數(shù)學建模課件(姜啟源)第二章初等模型

1、2.5劃艇比賽的成績第二章初等模si21公平的席位分配2.2錄像機計數(shù)器的用途2.3雙層玻璃窗的功效 2.4汽車剎車距離26實物交換2.7核軍備競賽28啟帆遠航2.9量綱分析與無量綱化2.1公平的席位分配三個系學生共200名(甲系100,乙系60,丙系40),代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10, 6, 4席?，F(xiàn)因學生轉系，三系人數(shù)為103, 63,34,問20席如何分配。系別學生 人數(shù)比例(%)20席的分配21席的分配比例結果比例結果甲10351.510.31010.81511乙6331.56.366.6157丙3417.03.443.5703總和200100.020.02021.

2、00021若增加為21席，又如何分配。對丙系公平嗎法人數(shù)席位A方|Pi1 nlB方Pln2“公平”分配方衡量公平分配的數(shù)量指標當pjn=pn2時，分配公平pi/nlp2/n2,對 A不公平pj150 n10 P/z/=152=1，兀2=1，衛(wèi)2/2=1Pl/Wl-P2/W2=5”1=1050，p1/n1=105”2=1000，n2=10,卩2%2=1PMP吋5雖二者的絕對 不公平度相同但后者對A的不公平 程度已大大降低！p1/n1-p2/n2 對A的絕對不公平度“公平”分配方 將絕對度量改為相對度量/pl/n1p2/n2 ,定義pjnx-p2!n2-rA(n,n2) 對人的相對不公平度 公平分

3、配方案應類似地定義rB(nvn2)使rA, rB盡量小將一次性的席位分配轉化為動態(tài)的席位分配,即設A,B已分別有衍皿2席，若增加1席,問應分給A,還是B不妨設分配開始時pjnpp2ln2 ,即對A不公平應討論以下幾種情況初始Pi%i Piln21）若 p1/（n1+l） p2ln2 ,則這席應給 A2)若pJ(n、+lXP2加2，應計算。（心+1，旳2）3)若pl/np2/(n2+l)y應計算林心,卅2+1）問：Pi/n1rA（nv兀2+I），則這席應給B當。（心+1，n2）v rA（nv n2+l）,該席給AXLrB的定義-況一該席給Ari2 （兀2 + 1）1 （兀1 + 1）2定義Qi=

4、 P，I、，Z = l，2,該席給0值較大的一方 叫（%+1）推廣到加方分配席位2計算X站i = 12 ”否則，該席給B該席給e值最大的一方 q值方法三系用0值方法重新分配21個席位甲系：Pi=103, !=10乙系 t p2= 63, /2= 6丙系：卩3= 343= 3用0值方法分配 第20席和第21席第20席& =1 n*zro2q聞二964,而=94.5,2 而= 96301最大，第20席給甲系第21席QiQ值方法 分配結果103211x12= 80403 同上甲系11席，乙系6席，丙系4席03最大，第21席給丙系公平嗎？Q按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢進一步的討論0值方法比“

5、比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準則已知：加方人數(shù)分別為卩1，卩2,，P/n，記總人數(shù)為P=p1+p2+.+pZM?待分配的總席位為N。設理想情況下加方分配的席位分別為nvnv.1!（自然應有 i+2+心二N）、再應是2V和川,pm的函數(shù)，即尸再,pm記q汙NpJPy i=129 %若么均為整數(shù)，顯然應npqtq產(chǎn)NpJP不全為整數(shù)時，駕應滿足的準則: 記如_ =flooi（的）向 乞方向取整；如+=ceil） 向仏方向取整.1） _ 如+（1=1,2,.，斶,即必取仏_,如 + 之一2）岡（N,Pi，幾）罔（+1,卩1，卩加）（i=l,2,，加）即當總席位增加時,再不應減少“比例加

6、慣例”方法滿足1）,但不滿足2）0值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾!2.2錄像機計數(shù)器的用途經(jīng)試驗，一盤標明180分鐘的錄像帶 從頭走到尾，時間用了 184分，計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061 o在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉過大半，計數(shù)器讀數(shù)為思考計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎?4450,問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目？要求不僅回答問題，而且建立計數(shù)器讀數(shù)與 錄像帶轉過時間的關系。觀察 計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！ 問題分析 錄像機計數(shù)器的工作原理模型假設錄像帶的運動速度是常數(shù)V ；計數(shù)器讀數(shù)與右輪轉數(shù)加成正比，記m=kn； 錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)W； 空右輪盤半徑記作r ； 時間（=0

