廣東省廣州市高三沖刺高考查漏補缺文科數(shù)學試題及答案

1、2015屆廣州市高三數(shù)學差缺補漏題（文科）1已知向量，函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值，并寫出相應的取值集合；（2）若，且，求的值解析： ：（1），當，即當時，；（2）由（1）得：，。，2. 已知函數(shù)（1）討論函數(shù)在上的單調性；（2）設，且，求的值解析：（1）， 由得，當即時，遞增；當即時，遞減；當即時，遞增綜上，函數(shù)在區(qū)間、上遞增，在區(qū)間上遞減（2）由，即，得， 因為，所以，可得， 則 3. 在abc中，內角所對的邊分別是，且滿足：又.（1）求角a的大??； （2）若，求的面積解：（1）, 又 （2），即 ,又4. 設的內角a、b、c的對邊長分別為a、b、c,且3+3-3=4bc （1） 求sina的

2、值； （2）求的值解：（1）由余弦定理得又 （2）原式5某高中采取分層抽樣的方法從應屆高二學生中按照性別抽出20名學生作為樣本，其選報文科理科的情況如下表所示性別科目男女文科25理科103（1）若在該樣本中從報考文科的男生和報考理科的女生中隨機地選出3人召開座談會，試求3人中既有男生也有女生的概率；（2）用獨立性檢驗的方法分析有多大的把握認為該中學的高三學生選報文理科與性別有關？ （參考公式和數(shù)據(jù)：2（其中）解：（1）設報考文科的2名男生為 （2）2=4.433.841， 可知有95%以上的把握認為學生選報文理科與性別有關. 6某班同學利用寒假進行社會實踐，對年齡在的人群隨機抽取人進行了一次生

3、活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖： （1）補全頻率分布直方圖，并求的值；（2）從年齡在的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動，其中選取2人作為領隊，求選取的2名領隊中恰有1人年齡在的概率.解析：（1）第二組的頻率為，高為，補全頻率分布直方圖如下 第一組的人數(shù)為，頻率為， 由題可知，第二組的頻率為第二組的人數(shù)為， 第四組的頻率為，第四組的人數(shù)為綜上所述： （2）年齡在的“低碳族”與年齡在的“低碳族”的比值為采用分層抽樣法抽取6人，歲的有人，歲的有2人設歲中的4人為，歲中的2人為

4、，則選取2人作為領隊的方法有，共15種 其中恰有1人年齡在 歲的有共8種 選取的2名領隊中恰有1人年齡在歲的概率為 7某工廠甲、乙兩個車間包裝同一種產品，在自動包裝傳送帶上每隔1小時抽一包產品，稱其重量（單位：克）是否合格，分別記錄了6個抽查數(shù)據(jù)，獲得重量數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖4.（1）根據(jù)樣品數(shù)據(jù)，計算甲、乙兩個車間產品重量的均值與方差，并說明哪個車間的產品的重量相對較穩(wěn)定；（2）若從乙車間6件樣品中隨機抽取兩件，求所抽取的兩件樣品的重量之差不超過2克的概率.解析：(1)， ， 2， ， 甲車間的產品的重量相對較穩(wěn)定 (2)從乙車間6件樣品中隨機抽取兩件，共有15種不同的取法: ， 設表示隨機事件

5、“所抽取的兩件樣品的重量之差不超過2克”，則的基本事件有4種: ，故所求概率為 8. 已知集合，設m=|,，在集合m內隨機取出一個元素.（1）求以為坐標的點落在圓上的概率；（2）求以為坐標的點位于區(qū)域d：內（含邊界）的概率.解：（1）集合m 的所有元素有(-2, -1)，(-2, 1)，(0, -1)，(0, 1)，(2, -1)，(2, 1)共6個記“以為坐標的點落在圓上”為事件a，則基本事件總數(shù)為6.因落在圓上的點有(0, -1)，(0, 1)2個，即a包含的基本事件數(shù)為， 所以 （2）記“以(x，y)為坐標的點位于區(qū)域d內”為事件b. 則基本事件總數(shù)為6.由右圖知位于區(qū)域d內（含邊界）的

