廣東省中山市高三第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

1、中山市高三級20132014學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷（理科）本試卷共4頁，20小題，滿分150分考試用時120分鐘注意事項：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、統(tǒng)考考號、座位號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。2、每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題上。3、不可以使用計算器。4、考試結(jié)束，將答題卡交回，試卷不用上交。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設(shè)復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限（第2題圖）2設(shè)全集是實

2、數(shù)集則圖中陰影部分所表示的集合是 （ ） ab cd3已知平面向量，若，則等于( )abc（第4題圖）d4定義某種運算，運算原理如上圖所示，則式子的值為（ ）a4b8c11d135把邊長為的正方形沿對角線折起，使得平面平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如下圖所示，則側(cè)視圖的面積為 （ ）a b c d 6下列四個命題中，正確的有兩個變量間的相關(guān)系數(shù)越小，說明兩變量間的線性相關(guān)程度越低；命題：“，”的否定：“，”；用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，若越大，則說明模型的擬合效果越好；若，則abcd7對、，運算“”、“”定義為：=，=，則下列各式其中不恒成立的是（ ） a、b、c、d、 8. 已知函數(shù)滿足，且

3、時，則當(dāng)時，與的圖象的交點個數(shù)為( )a13b12c11d10二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分9已知函數(shù)，則 . 10如圖，一不規(guī)則區(qū)域內(nèi)，有一邊長為米的正方形，向區(qū)域內(nèi)隨機地撒顆黃豆，數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）的黃豆數(shù)為 375 顆，以此實驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計出該不規(guī)則圖形的面積為 平方米.（用分?jǐn)?shù)作答）11在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是 12已知,則 .13已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則 .14如圖, ，且，若，（其中），則終點落在陰影部分（含邊界）時，的取值范圍是 . 三、解答題： 本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15（本題滿分12分）

4、設(shè)平面向量，函數(shù).（）求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（）當(dāng),且時,求的值.16（本題滿分12分）某校從參加高三年級期末統(tǒng)考測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示（）估計這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分和眾數(shù)；（）假設(shè)在90，100段的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都不相同，且都超過94分若將頻率視為概率，現(xiàn)用簡單隨機抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數(shù)中任意抽取2個數(shù)，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望 pbedca17（本小題滿分14分）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面， ，.是的中點，（）求證：

5、平面平面； （）求二面角的余弦值；（）求直線與平面所成角的正弦值18（本小題滿分14分） 數(shù)列的前n項和為，（）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項和；（）若，數(shù)列的前項和，證明：19（本小題滿分14分）已知函數(shù)，.（）若，且對于任意恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（）設(shè)函數(shù)，求證：20（本題滿分14分）已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）；（）如果函數(shù)和有相同的極值點，求的值；（）設(shè)，問是否存在，使得，若存在，請求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由（）記函數(shù)，若函數(shù)有5個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍中山市高三級20132014學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本大題共8小題，

6、每小題5分，共40分 daad bcbc二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分9. ; 10. 11. ; 12. ； 13. 45； 14. 三、解答題： 本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15（本題滿分12分）設(shè)平面向量，函數(shù)。（）求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（）當(dāng),且時,求的值.15解： 依題意（2分） （4分）（） 函數(shù)的值域是；（5分）令，解得（7分）所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（8分）（）由得,因為所以得,（10分） （12分）16(本題滿分12分)某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖

7、如圖所示（i）估計這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分；（ii）假設(shè)在90，100段的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都不相同，且都超過94分若將頻率視為概率，現(xiàn)用簡單隨機抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數(shù)中任意抽取2個數(shù)，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望 16. 解：（i）利用中值估算抽樣學(xué)生的平均分：450.05+550.15+650.2+750.3+850.25+950.05 =72. （3分）眾數(shù)的估計值為75分 （5分）所以，估計這次考試的平均分是72分 （6分）（注：這里的眾數(shù)、平均值為估計量，若遺漏估計或大約等詞語扣一分）（ii

