析從幾何學(xué)的角度對(duì)應(yīng)變進(jìn)行了分析 平衡微分方程平衡微分方程 幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程 上述方程適用于任意連續(xù)物體上述方程適用于任意連續(xù)物體,包括彈性力學(xué)和塑性包括彈性力學(xué)和塑性 力學(xué)。力學(xué)。 這些方程還不能解決彈塑性力學(xué)問(wèn)題。這些方程還不能解決彈

2、塑性力學(xué)問(wèn)題。 需要研究應(yīng)力與應(yīng)變之間的物理關(guān)系需要研究應(yīng)力與應(yīng)變之間的物理關(guān)系,即本構(gòu)關(guān)系。即本構(gòu)關(guān)系。 對(duì)應(yīng)的函數(shù)方程稱為物理方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)方程稱為物理方程,或本構(gòu)方程?；虮緲?gòu)方程。 一一、本構(gòu)方程本構(gòu)方程 2021/3/234 材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系需通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定的。材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系需通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定的。 本構(gòu)方程實(shí)際是應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)學(xué)本構(gòu)方程實(shí)際是應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)學(xué) 描述。描述。 由于實(shí)驗(yàn)的局限性由于實(shí)驗(yàn)的局限性,通常由簡(jiǎn)單載荷實(shí)驗(yàn)獲得通常由簡(jiǎn)單載荷實(shí)驗(yàn)獲得應(yīng)力應(yīng)力 與應(yīng)變關(guān)系結(jié)果與應(yīng)變關(guān)系結(jié)果,建立描述相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型建立描述相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,再將數(shù)再將數(shù) 學(xué)模型用于

3、復(fù)雜載荷情況的分析。（用一定實(shí)驗(yàn)學(xué)模型用于復(fù)雜載荷情況的分析。（用一定實(shí)驗(yàn) 驗(yàn)證結(jié)果）驗(yàn)證結(jié)果） 2021/3/235 例如例如:材料單軸拉伸應(yīng)力材料單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線: e e s s s s e e 非線彈性線彈性 塑形變形 塑形變形 2021/3/236 由材料力學(xué)已知,Hooke定律可表示為: E s e 單向拉壓 純剪切 ee E為拉壓彈性模量; 橫向與縱向變形關(guān)系 G G為剪切彈性模量 為泊松比 )1 (2 E G 二. 各向同性材料的廣義Hooke定律（本構(gòu)方程） 2021/3/237 對(duì)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)對(duì)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài),在彈性力學(xué)假設(shè)條件下在彈性力學(xué)假設(shè)條件下,應(yīng)用疊加原

4、理應(yīng)用疊加原理: 考慮x方向的正應(yīng)變: x s產(chǎn)生的x方向應(yīng)變: E x x s e 1 y s產(chǎn)生的x方向應(yīng)變: E y x s e 2 z s 產(chǎn)生的x方向應(yīng)變: E z x s e 3 疊加 321xxxx eeee )( 1 zyx E sss 同理: )( 1 xzyy E ssse )( 1 yxzz E ssse 2021/3/238 剪應(yīng)變: 物理方程: G xy xy G zx zx G yz yz G yz yz G zx zx G xy xy )( 1 yxzz E ssse )( 1 zyxx E ssse )( 1 xzyy E ssse 說(shuō)明: 1.方程表示了各向同

5、性材料的應(yīng)力與應(yīng) 變的關(guān)系,稱為廣義Hooke定義。也稱為 本構(gòu)關(guān)系或物理方程。 2.方程組在線彈性條件下成立。 2021/3/239 三. 體積應(yīng)變與體積彈性模量 )( 21 zyxzyx E sss eee 令: zyx eee )( zyx sss E 21 則: 令: 3 )( zyx m sss s sm稱為平均應(yīng)力; 稱為體積應(yīng)變 KE m m s s )21 (3 稱為體積彈性模量 )21 (3 E K sK m 2021/3/2310 四. 物理方程的其他表示形式 物理方程: xy xy xy G ：e 2令 EE x s 1 )( 1 zyxx E ssse )( 1 zyx

6、xx E sssss xy xy xy E e 1 2 xy xy xy E e 1 2 EE yy s e 1 EE zz s e 1 yz yz yz E e 1 2 zx zx zx E e 1 2 EE xx s e 1 2021/3/2311 用應(yīng)變表示應(yīng)力: xyxyzz zxzxyy yzyzxx EE EE EE e s e s e s )1 (2 , 211 )1 (2 , 211 )1 (2 , 211 或: xyxyxyzz zxzxzxyy yzyzyzxx GGG GGG GGG ees ees ees 2,2 2,2 2,2 各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系各種彈性常數(shù)之間的

