淺析傅立葉級(jí)數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用

1、河河 南南 科科 技技 學(xué)學(xué) 院院 20142014屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）論文題目：論文題目：淺析傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用淺析傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用學(xué)生姓名：學(xué)生姓名： 郭海山郭海山 所在院（系）：所在院（系）： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 所學(xué)專業(yè)：所學(xué)專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)導(dǎo)師姓名：導(dǎo)師姓名： 張振亮張振亮 完成時(shí)間：完成時(shí)間： 2014年年5月月1日日 淺析傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用淺析傅立葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用摘要摘要傅立葉級(jí)數(shù)理論經(jīng)歷了近兩百年的發(fā)展后已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心研究領(lǐng)域之一。一方面，它與偏微分方程論、復(fù)變函數(shù)論、概率論、代數(shù)及拓?fù)涞仍S多數(shù)學(xué)

2、分支都有密切關(guān)系。另一方面，它是工程技術(shù)、經(jīng)典物理及量子力學(xué)等學(xué)科中的重要工具，它在熱學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)、醫(yī)學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、仿生學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。傅立葉級(jí)數(shù)理論的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重大事件。它的產(chǎn)生徹底平息了關(guān)于弦振動(dòng)問題的爭論，同時(shí)引領(lǐng)數(shù)學(xué)分析走向嚴(yán)格化。傅立葉級(jí)數(shù)越來越廣泛應(yīng)用在各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中，也越來越廣泛應(yīng)用到了實(shí)際社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域中。關(guān)鍵詞：傅立葉級(jí)數(shù)， 運(yùn)算， 性質(zhì)， 應(yīng)用analysisanalysis thethe propertiesproperties andand applicationapplication 0f0f fourierfourier seri

3、esseriesabstractabstractfourier series theory after nearly two hundred years of development has become one of the core research field of modern mathematics. on the one hand, there are very close relationship between it with theory of partial differential equations, complex function theory, probabili

4、ty theory, algebraic topology, and many other branchs of mathematics. on the other hand, it is an important tool in classic physics and quantum mechanics, engineering technology, also, it have a wide range of applications in thermodynamics, optics, electromagnetism, medicine, aerodynamics, bionics,

5、biology and other fields. the generation of fourier series theory is a major event in the history of the development of mathematics. the appearance of fourier series completely settled the argument over of string vibration problem, at the same time, lead to the normalization of mathematical analysis

6、. fourier series is more and more widely used in various disciplines, and is being more and more widely applied to each field of the actual social life.keyword：fourier series , operation , property , application目錄目錄1.引言.12.傅里葉級(jí)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì).12.1三角級(jí)數(shù)和正交函數(shù)系.12.2以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù).322.3任一周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開.43.傅里葉級(jí)數(shù)的實(shí)

7、際應(yīng)用.43.1傅立葉級(jí)數(shù)在電工學(xué)中應(yīng)用 .53.2傅里葉級(jí)數(shù)求解伯努利難題的應(yīng)用.73.3傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)字信號(hào)上的應(yīng)用.83.4傅立葉級(jí)數(shù)在求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和方面的應(yīng)用.104.結(jié)論.13參考文獻(xiàn).14致謝.151.1.引言引言傅里葉級(jí)數(shù)得名于法國數(shù)學(xué)家約瑟夫傅里葉(1768年1830年)，他提出任何函數(shù)都可以展開為三角級(jí)數(shù)。三角級(jí)數(shù)展開思想最早出現(xiàn)在18世紀(jì)初期，它是與弦振動(dòng)和其它類似物理現(xiàn)象的研究相聯(lián)系的，可那時(shí)人們并沒有給出系統(tǒng)的研究。直到1808年，fourier寫出著名著作熱的解析理論后，三角形級(jí)數(shù)展開才邁出了真正重要的一步。人們最熟悉的簡單函數(shù)無1非兩類：冪函數(shù)和三角函數(shù)。英國數(shù)學(xué)

