三角函數(shù)的圖象與性質(教案)

1、1.4 三角函數(shù)的圖象和性質教學目的：（一）1.理解并掌握作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的方法;2.理解并熟練掌握用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)簡圖的方法;3.理解并掌握用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象解最簡單的三角不等式的方法.（二）1.理解正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義;2.會求簡單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間;3.會求簡單函數(shù)的奇偶性.（三）1.理解并掌握作正切函數(shù)和余切函數(shù)圖像的方法;2.理解并掌握用正切函數(shù)和余切函數(shù)的圖像解最簡三角不等式的方法;3.掌握正切函數(shù)的性質和性質的簡單應用;4.會解決一些實際問題.教學重點：1.用單位圓中的正弦線作正弦、正切函數(shù)的圖象

2、;2.正、余弦和正切函數(shù)的性質.教學難點：1.用單位圓中的余弦線作余弦、正切函數(shù)的圖象;2.正、余弦和正切函數(shù)性質的理解與應用.教學過程：一、復習引入：1.弧度定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為弧度的角.2.正、余弦函數(shù)定義：設是一個任意角,在的終邊上任取(異于原點的)一點,與原點的距離()則 比值叫做的正弦 記作比值叫做的余弦 記作比值叫做的正切 記作3.三角函數(shù)線: 根據(jù)正弦,余弦,正切的定義,則有 ,這三條與單位圓有關的有向線段分別叫做角的正弦線,余弦線,正切線. 當角的終邊落在軸上時,與重合,與重合,此時正弦線,正切線分別變成一個點;當角的終邊在軸上時,與重合,余弦線變成一個點,

3、過的切線平行于軸,不能與角的終邊相交,所以正切線不存在,此時角的正切值不存在.二、講解新課：(一)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象1.用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象(幾何法):為了作三角函數(shù)的圖象,三角函數(shù)的自變量要用弧度制來度量,使自變量與函數(shù)值都為實數(shù).在一般情況下,兩個坐標軸上所取的單位長度應該相同,否則所作曲線的形狀各不相同,從而影響初學者對曲線形狀的正確認識.正弦函數(shù)的圖象第一步,在直角坐標系的軸上任取一點,以為圓心作單位圓,從這個圓與軸的交點起把圓分成(這里)等份.把軸上從到這一段分成(這里)等份.(預備：取自變量值弧度制下角與實數(shù)的對應).第二步,在單位圓中畫出對應

4、于角,的正弦線正弦線(等價于“列表”).把角的正弦線向右平行移動,使得正弦線的起點與軸上相應的點重合,則正弦線的終點就是正弦函數(shù)圖象上的點(等價于“描點”).第三步,連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結起來,就得到正弦函數(shù),的圖象.根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等,把上述圖象沿著軸向右和向左連續(xù)地平行移動,每次移動的距離為,就得到,的圖象. 把角的正弦線平行移動,使得正弦線的起點與軸上相應的點重合,則正弦線的終點的軌跡就是正弦函數(shù)的圖象.余弦函數(shù)的圖象用幾何法作余弦函數(shù)的圖象,可以用“反射法”將角的余弦線“豎立”.把坐標軸向下平移,過作與軸的正半軸成角的直線,又過余弦線的終點作軸的垂線,它與

5、前面所作的直線交于,那么與長度相等且方向同時為正,我們就把余弦線“豎立”起來成為,用同樣的方法,將其它的余弦線也都“豎立”起來,再將它們平移,使起點與軸上相應的點重合,則終點就是余弦函數(shù)圖象上的點.也可以用“旋轉法”把角的余弦線“豎立”(把角的余弦線按逆時針方向旋轉到位置,則與長度相等,方向相同.)根據(jù)誘導公式,還可以把正弦函數(shù)的圖象向左平移單位即得余弦函數(shù)的圖象.正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.2.用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(描點法):正弦函數(shù),的圖象中,五個關鍵點是:余弦函數(shù),的圖像中,五個關鍵點是:只要這五個點描出后,圖象的形狀就基本確定了.因此在精確度

6、不太高時,常采用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖,要求熟練掌握.(二)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質1.定義域正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集(或).2.值域(1)值域因為正弦線、余弦線的長度不大于單位圓的半徑的長度,所以,即也就是說,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是.(2)最值正弦函數(shù)當且僅當時,取得最大值當且僅當時,取得最小值余弦函數(shù)當且僅當時,取得最大值當且僅當時,取得最小值3.周期性由知:正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復地取得的.定義：對于函數(shù),如果存在一個非零常數(shù),使得當取定義域內(nèi)的每一個值時,都有,那么函數(shù)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.由此可知,都是這兩個函數(shù)的

7、周期.對于一個周期函數(shù),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期.根據(jù)上述定義,可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性由可知:()為奇函數(shù),其圖象關于原點對稱()為偶函數(shù),其圖象關于軸對稱5.對稱性正弦函數(shù)的對稱中心是,對稱軸是直線;余弦函數(shù)的對稱中心是,對稱軸是直線(正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸(中軸線)的交點).6.單調(diào)性從的圖象上可看出:當時,曲線逐漸上升,的值由增大到當時,曲線逐漸下降,的值由減小到結合上述周期性可知:正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從增大到