7、時讀數(shù)n=0.建模目的建立時間r與讀數(shù)之間的關系（設卩,k,w , r為已知參數(shù)）模型建立建立（與的函數(shù)關系有多種方法1-右輪盤轉第i圈的半徑為廠+wi，加圈的總長度III等于錄像帶在時間r內(nèi)移動的長度所以m工 2%（廠+ wi）二譏m knrcwk 22 Turkt =n Hn模型建立2 考察右輪盤面積的變化，等于錄像帶厚度乘以轉過的長度，即EQ上3.考察（到（+力錄像帶在右輪盤纏繞的長度，有上上7r(r + wkn)2 -r2 = wvt (r + wkn)27rkdn = vdt7iwk2 9rTTirkHn思 考 3種建模方法得到同一結果藝2兀(廠 + wf) = vt i=7r(rw

8、kri)2 r2 = wvt 匸(r + wkn)27ikdn = vdt .7iwk2 nV但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解釋。模型中有待定參數(shù)r.w.v.k27irkHnv一種確定參數(shù)的辦法是測量或調查，請設計測量方法。參數(shù)估計另一種確定參數(shù)的方法測試分析將模型改記作t = an +bn.只需估計偽方理論上，已知r=184,n=6061,再有一組（）數(shù)據(jù)即可 實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合tn0204060800000 1141 2019 2760 3413t n100 120 140 160 184 4004 4545 5051 5525 6061現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù):用最小

9、二乘法可得 a 2.6 lx 10-6, 1.45x102.模型檢驗應該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗模型:t an1 -bn (a = 2.61 x 10 6,b 1.45x 10 2)模型應用回答提出的問題：由模型算得n = 4450時t = 116.4分, 剩下的錄像帶能錄184-116.4= 67.6分鐘的節(jié)目。揭示了作與之間呈二次函數(shù)關系”這普遍規(guī)律,01!當錄像帶的狀態(tài)改變時，只需重新估計偽方即可。二問題假設2.3雙層玻璃窗的功效建模雙層玻璃窗與同樣多材料的單層 玻璃窗相比，減少多少熱量損失熱量傳播只有傳導，沒有對流 右,乙不變，熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài) 材料均勻，熱傳導系數(shù)為常數(shù)Q 單位時間單位

10、面積傳導的熱量M溫差，亦材料厚度/熱傳導系數(shù)熱傳導定律 O = k仝乙建模 記雙層玻璃窗傳導的熱量01碼內(nèi)層玻璃的外側溫度坊外層玻璃的內(nèi)側溫度農(nóng)1玻璃的熱傳導系數(shù) 鎧空氣的熱傳導系數(shù)室內(nèi)八T -Tab ”話h=ld建模記單層玻璃窗傳導的熱量Q2|=21 = &(s + 2)室內(nèi)八室外厶雙層與單層窗傳導的熱量之比Q 二 2 02 $ + 2s=hkh=lQ、 2屁=4x10-3 8x103 他=2.5x10七 處/他=16 32對01比02的減少量 作最保守的估計，取比1%2=161 = 819 2模型應用t二黠T h = l取 h=l/d=4,則 01/02=0361/02即雙層玻璃窗與同樣多

11、材料的單層玻璃窗相比，可減少97 %的熱量損失。o OO結果分析一 二- 6-3-2 O o OO 0/02所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳 導系數(shù)他，而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁損失的熱量更多。雙層窗的功效不會如此之大汽車剎車距離背景與問題實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是“2秒準則”:美國的某些司機培訓課程中的駕駛規(guī)則:正常駕駛條件下，車速每增10英里/小時， 后擊與前車甬距離應增一個車身的長度。后車司機從前車經(jīng)過某一標志開始默數(shù)2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何判斷“2秒準則”與“車身”規(guī)則是否一 建立數(shù)學模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。常識：剎車距離與車速有關10英里/小時