6、點有：(-2, -1)，(2, -1)，(0, -1)，(0, 1)共個，即b包含的基本事件數(shù)為4， 故. 9. 如圖，四邊形abcd為梯形，abcd，平面abcd， ，e為bc中點.（1）求證：平面平面pde；（2）線段pc上是否存在一點f，使pa/平面bdf？ 若有，請找出具體位置，并進行證明；若無，請分析說明理由.解析：（1）連結，所以，為中點，所以 ，又因為平面,所以，因為所以平面因為平面,所以平面平面（2）當點位于三分之一分點（靠近點）時, 平面連結交于點，,所以相似于又因為，所以，從而在中, 10分而，所以，而平面，平面所以平面10如圖，在矩形中，點為邊上的點，點為邊的中點， ,現(xiàn)

7、將沿邊折至位置，且平面平面.（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積解析：（1）證明：在中,在中，,. 平面平面，且平面平面 平面,平面，平面平面. （2）解：過做,平面平面平面且平面平面， 平面,四棱錐的高. 則. 11已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形（1）證明：bn平面c1b1n； （2）求點解析：（1）證明：由題意：該幾何體的正視圖其正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.則 ,（2）由等體積法,則12. 如圖，正方形所在平面與三角形所在平面相交于，平面，且， （1）求證：平面；abcde（2）求凸多面體的

8、體積證明：（1）平面，平面， 在正方形中，平面，平面（2）解法1：在中，abcdef過點作于點，平面，平面， ，平面，又正方形的面積， 故所求凸多面體的體積為 解法2：在中， abcde連接，則凸多面體分割為三棱錐和三棱錐 由（1）知，又，平面，平面，平面點到平面的距離為的長度 平面，故所求凸多面體的體積為13. 設等差數(shù)列的前項和為，滿足：.遞增的等比數(shù)列前項和為，滿足：，（1）求、的通項公式（2）設數(shù)列對，均有成立，求解：由題意得，得則公差，則則是方程的兩根，得又，則，則（2）兩式相減得則又，則則14. 設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，且恰好是等比數(shù)列的前三項（1）求數(shù)列、的通項公式

9、； （2）記數(shù)列的前項和為，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：（1），當時，恒成立， 當時，是公差的等差數(shù)列. 構成等比數(shù)列，解得， 當時，由條件可知， 數(shù)列的通項公式為. ，數(shù)列的通項公式為 （2）， 對恒成立， 即對恒成立， 11分令，當時，當時， ， 15已知數(shù)列滿足且。（1）求的值；（2）是否存在一個實數(shù)，使得且為等差數(shù)列？若存在，求出的值；如不存在，請說明理由；（3）求數(shù)列的前n項和解析：（1）當n=2時，當n=3時， （2）法一：當時， 要使為等差數(shù)列，則必須使, 即存在，使為等差數(shù)列 法二：利用，可得，再證明為等差數(shù)列.（3） 因為當時，為等差數(shù)列，且，所以 所以 所以 1

10、6已知數(shù)列中，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若是數(shù)列的前n項和，求.解析：（1）設，則， 因為所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列. （2）由（1）得，即， 由，得， 所以， ， 17. 已知橢圓 經(jīng)過點，且其離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓的右焦點，橢圓與y軸的正半軸相交于點b，經(jīng)過點b的直線與橢圓相交于另一點a，且滿足，求abf外接圓的方程.解：（1）因為橢圓經(jīng)過點，所以.因為橢圓的離心率為，所以，即.聯(lián)立解得，.所以橢圓的方程為.（2）由（1）得，橢圓的方程為，所以.設，則.因為，且，所以，即.聯(lián)立解得，或，所以或.當為時，因為，所以abf的外接圓是以為圓心，1為半徑的圓，

11、此時外接圓的方程為.當為時，設abf的外接圓方程為，則解得此時外接圓的方程為.綜上所述，abf的外接圓的方程為或.18已知圓，若橢圓的右頂點為圓m的圓心，離心率為（1）求橢圓c的方程；（2）已知直線，若直線與橢圓c分別交于a，b兩點，與圓m分別交于g，h兩點（其中點g在線段ab上），且，求的值解：（1）圓m的圓心為，則，故橢圓c的方程為（2）設，由直線與橢圓c交于兩點a，b則 得所以，點m到直線的距離，則顯然，若點h也在線段ab上，則由對稱性可知，直線就是y軸，矛盾， 即， 解得，即19. 已知橢圓的右焦點為，且點在橢圓上，為坐標原點（1）求橢圓的標準方程；（2）設過定點的直線與橢圓交于不同的