8、;正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從減小到.余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是增函數(shù),其值從增加到;余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間上都是減函數(shù),其值從減小到.和的圖象和性質(表中)函數(shù)圖象定義域值域最值當,當,當,當,奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)對稱中心對稱軸最小正周期單調(diào)性遞增遞減遞增遞減(三)正切函數(shù)的圖象和性質1.正切函數(shù)的圖像在區(qū)間內(nèi)作出函數(shù)圖像,根據(jù)正切函數(shù)的周期性,把上述圖像向左、右擴展,得到正切函數(shù),且的圖像,稱“正切曲線”.2.正切函數(shù)和余切函數(shù)的性質(1)定義域:(2)值域:(3)周期: 的周期為(最小正周期) (4)奇偶性:正切函數(shù)是奇函數(shù) 由誘導公式,我們可以證明正切函數(shù)是奇函數(shù),正切函

9、數(shù)的圖像關于原點對成. (5)對稱性:對稱中心是,特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類:一類是圖象與軸的交點,另一類是漸近線與軸的交點,但無對稱軸,這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處. (6)單調(diào)性:由圖像可知,正切函數(shù)再區(qū)間內(nèi)都是單調(diào)增函數(shù).三、講解范例：(一)圖象問題例1 畫出與兩函數(shù)的圖象,觀察兩曲線的平移關系.解: 略例2 作下列函數(shù)的簡圖: (1), (2) (3）解: 略例3 用五點法作函數(shù)的簡圖,并求其與直線交點個數(shù).解: 略例4 分別利用函數(shù)的圖象和三角函數(shù)線兩種方法,求滿足下列條件的的集合: (1) (2)解: 略例5 求下列函數(shù)的定義域: (1) (2) (3)解: 略補

10、充例題： (1)函數(shù)圖象的對稱軸是 _;對稱中心是 _. (2)函數(shù)圖象的對稱軸是_ ;對稱中心是 _.(3)函數(shù)圖象的對稱軸是_ ;對稱中心是 _.(4)函數(shù)與的圖象關于_對稱.(填一種情況即可)(5)方程的根的個數(shù)為( ) a. b. c. d. (6)用五點法作函數(shù)的圖象時,首先應描出的五個點橫坐標可是( ) a. b. c. d.(二)定義域、值域問題例1 求下列函數(shù)的定義域:(1)(2)(3)求下列函數(shù)的值域:(1)(2)(3)解: 略例2 求使下列函數(shù)取得最大值的自變量()的集合,并說出最大值是什么;若呢？(1); (2)解: 略例3 已知函數(shù)的定義域為,值域為.求的值.解: 略例

11、4 求函數(shù)的最大值.解: 略例5 (1)已知(),求的最大值和最小值.(2)求的最大值和最小值.(注:,)解: 略(三)周期性、奇偶性問題例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)(2)()(3)(4)解: 略例2 (1)已知,且,求.(2)若為奇函數(shù),且當時,求當時,的解析式.(3)若函數(shù)是偶函數(shù),求的值.解: 略例3 求下列三角函數(shù)的周期,并探究其結.(1) (2)(3) (4)解: 略點評: 一般地,函數(shù)及函數(shù)(其中、為常數(shù),且,)的周期.例4 (1)求函數(shù)的周期.(2)求函數(shù)的周期.解: 略例5 求下列函數(shù)的最小正周期: (1) (2) (3)解: 略例6 (1)已知是周期為的周期函數(shù),且,求

12、. (2)已知奇函數(shù)是上的函數(shù),且,求.解: 略例7 是定義在上的偶函數(shù),其圖象關于對稱,對任意的, 都有.(1)設,求;(2)證明:是周期函數(shù).解: 略例8 (1)若函數(shù)()的圖象關于直線與()都對稱,求證:是周期函數(shù),且是它的一個周期;(2)若函數(shù)()滿足(常數(shù)),求證:是周期函數(shù),且是它的一個周期.解: 略(四)單調(diào)性問題例1 求下列函數(shù)()的單調(diào)區(qū)間:(1) (2) (3) (4) (5) (6)解: 略例2 求下列的單調(diào)遞增區(qū)間:(1) (2)解: 略例3 不通過求值,比較下列各式的大小:(1), (2),(3), (4),解: 略例4 求函數(shù),的單調(diào)增區(qū)間.解: 略例5 已知.(1)求的定義域和值域;(2)判斷它的奇偶性、周期性;(3)判斷的單調(diào)性.解: 略 (1), (2)奇函數(shù),周期函數(shù) (2)增區(qū)間:;減區(qū)間:(五)正切函數(shù)的圖象和性質例1 討論函數(shù)的性質.(定義域,值域,周期性,奇偶性,單調(diào)性)解: 略例2 (1)用描點法作函數(shù)的圖像. (2)作出函數(shù)的圖像,并根據(jù)圖像求其單調(diào)區(qū)間. (3)作出函數(shù)且的簡圖.解: 略例3 不通過求值,比較下列各組數(shù)的大小.(1),(2),(3),解: 略例4 解不等式.解: 略例5 求下列函數(shù)的定義域(1) (2) (3)解: 略例6 求函數(shù)的值域.解: 略思考：如果,結果又如何？例