12、（46公里/小時）車速下2秒鐘行駛29英尺39米）車身的平均長度15英尺（=4.6米）吆一反應距離秒準則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則反應時間車速司機制動系統(tǒng) 狀況 靈活性 /常數(shù)制動距離制動器作用力、車重、車速、道路、氣候 最大制動力與車質量成正比，使汽車作勻減速運動。常數(shù) =d + Fd2= m v2/2F gmd2 kv2假設與建模1. 剎車距離d等于反應距離心 與制動距離2之和2. 反應距離右與車速卩成正比 耳為反應時間3. 剎車時使用最大制動力F,F作功等于汽車動能的改變;且F與車的質量觀成正比d tv + kv2車速實際剎車距離 （英尺）計算剎車距離 （英尺）剎車時間（秒）（英

13、里/小時）（英尺/秒）2029.342 (44)39.01.53044.073.5 (78)76.61.84058.7116 (124)126.22.15073.3173 (186)187.82.5608&0248 (268)261.43.070102.7343 (372)347.13.680117.3464 (506)444.84.3模型d-ty kv2參數(shù)估計反應時間心的經(jīng)驗估計值為075秒利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合A:最小二乘法zz比=006口計算剎車距離、剎車時間3002001000500400模型 d = v + Zrv2 = 0.75v + 0.06v2車速（英里冰備）0-

14、1010-4040-6060-80t （秒）12342.5劃艇比賽的成績對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手數(shù)有某種關系。試建立 數(shù)學模型揭示這種關系。賽艇 種類 單人 雙人 四人 八人2000米成績t （分）12347.176.776.135.737.166.876.335.877.256.926.425.927.286.956.485.82平均7.216.886.325.84艇長2艇寬（米）（米）7.939.7611.7518.280.2930.3560.5740.610l/b27.027.421.030.0空艇重w（kg）漿手數(shù)16.313.61

15、4.7?調查賽艇的尺寸和重量匚 2/方，Wo加基本不變問題分析分析賽艇速度與漿手數(shù)量之間的關系 賽艇速度由前進動力和前進阻力決定前進動力漿手的劃漿功率漿數(shù)手量進力前動賽艇11速度前進t己阻力7賽艇I速度!前進阻力浸沒部分與水的摩擦力對漿手體重、功率、阻力與艇速的關系等作出假定運用合適的物理定律建立模型模型假設符號：艇速V,浸沒面積,浸沒體積A,空艇重阻力漿手數(shù)n,漿手功率P,漿手體重叭艇重W1）艇形狀相同M為常數(shù)）,叫與兀成正比 艇的靜態(tài)特性艇的動態(tài)特性 漿手的特征2）卩是常數(shù)，阻力/與彤成正比3）w相同，p不變，與w成正比模型 np(fv /ocsv2 Pwv oc (n/s)i,3建立 $

16、i/2 *加/3 A ocVF(二oc n Soc n2/3m 匸 比賽成績foe1模型檢驗利用4次國際大賽冠軍的平均7.216.886.325.84成績對模型tgn 進行檢驗t = an9 與 logua+blog”2.6實物交換問 甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要, 題 商定相互交換一部分。研究實物交換方案。用3分別表示甲（乙）占有 的數(shù)量。設交換前甲占 有X的數(shù)量為兀,乙占有丫的 數(shù)量為兒，作圖：yJoyX貝！j矩形內(nèi)任一點pgy） 0若不考慮雙方對X, 丫的偏愛, 都是一種交換方案：甲占有（兀$），乙占有（x0-x,j0-j）分析與建模甲的無差別曲線如果甲占有（比,丿1）與

17、占有（兀2旳） 具有同樣的滿意程度，即刃,卩2 對甲是無差別的，將所有與P,P2無差別的點連接起來，得到一條無差別曲線MN,線上各點的滿意度相同，線的形狀反映對&Y的偏愛程度,比MV各點滿意度更高的點如卩3,在另一條無差別曲線Mi上。 于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1 滿意度（/等滿意度曲線）無差別曲線族的性質:單調減（兀增加減小）下凸（凸向原點）互不相交荷1點占有無少、y多, 寧愿以較多的Ay換取 較少的兀； 在”2點占有y少、兀多， 就要以較多的兀換取 較少的Ay。數(shù)學模型乙的無差別曲線族g（X,J）=C2具有相同打gd，滬C2性質（形狀可以不同）雙