7、關(guān)系 )21 ( 3 , )21)(1 ( , )1 (2 E K EE G 2021/3/2312 彈性條件下,應(yīng)力與應(yīng)變有唯一確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,三維應(yīng) 力狀態(tài)下,一點(diǎn)的應(yīng)力取決于該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，應(yīng)力是應(yīng)變 的函數(shù)（或應(yīng)變是應(yīng)力的函數(shù)） ) 1 ( ),( ),( ),( ),( ),( ),( 6 5 4 3 2 1 zxyzxyzyxzx zxyzxyzyxyz zxyzxyzyxxy zxyzxyzyxz zxyzxyzyxy zxyzxyzyxx f f f f f f eee eee eee eees eees eees 6個(gè)應(yīng)力分量可表述為個(gè)應(yīng)力分量可表述為6個(gè)應(yīng)變分量的函數(shù)。個(gè)應(yīng)

8、變分量的函數(shù)。 3-2 3-2 線彈性體本構(gòu)方程的一般表達(dá)式線彈性體本構(gòu)方程的一般表達(dá)式 2021/3/2313 當(dāng)自變量(應(yīng)變)很小時(shí),式（）中的各表達(dá)式可用泰勒 級(jí)數(shù)展開(kāi)略去二階及以上的高階微量,則式（）中的第 一式展開(kāi)為: zx zx yz yz xy xy z z y y x x x fff fff f e e e e e e s 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01) ( 01) ( f表示應(yīng)變分量為零時(shí)的值,由基本假設(shè),初始應(yīng)力為 零故 0)( 01 f 0 1 ij f 表示函數(shù)f1對(duì)應(yīng)變分量的一階偏導(dǎo)數(shù)在應(yīng)變分量為零 時(shí)的值,等于一個(gè)常數(shù) 2021/3/2314

9、 故, 式（）可用一個(gè)線性方程組表示（線彈性體） )2( 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 zxyzxyzyxzx zxyzxyzyxyz zxyzxyzyxxy zxyzxyzyxz zxyzxyzyxy zxyzxyzyxx aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa eee eee eee eees eees eees 式（）是純數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)果式（）是純數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)果,實(shí)際上與虎克定律線性關(guān)系實(shí)際上與虎克定律線性關(guān)系 一致一致,是在

10、彈性小變形條件下彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力與應(yīng)變的是在彈性小變形條件下彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力與應(yīng)變的 一般關(guān)系式一般關(guān)系式 式（）中的系數(shù)稱為彈性常數(shù)，共式（）中的系數(shù)稱為彈性常數(shù)，共 有個(gè)有個(gè) )6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1,(jiaij 2021/3/2315 由均勻性假設(shè),彈性體各點(diǎn)作用同樣應(yīng)力時(shí), 必產(chǎn)生同樣的應(yīng)變,反之亦然因此為常數(shù)， 其數(shù)值由彈性體材料的性質(zhì)而定 ij a 式（）推導(dǎo)過(guò)程未引用各向同性假設(shè),故 可適用于極端各向異性體、正交各向異性體、 二維各向同性體以及各向同性體等 2021/3/2316 式(3)可用簡(jiǎn)寫(xiě)為 esD D 稱為彈性矩陣. 式（）可用矩陣表示式（

11、）可用矩陣表示 ) 3( 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 zx tz xy z y x zx yz xy z y x aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa e e e s s s 2021/3/2317 物體內(nèi)的任一點(diǎn), 沿各個(gè)方向的性能都不相 同, 則稱為極端各向異性體. (這種物體的材料極 少見(jiàn)) nmmn aa 三、. 彈性常數(shù) 1. 極端各向異性體: 由能量守恒定律和應(yīng)變能理論可證明,彈性常數(shù) 之間存在關(guān)系 即使在極端

12、各向異性條件下, 式(2)中的36個(gè) 彈性常數(shù)也不是全部獨(dú)立. 36個(gè)彈性常數(shù)減少到21個(gè). 彈性矩陣是對(duì)稱矩陣. 2021/3/2318 )4( 66 5655 464544 36353433 2625242322 161514131211 a aa aaa aaaa aaaaa aaaaaa D 稱 對(duì) 彈性矩陣為 2021/3/2319 極端各向異性體的特點(diǎn): zyx eee, (1) 當(dāng)作用正應(yīng)力當(dāng)作用正應(yīng)力 時(shí)時(shí), 不僅會(huì)產(chǎn)生正應(yīng)變不僅會(huì)產(chǎn)生正應(yīng)變 , 還會(huì)引起剪應(yīng)變還會(huì)引起剪應(yīng)變 。 (2) 當(dāng)作用剪應(yīng)力時(shí)當(dāng)作用剪應(yīng)力時(shí), 不僅會(huì)產(chǎn)生剪應(yīng)變不僅會(huì)產(chǎn)生剪應(yīng)變, 也會(huì)引起正也會(huì)引起正