8、家taylor在17世紀(jì)初找到了用冪函數(shù)的線性組合表示一般函數(shù)的方法，即通過taylor展開將函數(shù)化成冪級(jí)數(shù)形式(x)f。經(jīng)過理論的完善之后，它很快成為了微分學(xué)（乃至整個(gè)函數(shù)論）的重要工具之一。2本文即是通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)和學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)后,總結(jié)并探討了傅里葉級(jí)數(shù)在電工學(xué)、概率論、數(shù)字信號(hào)等方面的實(shí)際應(yīng)用。2.2.傅里葉級(jí)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)傅里葉級(jí)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)2.1三角級(jí)數(shù)和正交函數(shù)系三角級(jí)數(shù)和正交函數(shù)系在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中，常會(huì)碰到一種周期運(yùn)動(dòng)。最簡單的周期運(yùn)動(dòng)，可用正弦函數(shù) （1）sin()yawx來描寫。由（1）所表達(dá)的周期運(yùn)動(dòng)也稱為簡諧振動(dòng)，其中為振幅，為初相a角，為角頻

9、率，于是簡諧振動(dòng)的周期是。較為復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)，則y2tw常是幾個(gè)簡諧振動(dòng) ， sin()kkkyakwx1,2,nk 的疊加. (2)11sin()nnkkkkkyyakwx由于簡諧振動(dòng)的周期為，所以函數(shù)（2）的周ky2(t)tkw1,2,nk 期為。t對(duì)無窮多個(gè)簡諧振動(dòng)進(jìn)行疊加就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) (3)01sin()nnnaanwx若級(jí)數(shù)（3）收斂，則它所描述的是更為一般的周期運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。對(duì)于級(jí)數(shù) 3（3），我們只要討論=1（如果，可用代替）的情形。由于w1w wxx,sin()sincoscossinnnnnxnxnx所以01sin()nnnaanx=. 01(sincosa cossin)n

10、nnnnaanxnx(3)記，002aa sinnnnaacosnnnab1,2,n 則級(jí)數(shù)可寫成(3), (4)01(cossin)2nnnaanxbnx它是由三角函數(shù)列（也稱為三角函數(shù)系） (5)1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,xxxxnxnx所產(chǎn)生的一般形式的三角級(jí)數(shù)。容易驗(yàn)證，若三角函數(shù)（4）收斂，則它的和一定是一個(gè)以為周期的函2數(shù)。關(guān)于三角函數(shù)（4）的收斂性有如下定理：定理1.1 .1 若級(jí)數(shù)01()2nnnaab收斂，則級(jí)數(shù)（4）在整個(gè)數(shù)軸上絕對(duì)收斂且一致收斂。為進(jìn)一步研究三角級(jí)數(shù)（4）的收斂性，我們先討論三角函數(shù)系（5）具有哪些特性。首先容易看出，

11、三角函數(shù)系（5）中所有函數(shù)具有共同的周期。2其次，在三角函數(shù)系（5）中，任何兩個(gè)不相同的函數(shù)的乘積在上, 的積分都等于零，即， （6）cossin0nxdxnxdx ()coscos0(),mxnxdxmn7 ()sinsin0(),mxnxdxmn7 （）cossin0mxnxdx7而（5）中任何一個(gè)函數(shù)的平方在上的積分都不等于零，即, ， （） 22cossinnxnxdxdx8 （）212dx8若兩個(gè)函數(shù)與在上可積，且a,b，( )0bxax dx 則稱函數(shù)與在上是正交的，由此，三角函數(shù)系（5）在上具a,ba,b有正交性，或稱（5）是正交函數(shù)系。2.2以以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為周期的