8、）從95， 96，97，98，99，100中抽2個數(shù)的全部可能的基本結(jié)果數(shù)是，有15種結(jié)果，學(xué)生的成績在90，100段的人數(shù)是0.0051080=4（人），這兩個數(shù)恰好是兩個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的基本結(jié)果數(shù)是，兩個數(shù)恰好是兩個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的概率 （8分）隨機變量的可能取值為0、1、2、3，則有變量的分布列為：0123p （10分） （12分） 解法二. 隨機變量滿足獨立重復(fù)試驗,所以為二項分布, 即（10分） （12分）pbedca17（本小題滿分14分）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，.是的中點，（）求證：平面平面； （）求二面角的余弦值；（）求直線與平面所成角的正弦值17解法一：（），.

9、-（2分）, . 而, 平面. （4分）. （5分）（）連結(jié)、，取中點， 連結(jié) ， 則, 平面， 平面.過作交于，連結(jié)，則 就是二面角所成平面角. （7分）由，則.在中， 解得.因為是的中點，所以. （8分）而，由勾股定理可得. （9分）. （10分）（）延長，過作垂直于，連結(jié)，又，平面， 過作垂直于， 則, 所以平面, 即平面，所以在平面內(nèi)的射影是，是直線與平面所成的角.（12分）pbedcaofgh. .（14分）解法二：以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則(0，0，0) , (2，0，0), (2，4，0) , (0，4，0) ，(0，2，1) ,

10、(0，0，2) . （2分）(2，0，0) , (0，4，0) , (0，0，2) , (2，0，0) ,pbedcaxyz(0，2，1) , (2，4，0) . （3分）（）, .又, . （5分）, , 而,平面平面.（7分）（）設(shè)平面的法向量=,令，則.由即=. （9分）平面的法向量(0，0，2) , .所以二面角所成平面角的余弦值是. （11分）（）因為平面的法向量是=，而(2，0，0) . 所以 . （13分） 直線與平面所成角的正弦值 . （14分）18（本小題滿分14分） 數(shù)列的前n項和為，（i）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）求數(shù)列的前項和；（）若，數(shù)列的前項和，證明：18【

11、解析】（i）因為，所以 當(dāng)時，則， （1分） 當(dāng)時，（2分）所以，即，所以，而， （3分）所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以（4分）（ii）由(1)得所以 ， （5分）-得：， （7分） .（9分）（iii）由(i)知 （10分）（1）當(dāng)時，成立； （11分）（2）當(dāng)時，（13分）所以. （14分）（本題放縮方法不唯一,請酌情給分）19. 已知函數(shù)，.（i）若，且對于任意恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（ii）設(shè)函數(shù)，求證：19. 解:（）由可知是偶函數(shù)于是對任意成立等價于對任意成立（1分）由得當(dāng)時，此時在上單調(diào)遞增 故，符合題意（3分）當(dāng)時，當(dāng)變化時的變化情況如下表： （4分）單調(diào)遞減極

12、小值單調(diào)遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實數(shù)的取值范圍是 （7分）（），又， （10分）， （12分）由此得:故成立. （14分）20（本題滿分14分）已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）；（i）如果函數(shù)和有相同的極值點，求的值；（ii）設(shè)，問是否存在，使得，若存在，請求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由（iii）記函數(shù)，若函數(shù)有5個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍20解：（i），則，令，得或，而在處有極大值，或；綜上：或 （3分）（ii）假設(shè)存在，即存在，使得，當(dāng)時，又，故，則存在，使得， （4分） 當(dāng)即時，得，； （5分） 當(dāng)即時，得，（6分）無解；綜上： （7分）（iii）據(jù)題意有有3個不同的實根，有2個不同的實根，且這5個實根兩兩不相等（）有2個不同的實根，只需滿足；（8分）（）有3個不同的實根，當(dāng)即時，在處取得極大值，而，不符合