13、應(yīng)變。應(yīng)變。 x s zxyzxy , 2021/3/2320 2.正交各向異性體 如在均勻體內(nèi), 任意一點(diǎn)都存在著一個(gè)對(duì)稱面, 在任意兩個(gè)與此面對(duì)稱的方向上, 材料的彈性性質(zhì) 都相同。 稱為具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性體。 該對(duì)稱面稱為彈性對(duì)稱面, 垂直于彈性對(duì)稱面的方 向稱為物體的彈性主方向。 具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性體, 彈性常數(shù) 有13個(gè)。單斜晶體(如正長(zhǎng)石)具有這類彈性對(duì)稱。 2021/3/2321 如果在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)有三個(gè)互相正交的彈性對(duì) 稱面, 這種物體稱為正交各向異性體。如: 煤塊、均 勻的木材、疊層膠木、復(fù)合材料等 正交各向異性體有正交各向異性體有9個(gè)彈性常數(shù)。其彈性

14、矩陣為個(gè)彈性常數(shù)。其彈性矩陣為 )5( 0 00 000 000 000 66 55 44 33 2322 131211 a a a a aa aaa D 稱 對(duì) 2021/3/2322 3.橫觀各向同性體 如物體內(nèi)任意一點(diǎn), 在平行于某一 平面的所有各個(gè)方向都有相同的彈性性 質(zhì), 這類正交異性體為橫觀各向同性體。 如不同層次的土壤、復(fù)合板材等。 橫觀各向同性體只有五個(gè)橫觀各向同性體只有五個(gè) 彈性常數(shù)彈性常數(shù), 彈性矩陣為彈性矩陣為 )6( 0 00 2 000 000 000 55 55 1211 33 1311 131211 a a aa a aa aaa D 稱 對(duì) 2021/3/232

15、3 物體內(nèi)任意一點(diǎn), 沿任何方向的彈性性質(zhì)都相同。 4.各向同性體 各向同性體只有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù), 彈性矩陣為: )7( 2 0 2 00 2 000 000 000 1211 1211 1211 11 1211 121211 aa aa aa a aa aaa D 稱 對(duì) 2021/3/2324 zxzx yzyz xyxy zyxz zyxy zyxx aa aa aa aaa aaa aaa eees eees eees )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 1211 1211 1211 111212 121112 121211 zxzx yzyz xyxy zz yy xx a

16、a aa aa aaa aaa aaa es es es )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( )( )( 1211 1211 1211 121112 121112 121112 可見(jiàn): Gaaa2, 121111 xyxyxyzz zxzxzxyy yzyzyzxx GGG GGG GGG ees ees ees 2,2 2,2 2,2 比較: 2021/3/2325 3-3 彈性應(yīng)變能 彈性體受外力作用后產(chǎn)生變形,外力在其作用位置的 變形上做功。忽略速度、熱交換和溫度等因素,則外力所 做的功全部轉(zhuǎn)換為應(yīng)變能儲(chǔ)存在物體的內(nèi)部。 變分法是研究泛函求極值的方法。彈性力學(xué)問(wèn)題的變變分法是

17、研究泛函求極值的方法。彈性力學(xué)問(wèn)題的變 分法分法,也稱為能量法也稱為能量法,是和彈性體的應(yīng)變能或應(yīng)變余能密切是和彈性體的應(yīng)變能或應(yīng)變余能密切 相關(guān)的相關(guān)的,是有限元法的基礎(chǔ)。是有限元法的基礎(chǔ)。 單位體積中具有的應(yīng)變能,稱為應(yīng)變能密度或比能。 2021/3/2326 一、一維狀態(tài) 細(xì)長(zhǎng)直桿,長(zhǎng)度為L(zhǎng),橫截面積為S,兩端受拉力P作用。 產(chǎn)生的伸長(zhǎng)量為DL，外力作的功為: 0 () L UPdL D D /,/, xx PSLLVSLse D 0 0 () x xx Ud e se 單位體積的應(yīng)變能U0為: 單位體積的應(yīng)變能U0代表應(yīng)力-應(yīng)變曲線中陰影部分的面積。 0 x c xx Ud s es

18、單位體積的應(yīng)變余能U0為: 2021/3/2327 對(duì)線彈性材料, xx Ese 0 00 2 11 22 xx c xxxx xxx UUdEd E ee seee es e 0 x Ue對(duì)求偏導(dǎo) 0 x x U s e 2021/3/2328 三向應(yīng)力狀態(tài)下,六個(gè)應(yīng)力分量和六個(gè)應(yīng)變分量。由能量 守恒原理,各應(yīng)力分量的合力只在其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變分量所引 起的變形位移上做功。 一、三維狀態(tài) 總的應(yīng)變能為各應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能之和,即: 0 0 0 () ij ij xxyyzzxyxyyzyzzxzx ijij Udddddd d e e seseseeee se 0 () xxyyzzxyxyyzyzzxzx ijij dUdddddd d seseseeee se 00 0 ij UdU e 令: 2021/3/2329 0 0ij ij U dUde e 000 () ijij UUUee是應(yīng)變分量的函數(shù)， 0 U對(duì)彈性體，是應(yīng)變狀態(tài)的單值函數(shù)，其