12、函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)2應(yīng)用三角函數(shù)系（5）的正交性，我們討論三角級(jí)數(shù)（4）的和函數(shù)與級(jí)f數(shù)（4）的系數(shù)之間的關(guān)系。0,nna ba定理1.2.1 若在整個(gè)數(shù)軸上 01(cossin)2( )nnnaanxbnxf x(9)且等式右邊級(jí)數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系式：， ()1( )cosnf xnxadx0,1,2,n 10， （）1( )sinnbf xnxdx1,2,.n 10一般地說，若是以為周期且在上可積的函數(shù)，則按公式（10f2, ）計(jì)算出的和稱為函數(shù)（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉系數(shù)，以的傅里nanbff葉級(jí)數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)（9）稱為（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉級(jí)數(shù)，記作f (12)01( )

13、 (cossin)2nnnaf xanxbnx這里記號(hào)“”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。由定理1.2知道：若（9）式右邊的三角級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上一致收斂于其和函數(shù)，則此三角級(jí)數(shù)f就是的傅里葉級(jí)數(shù)，即此時(shí)（12）式中的記號(hào)“”可換為等號(hào)。f例1求的傅里葉級(jí)數(shù)。1,x,0( )0,x0,f x 解 先計(jì)算的傅里葉系數(shù)。( )f x，01( )1af xdx對(duì)1,2,n ，00111( )coscossin0naf xnxnxdxnxndx，00111( 1)1( )sinsincosnnbf xnxnxdxnxnndx 于是得到的傅里葉級(jí)數(shù)( )f x ( )f x111( 1)1sin2nn

14、nxn =。12sin3sin5sin(2k 1)(sin)23521xxxxk2.3任一周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開任一周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開如果的周期為，作變換，則( )f x2ttxt( )()( )ttftf x是定義在上的周期為的函數(shù)。由傅里葉級(jí)數(shù)展開可以得到(,) 2 ，01) (cossin)2nnnatantbnt變量代換 。01( ) (cossin)2nnnannf xaxbxtt傅里葉系數(shù)為，11( )cos( )costntnatntdtf xxdxtt0,1,2,n ，。11( )sin( )sintntnbtntdtf xxdxtt1,2,n 3.3.傅里葉級(jí)數(shù)的實(shí)際

15、應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析課程中重要的一節(jié)，是最基礎(chǔ)的環(huán)節(jié)。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用越來越廣泛。下面就將其應(yīng)用簡單論述。xy03.1傅立葉級(jí)數(shù)在傅立葉級(jí)數(shù)在電電工工學(xué)學(xué)中中應(yīng)應(yīng)用用由數(shù)學(xué)分析課程已知，按照傅立葉級(jí)數(shù)的定義，周期函數(shù)可由三角3( )f t函數(shù)的線性組合來表示，若的周期為，角頻率，頻率，( )f t1t112wt111ft傅立葉級(jí)數(shù)展開表達(dá)式為01111212111( )cos()sin()cos(2)sin(2)cos()sin()nnf taawtbwtawtbwtanwtbnwt 0111cos()sin()nnnaanwtbnwt由電工學(xué)知識(shí)可

16、知，一個(gè)非正弦周期波可以由直流分量和一系列頻率為整數(shù)倍關(guān)系的正弦波合成，因此，一個(gè)非正弦周期波也可分解為直流分量和一系列頻率為整數(shù)倍的正弦波分量，即諧波分量。如上式中就是函數(shù)在周期0a( )f t區(qū)間內(nèi)的平均值，亦即直流分量。當(dāng)為1時(shí)，和合成一n1cos()an t1sin()bn t（角）頻率為的正弦分量，稱為基波分量，稱為基波頻率。當(dāng)大于2t n1時(shí)，和合成一頻率為的正弦分量，稱為次諧波分量，cos()nan tsin()nbn tnnn稱為次諧波頻率。由級(jí)數(shù)知識(shí)知道，凡滿足狄里克雷條件的非正弦周期函n4數(shù)，都可以用傅立葉級(jí)數(shù)展開，分解為一個(gè)直流分量和一系列頻率是非正弦周期函數(shù)頻率整數(shù)倍的