12、兩點、，且為銳角，求直線的斜率的取值范圍；（3）過橢圓上異于其頂點的任一點，作圓的兩條切線，切點分別為（不在坐標軸上），若直線在軸、軸上的截距分別為、，證明：為定值解：（1）由題意得： 所以 又因為點在橢圓上，所以，可解得所以橢圓標準方程為 （2）設直線方程為，設、由得：， 因為，所以， 又， 因為為銳角，所以， 即，所以，所以 所以即，所以所以，解得或 （3）由題意：設點，,因為不在坐標軸上，所以直線的方程為化簡得： 同理可得直線的方程為 把點的坐標代入、得所以直線的方程為， 令，得，令得，所以，又點在橢圓上，所以， 即為定值 20已知拋物線：的焦點為，點是直線與拋物線在第一象限的交點，且.

13、（1）求拋物線的方程；（2）設直線與拋物線有唯一公共點，且直線與拋物線的準線交于點,試探究，在坐標平面內是否存在點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.（1）解法1： 點是直線與拋物線在第一象限的交點，設點 拋物線c的準線為，由結合拋物線的定義得 又點在拋物線c上， 由聯(lián)立解得，所求拋物線的方程式為 解法2：點是直線與拋物線在第一象限的交點，設點 拋物線c的焦點為，由得即 又點在拋物線c上， 由聯(lián)立解得，所求拋物線的方程式為 （2）解法1：由拋物線c關于軸對稱可知，若存在點，使得以為直徑的圓恒過點，則點必在軸上，設 又設點，由直線與拋物線有唯一公共點知，直線與拋物

14、線相切，由得， 直線的方程為 令得，點的坐標為， 點在以為直徑的圓上， 要使方程對恒成立，必須有解得 在坐標平面內存在點，使得以為直徑的圓恒過點，其坐標為 解法2：設點，由與拋物線有唯一公共點知，直線與拋物線相切，由得， 直線的方程為 7分令得，點的坐標為 以為直徑的圓方程為： 分別令和，由點在拋物線上得將的值分別代入得：聯(lián)立解得或 在坐標平面內若存在點，使得以為直徑的圓恒過點，則點必為或將的坐標代入式得，左邊=右邊將的坐標代入式得，左邊=不恒等于0 在坐標平面內是存在點，使得以為直徑的圓恒過點，點坐標為為 21. 設函數(shù)(其中).(1) 當時,求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；(2) 證明：當時，函數(shù)

15、在上有且只有一個零點解: (1) 當k=1時, ,.當變化時,的變化如下表:減增增由表可知, f(x)的增區(qū)間(-,0), (ln2, +), 減區(qū)間為(0, ln2). 極大值為-1, 極小值為.(2) .當x1時, f(x)0, 所以f(x)在(-,1) 上無零點, 故只需證明f(x)在1, +)上有且只有一個零點.，若, 當x1時, , f(x)在1,+)上單調遞增, ,所以f(x)在1,+)上有且只有一個零點.若, 則,f(1)=-k0, .令, .所以f(x)在1,+)上有且只有一個零點.綜上得:f(x)在r上有且只有一個零點.22. 已知函數(shù)的圖像在點處的切線與直線平行.（1）求a

16、，b滿足的關系式；（2）若上恒成立，求a的取值范圍；（3）證明： （nn*）解：（1），根據(jù)題意，即.（2）由（）知，令，則，=當時， ，若，則，在減函數(shù)，所以，即在上恒不成立時，當時，在增函數(shù)，又，所以綜上所述，所求的取值范圍是.（3）由（2）知當時，在上恒成立取得令，得，即,所以上式中n=1，2，3，n，然后n個不等式相加得23. 已知函數(shù)有且只有一個零點.（1）求a的值；（2）若對任意的，有恒成立，求實數(shù)k的最小值；（3）設，對任意，證明：不等式恒成立.24. 已知函數(shù). 求函數(shù)的單調增區(qū)間； 記函數(shù)的圖象為曲線，設點是曲線上兩個不同點，如果曲線上存在點，使得：；曲線在點處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”.試問：函數(shù)是否存在中值相依切線，請說明理由.解：（1）函數(shù)的定義域是. 由已知得，. 當時, 令,解得;函數(shù)在上單調遞增 當時， 當時，即