18、方的交換路徑甲的無差別曲線族/=C乙的無差別曲線族gf（坐標 系xoy,且反向）雙方滿意的交換方案必在AB （交換路徑）上因為在AB外的任一點p；（雙方）滿意度低于AB上的點p數(shù)學模型數(shù)學模型等價交 換原則交換方案的進一步確定交換方案交換后甲的占有量(U)0仝仝0，0勻今o矩 、 交換路AB與CD的形內(nèi)任一點徑ABT交點P雙方的無差別曲線族用貨幣衡量其價值，設交換 前必必價值相同，則等價交換原 則下交換路徑為(%0)，(0必)兩點的連線CD設X單價坷丫單價乞則等價交換yax+by=s (s=axby2.7核軍備競賽冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實行“核威 懾戰(zhàn)略”，核軍備競賽不斷升級。隨

19、著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結束，雙方通過了一系列 的核裁軍協(xié)議。在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張，而存 在暫時的平衡狀態(tài)。估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個 數(shù)量受哪些因素影響。當一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導 彈等措施時，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。以雙方（戰(zhàn)略）核導彈數(shù)量描述核軍備的大小O假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略： 認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部 核導彈攻擊己方的核導彈基地；乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應保存足夠的核導彈, 給對方重要目標以毀滅性的打擊。在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導彈只能 攻擊對方的一個核導彈基地。摧毀這個基地的可能

20、性是常數(shù)，它由一方的攻擊精 度和另一方的防御能力決定。圖的模型乙方為毀滅y0y=fy0+P平衡點（雙方最少導彈數(shù)）乙安全線數(shù)學模型 尸/（兀）甲方有兀枚導彈，乙方所需的最少導彈數(shù) x=g（y）乙方有y枚導彈，甲方所需的最少導彈數(shù) 當兀=0時j=j0,兒乙方的威，優(yōu)值 兒甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導彈， 甲方工業(yè)、交通中心等目標所需導彈數(shù)精細模型xyx=yyx2yx=2y乙方殘存率s 甲方一枚導彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率。甲方以兀攻擊乙方y(tǒng)個基地中的兀個，S兀個基地未摧毀，丿-兀個基地未攻擊。y0=sx+y-x勺 y= y0+(l-s)xyo=sy4 y=yjs乙的匚V個被攻擊2次

21、，s2(x-y)個未摧毀；y xy=y x個被攻擊1次，s(2y-兀)個未摧毀ryo1 s妒吟Q y=yjs2y0=sKx-y)+s(2y-x) 口，=亦二石 + 工丸J數(shù)學模型J數(shù)學模型精細模型xy, y= y0+(l-s)xyx2y,%5(2-5)1- 5HX2- s兀=y，兀=2必 y=y0/s2處交換比（甲乙導彈數(shù)量比）y是一條上凸的曲線兒變大，曲線上移、變陡S變大，丿減小，曲線變平a變大，y增加，曲線變陡模型解釋甲方增加經(jīng)費保護及疏散工業(yè)、交通中心等目標乙方威懾值兒變大（其它因素不變） 乙安全線丿才（兀）上移 平衡點PtP 幾冷，此兒甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。模型解釋甲方

22、將固定核導彈基地改進為可移動發(fā)射架乙安全線y=/(x)不變 甲方殘存率變大威懾:值無。和交換比不變兀減小，甲安全線*=g(y)向y軸靠近XmXlnym巾lt2l/4cos 伙 1/260 0v75只討論起航時的航向，是靜態(tài)模型航行過程中終點B將不在正東方2.9量綱分析與無量綱化2.9.1量綱齊次原則物理量的量綱長度I的量綱記L=l質量加的量綱記M=m時間t的量綱記T=t速度v的量綱v=LT 加速度a的量綱a=LT 2 力/的量綱f=LMT-2引力常數(shù)氐的量綱k動力學中基本量綱厶M, T導出量綱=旳卩2加2=3詒1卩2對無量綱量弘a=l(=LMF)2量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析利用量綱