17、正弦波分量，這種過程就稱為諧波分析。例1 某可控硅控制電流中的負(fù)載電流為000,0,( )5sin,tti twt ttt 其中為頻率，周期?，F(xiàn)設(shè)初始導(dǎo)通時(shí)間，求在上w2tw08tt ( )i t0,的傅里葉級(jí)數(shù)。解 ，0025( 22)( )2taf x dxt1022( )costxaf xdxtt，。251(1)1(1)2coscos214141nnnnn(2,3,4,)n 55535( ) (22)cos()sin4448f xwtwti0t 2251(1)1(1)2coscoscos214141nnnnwtnnn 。2251(1)1(1)2sinsinsin214141nnnnwtn

18、nn例2 設(shè)交流電的變化規(guī)律為,將它轉(zhuǎn)化為直流電的整流過程有兩種類( )sine tawt型：（a）()b（1）半波整流（上圖）；1( )(sinsin)2af twtwt（2）全波整流（下圖） ;2( )sinf tawt現(xiàn)取，試將和在展開成級(jí)數(shù)。1w 1( )f x2( )fx, fourier解（1），0112( )aaf x dx ，1212( )cos(1)naaf xnxdxn (2,4,6,)n ，；11( )cos0naf xnxdx(1,3,5,)n ，111( )sin2abf xxdx ，。11( )sin0nbf xnxdx(2,3,4,)n 。1212cos2( )

19、sin241kaaakxf xxk（2） ，0214( )aafx dx ，2214( )cos(1)naafxnxdxn (2,4,6,)n ；21( )cos0nafxnxdx(1,3,5,)n ，。21( )sin0nbfxnxdx(1,2,3,)n 。22124cos2( ) sin241kaaakxfxxk3.2傅里葉級(jí)數(shù)求解伯努利難題的應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)求解伯努利難題的應(yīng)用雅各布 伯努利（，1654-bernouli1705）是瑞士著名的數(shù)學(xué)家。他對(duì)無窮數(shù)很有研究，但有一個(gè)無窮級(jí)數(shù)求和卻難倒了他，這個(gè)級(jí)數(shù)是：222211111234伯努利到死也沒有求出這個(gè)級(jí)數(shù)的和。后來，大數(shù)學(xué)家歐拉（

20、，1707-euler1783）用類似的方法求出了這個(gè)級(jí)數(shù)的和。不過，歐拉的方式雖然很巧妙，但有其不太嚴(yán)格的地方。歐拉的方法我們就不在贅述。 5我們用傅里葉級(jí)數(shù)來計(jì)算這個(gè)級(jí)數(shù)的和，考慮建立這樣一個(gè)周期為的周2期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為：, ,0,( )0,0.xxf xx該函數(shù)滿足收斂定理的條件?，F(xiàn)在我們來計(jì)算它的傅里葉級(jí)數(shù)： 20011( )2xaf x dxxdx 02111( )coscos(1cos)xnaf xnxdxxnxdxnxn22,1,3,5,0,2,4,6.nnn。1011( 1)( )sinsinnnbf xnxdxxnxdxn將求得的系數(shù)代入，我們得到該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的

21、展開式為：2222 11111( )(coscos3cos5)(sinsin2sin3).(,1, 3, 5,)413523f xxxxxxxxxkk 現(xiàn)在我們來考慮的情況：當(dāng)時(shí)，函數(shù)0 x 0 x 。2222111( )0()4135f x 整理得：。22221111358現(xiàn)在我們再建立起另一個(gè)周期為的函數(shù)，令其在上的表達(dá)式為2, 。函數(shù)在處處連續(xù)，滿足收斂定理的條件，且2( )f xx2( )f xx()x 處處收斂于。又由于為偶函數(shù)，所以其傅里葉系數(shù)2( )f xx2( )f xx0nb ，其他傅里葉系數(shù)計(jì)算如下：(1,2,3,)n 22000222( )3af x dxx dx ，20

