拋物線的對稱與對稱變換

1、探究拋物線的對稱 南昌市育新學校 駱文娟大家都知道拋物線是軸對稱圖形，其對稱軸是拋物線的增減性的分界線，即當（）時，左側隨的增大而減?。ㄔ龃螅?，右側隨的增大而增大（減?。貏e應注意的是拋物線與軸的兩個交點是關于拋物線的對稱軸對稱；若將拋物線以軸、或軸、或原點進行對稱變換那更是妙趣橫生，給我們解決有關的拋物線問題帶來明朗思路和簡捷的方法.下面筆者將例舉說明，供大家學習時參考.一、當拋物線與軸的兩交點為a（m，0）、b（n，0），對稱軸為=時，由對稱性可得m-h=h-n（mn）或n-h=h-m（nm），即.例1（a）（2007年江西）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖1所示，則關于的一元二次方程的解為

2、解析：圖中只畫出拋物線的一部分，但拋物線的對稱軸直線=1已給出，故我們可以根據(jù)拋物線的對稱性得到點（3，0）關于直線=1對稱的點的坐標為（-1，0），所以此題應填，.點評：本題在理解二次函數(shù)的圖象與軸的兩交點的橫坐標就是方程兩根的前提下，已知一交點的坐標時，應充分利用拋物線的對稱性找出另一個交點的坐標.（b）（2008年福建省廈門）已知：拋物線經(jīng)過點（1）求的值；（2）若，求這條拋物線的頂點坐標；（3）若，過點作直線軸，交軸于點，交拋物線于另一點，且，求這條拋物線所對應的二次函數(shù)關系式（提示：請畫示意圖思考）解析：（1）由于點p在拋物線上，將點p的坐標代入解析式便可得：，（2）略，（3）當b3

3、時，拋物線對稱軸， 對稱軸在點p的左側（如圖2所示），p點的坐標為（-1，-2b） pa=1，又bp=2pa，pb=2. 則b點的橫坐標為-3，即b（-3，2b），因為拋物線是軸對稱圖形， 此時拋物線的對稱軸為，b=5，又b+c=-2， c=-7，這條拋物線對應的二次函數(shù)關系式是點評：本題是（a）的拓展，p、b兩點仍關于拋物線的對稱軸對稱，對于這一點能否理解，是解決本題的關鍵所在.變式1：已知拋物線y=a(x-2)2+c的圖象如圖3所示，該拋物線與x軸交于a、b兩點，b點的坐標為（，0）,試求方程a(x-2)2+c=0的兩根.（答案：方程兩根為x1=, x2=4-）二、兩條拋物線關于軸或軸對稱

4、，則兩拋物線對應兩點的坐標為（a，b）與（-a，b）或（a，b）與（a，-b）.例2（2008年煙臺有改動）如圖4，拋物線e：交x軸于a，b兩點，交y軸于m點，拋物線e關于y軸對稱的拋物線f交x軸于c、d兩點.（1）求拋物線f對應的函數(shù)表達式；（2）拋物線e或f在x軸上方的部分是否存在點n，使以a，c，m，n為頂點的四邊形是平行四邊形若存在，求出點n的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點p是拋物線e上的一個動點（p不與點a，b重合），那么點p關于原點的對稱點q是否在拋物線f上，請說明理由解析：（1）因為e、f兩條拋物線關于軸對稱，所以當解析式中的橫坐標互為相反數(shù)時，縱坐標不變，即，所以拋物線

5、f的解析式為.（2）當四邊形acnm是平行四邊形時，mnac，mn=ac，而m（0，3），ac=2，則拋物線e的軸上方有點n（-2，3）滿足條件，由于e、f兩條拋物線關于軸對稱，此時n（2，3）點也滿足條件，故存在滿足條件的點n的坐標為（-2，3）或（2，3）.（3）設是e上任意一點，則點關于原點的對稱點，且，將點的橫坐標代入f，得，點不在拋物線f上變式2：如圖5，拋物線e：yx24x3交x軸于a、b兩點，交y軸于m點，拋物線e關于y軸對稱的拋物線f交x軸于c、d兩點.（1）求拋物線f的解析式； （2）若將拋物線f進行關于x軸對稱的圖形變換得到拋物線g，求拋物線g的頂點坐標；（3）若點p是拋物

6、線e上的一個動點（p不與點a，b重合），那么點p關于原點的對稱點q是否在拋物線g上，請說明理由答案,（1）.拋物線，（2）（2，1）,（3）點q在拋物線g上，因為拋物線e與拋物線g關于原點對稱.點評：當兩拋物線圖象關于軸對稱時，兩圖象上各對應點也關于軸對稱，把原題中的（，）用（-，）代入，即可得結論.三、兩條拋物線關于原點對稱，則兩條拋物線上對應兩點的坐標為（a，b）與（-a，-b）例3（2008年江西有改動）已知：如圖6所示的兩條拋物線的解析式分別是，（其中為常數(shù)，且）（1）請寫出三條與上述拋物線有關的不同類型的結論；（2）當時，設與軸分別交于兩點（在的左邊），與軸分別交于兩點（在的左邊），觀察四點坐標，請寫出一個你所得到的正確結論，并說明理由.解析：第（1）問可從兩拋物線的形狀、開口方向、對稱軸、與坐標軸的交點和兩拋物線關于原點成中心對稱圖形等方面來找結論;.在（2）中由于點m、n、e、f都在軸上，所以它們的縱坐標都為0，而拋物線、關于原點成中心對稱，m與f，e與n是對稱點，所以與，與互為相反數(shù)，即，或.點評：要尋找出題中拋物線不類型的正確結論，一是要從兩拋物線各自的特點進行分析;二是要關注兩拋物線之間的相互位置關系.變式3：已知拋物線的頂點為p，且與軸交于a、b兩點，現(xiàn)將這條拋物線繞原點旋轉180，得到拋物線且與軸交于