23、齊次原則尋求物理量之間的關系例：單擺運動求擺動周期t的表達式設物理量 t, m, I, g t 072 oa3 /1之間有關系式L 8 wav 02, a3為待定系數(shù)，2為無量綱量的量綱表達式t=mavrgr3口 T = M a，厶廠+。3 卩一2。3c對比t = 27T I匕=04仏2 +夠=-2a =1 e = 0n v % = 1 / 2a, =-1/2為什么假設這種形式對心憶的兩組測量值心坯Z1和?；霉?,內(nèi)=4 My2 Ty 2 y4 =y3 + 幾=oV兒=基本解yy( - 2y4 = 0=(2,0,-1,1)丁fTg -7i F(龍)=0(f=77)Pi定理(Buckingham

24、)設/,血，如2 o是與量綱單位無關的物理定律，禺&,，&是基本量 綱,nm9 q19 q2,. 9qm的量綱可表為fl如=耐,) = 1,2,，加1=1量綱矩陣記作 A = ez.jnxm , 若rankA = r 線性齊次方程組Ay = 0有m-r個基本解，記作ys =仇1，幾2,Js,”)T，S = 1,2,., m-r則 n - Yqy.SJ為加個相互獨立的無量綱量，且FS1，魚，札)=0與f (qv如，qj =0等價，F(xiàn)未定量綱分析示例：波浪對航船的阻力航船阻力/航船速度”，船體尺寸Z,浸沒面積S, 海水密度Q,重力加速度g。/（創(chuàng)，么，）=00(g,Z,Q, U,S,/)=0=nx

25、r，i=l) = 12申A = iaijnxm回=LT ?, I = L, pi =v = LT, s=L2,f= LMT2_11-3121 (L)_A- 0 0 1 0 0 1 (M)-2 0 0 -1 0 -2 (T)m=6, n=3(g) S) W) (Q (/)/(亦2,)=0rank A = r0(gJ,Q,U,S,/)=Orank A = 3Ay=0有加尸個基本解Ay=0有加十=3個基本解幾=仇1，幾2,必加” s = 1，2,，H 二(-1/2,-1/2,0, 1,(W%=( 0, -2, 0, 0,1,0)m-r個無量綱量rs1X-rs1X-ms=Yl QjjV1 - 2-1

26、- 2-g-F (兀i，魚，篦時)=0與f(Qv ?2,= 等價7 =Wjj丿=1為得到阻力/的顯式表達式U f = l3gpiK7r2), nx =F（電 ,） = 0與他,S嘰/） = o等價廠_1_L兀 = g 2/ 2V 兀2 rs 7T3=g-T3p-lfIF=0 q兀3 =屮5皿、0未定量綱分析法的評注物理量的選取結果的局限性函數(shù)卩和無量綱量未定0()=0中包括哪些物理量是至關重要的基本量綱的選取基本量綱個數(shù)碼選哪些基本量綱基本解的構造有目的地構造Ay=o的基本解方法的普適性 不需要特定的專業(yè)知識結果的局限性函數(shù)卩和無量綱量未定2.9.2量綱分析在物理模擬中的應用例：航船阻力的物理

27、模擬通過航船模型確定原型船所受阻力/! = A giP0（龍1，龍2）原所力得船阻可型受已知模f=gp叭心心J ，S，厶，匕 9 Z-i，S1 原型船的參數(shù)（A未知，其他已知）f ,sh p. g模型船的參數(shù)（均已知） 注意：二者的湘同f = FgP 叭VS/=曲叩（和;）兀 =兀W()2 +VIs=疋q卡S = Sif = f尸Q職（Q二P）按一定尺寸比例造模型船， 量測可算出齊物理模擬Z -（厶）3例：火箭發(fā)射as2.9.3無量綱化星球表面豎直發(fā)射。初速兒星球半 徑尸,表面重力加速度g研究火箭高度X隨時間t的變化規(guī)律/=0時X=0,火箭質量加1，星球質量加2牛頓第二定律，萬有引力定律V X =.7 mxm2m.x - -k(x + r)x = g (x = 0)r g(x+ r)2x(0) = 0, x(0) = vx = x(t;r.v.g) 3個獨立參數(shù)用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù)變量x,t和獨立參數(shù)r,v,g的量綱x=L, M=T, r=L, v=LT- g=LT令無=用參數(shù)刖,g的組合，分另（J 構造與兀具有相同量綱 的（特征尺度）如 x =rjc = r/vt 一無量綱變量利用新變量x, f, x x（tr.v.g將被簡化兀沁的不同構造a X =-2廠g(x+ r)2% = x(t; r, v, g)的不同簡化結果x(0