22、02224( )coscos( 1)nnaf xnxdxxnxdxn (1,2,3,)n 把系數(shù)代入，我們得到：，222211( )4( coscos2cos3)323f xxnxxx()x 現(xiàn)在我們?nèi)钥紤]的情況,當(dāng)時(shí)，我們有：0 x 0 x 。222211( )04( 1)323f xx 整理得：。2221112312 上面我們已經(jīng)計(jì)算出：，于是根據(jù)22221112358，2221112312 我們可以輕易地得到：。綜合這兩個(gè)結(jié)果，我們就得222211124624到伯努利難題的正確的解：。222211112463.3傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)字信號(hào)上的應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)字信號(hào)上的應(yīng)用對(duì)于如周期矩形脈沖信

23、號(hào)、對(duì)稱方波信號(hào)、對(duì)稱三角波性信號(hào)等波形，6,7它們的函數(shù)都可以展開為傅里葉級(jí)數(shù)的形式，經(jīng)過簡單變換后可寫成：()f wt或的形式，其中，()( )cos()n if wtr nnwt()( )sin()n if wtr nnwt6,7，為非正、余弦項(xiàng)（常數(shù)項(xiàng)）。通過變換求出0()()f wtf wtg0gmobius的正交函數(shù)族或者 ()f wt()()cos()km kkf wtimwtm()()sin()km kkf wtimwtm，其5,6中，求和表示對(duì)每一個(gè)中的多個(gè)因子求和，是的整數(shù)因子（包括1和kmmk）?？梢宰C明，和是正交的 ，即有k()kf wt()f nwt 7，其中，是或的

24、逆變換。21()() ()kklwtf lwt f wt d wt()f nwtcos()wtsin()wt下面以奇對(duì)稱方波信號(hào)波形為例，（如圖1）簡單敘述這種變換的()osfwt實(shí)現(xiàn)。圖1其中，方波峰值為，正值，負(fù)值；脈沖寬度為周期的一半e/ 2e/ 2e；此為奇函數(shù)，故傅里葉展開為正弦級(jí)數(shù)。的形式為（一個(gè)周/ 2t()osfwt期內(nèi)）,0;22(),0.22osettfwtett 將其展開為傅里葉級(jí)數(shù)是 8，2112sin (/ 2)()sin()( ) sin()ososnnenfwtnwtrnnwtn其中，。而的逆變換，可設(shè)22sin (/ 2)( )osenrnnsin()wt 6，

25、1sin()( )()ososnwtin fnwt那么就有。11sin()( )( ) sin()ososnnwtinrnmnwt令，就有mnk，11sin()( ) sin()( )( ) sin()osososnmn kkm kkkwtikwtin rkwtnn 其中，的求和表示對(duì)每一個(gè)中的多個(gè)因子求和，是的( )( )ososm kkin rnknk整數(shù)因子（包括1和）；由此可得，這樣就求出了k( )( )ososklm kkin rnsin()wt按奇對(duì)稱方波展開的逆變換式：，其正交函數(shù)族為sin()( )()ososm kwtin fnwt 6：。()sin()ososkm kkfi

26、mwtm 93.4傅立葉級(jí)數(shù)在求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和方面的應(yīng)用傅立葉級(jí)數(shù)在求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和方面的應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)中,求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是一個(gè)重要的內(nèi)容,當(dāng)一般項(xiàng)是關(guān)于nan的有理式時(shí),可以將其轉(zhuǎn)化為求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的問題,這是一個(gè)非常有效的方法,如下例:例1 求級(jí)數(shù)的和1( 1)nnn解 令，1( )nnxf xn1,1x 則在收斂域連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且( )f x1,1( 1,1)，111( )1nnfxxx兩端積分并考慮到得(0)0f，( )ln(1)f xx 由在的連續(xù)性得( )f x1x 。1( 1)ln2nnn 但上述方法有時(shí)會(huì)失效 ,如下例 :例2 求級(jí)數(shù)的和。211nn若按照例 1 的思路

27、,設(shè)，1( )nnxf xn1,1x 兩端求導(dǎo)得：，11( )nnxfxn所以，1( )ln(1)nnxxfxxn ln(1)( )xfxx 但由于積分 不能用初等函數(shù)表示 ln1)xdxx,故無法求出級(jí)數(shù)的和。211nn以下給出應(yīng)用傅立葉級(jí)數(shù)求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和的思想方法. 10設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在 上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù) ,則( )f x, 0,的傅立葉級(jí)數(shù)(即余弦數(shù)) 為( )f x，（其中），01( )cos2nnaf xanx02( )cosnaf xnxdx由此得：0022( ) sin( )sin( )sin0 xxnxaf x dnxf xnxfxnxdxnn002222(

28、) cos( )cos( )cos0 xxxfx dnxfxnxfxnxdxnn，（） (1)022( 1)( )(0)( )cosxnfffxnxn1,2,n 下面用傅里葉級(jí)數(shù)的方法求解例2。解 為了使含有形如的因子，含滿足，可取。這時(shí)有na21n( )f x( )0fx ( )f xx： 224,212(21)( 1)10,2 ,nnnkkannk(1,2,)k ，002axdx從而， 。2141cos(21)2(21)kxkxk0,x特別取，得0 x 。2211(21)8kk據(jù)此可推出。22116nn另外。將展開成傅里葉級(jí)數(shù)后用同樣的方法也可以求得的和2( )f xx211nn。例3 求

29、級(jí)數(shù)的和。211( 1) ln(1)(1)nnn解 令，21( )( 1) ln(1)(1)nnag an0,1a由于等號(hào)右側(cè)級(jí)數(shù)在上關(guān)于一致收斂，由和的連續(xù)性定理知0,1a 11( )g a連續(xù)，且，顯然所求級(jí)數(shù)的值為。再由逐項(xiàng)求導(dǎo)定理知( )0g a (1)g 11，1211( )( 1)(1)nng ana0,1a下面求。與例2的思路相同，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)的展開。( )g a由(1)式得：。 （2）2022( )cos( 1)( )(0)nnn afxnxdxff為了使得含有形如的因子，試取滿足na21na( )f x，( )( )fxaf x 解此微分方程得，12( )co

30、ssinf xcaxcax從而，12( )(sincos)fxacaxcax為了使(2)式簡化，可取， ，( )cosf xax( )sinfxaax 這時(shí)利用（2）式可得，1212( 1)sinnnaaana而，0022cossinaaxdxaa故 。12112sin( 1)cossincosnnaaaxaxnxnaa取得：0 x ，21( 1)sin1(1)12 sinnnaanaaaa即，1sin( )12 sinaag aaaa所以100221sin211(1)()1sin2 sinataatgdadtatttaa22ln()lnlntan02ttt，2222()tan2lnlnln4ln028ttt即得到：。2211( 1) ln(1)ln(1)8nnn4.4.結(jié)論結(jié)論本文首先由傅里葉級(jí)數(shù)的概念性質(zhì)入手，進(jìn)而又研究了傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算及其實(shí)際應(yīng)用。傅里葉級(jí)數(shù)不僅發(fā)展完善、理論嚴(yán)謹(jǐn)、方法獨(dú)特，而且廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。生活中，很多問題都可以直接或間接地通過傅里葉級(jí)數(shù)得到解決，隨著經(jīng)濟(jì)、科技、等的不斷發(fā)展，傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用必將越來越廣泛。參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1李登峰,楊曉慧,小波基礎(chǔ)理論和應(yīng)用舉例m ,北京：高等教育出版社，2010,14-15.2陳紀(jì)修,數(shù)學(xué)分析（下冊）m ,北京：