理論力學(xué)(盛冬發(fā))課后習(xí)題答案CH12

1、157第12章 動(dòng)能定理第12章 動(dòng)能定理一、是非題(正確的在括號內(nèi)打“”、錯(cuò)誤的打“”)1圓輪純滾動(dòng)時(shí)，與地面接觸點(diǎn)的法向約束力和滑動(dòng)摩擦力均不做功。 ( )2理想約束的約束反力做功之和恒等于零。 ( )3由于質(zhì)點(diǎn)系中的內(nèi)力成對出現(xiàn)，所以內(nèi)力的功的代數(shù)和恒等于零。 ( )4彈簧從原長壓縮10cm和拉長10cm，彈簧力做功相等。 ( )5質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的變化與作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力有關(guān)，與內(nèi)力無關(guān)。 ( )6三個(gè)質(zhì)量相同的質(zhì)點(diǎn)，從距地相同的高度上，以相同的初速度，一個(gè)向上拋出，一個(gè)水平拋出，一個(gè)向下拋出，則三質(zhì)點(diǎn)落地時(shí)的速度相等。 ( )7動(dòng)能定理的方程是矢量式。 ( )8彈簧由其自然位置拉長10c

2、m，再拉長10cm，在這兩個(gè)過程中彈力做功相等。( )二、填空題1當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在鉛垂平面內(nèi)恰好轉(zhuǎn)過一周時(shí)，其重力所做的功為 0 。2在理想約束的條件下，約束反力所做的功的代數(shù)和為零。3如圖12.19所示，質(zhì)量為的均質(zhì)桿，一端鉸接在質(zhì)量為的均質(zhì)圓輪的輪心，另一端放在水平面上，圓輪在地面上做純滾動(dòng)，若輪心的速度為，則系統(tǒng)的動(dòng)能 。4圓輪的一端連接彈簧，其剛度系數(shù)為，另一端連接一重量為的重物，如圖12.20所示。初始時(shí)彈簧為自然長，當(dāng)重物下降為時(shí)，系統(tǒng)的總功。圖12.19 圖12.205如圖12.21所示的曲柄連桿機(jī)構(gòu)，滑塊a與滑道bc之間的摩擦力是系統(tǒng)的內(nèi)力，設(shè)已知摩擦力為f且等于常數(shù)，則曲柄轉(zhuǎn)一周摩擦

3、力的功為。6平行四邊形機(jī)構(gòu)如圖12.22所示，曲柄以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)各桿都是均質(zhì)桿，質(zhì)量均為m，則系統(tǒng)的動(dòng)能t =。7均質(zhì)桿ab，長為l，質(zhì)量為，a端靠在墻上，b端以等速率沿地面運(yùn)動(dòng)，如圖12.23所示。在圖示瞬時(shí)，桿的動(dòng)能為。a圖12.21 圖12.228在圖12.24中，均質(zhì)擺桿oa，質(zhì)量為，長；物塊b的質(zhì)量為，由桿oa通過套筒帶動(dòng)在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。設(shè)圖示瞬時(shí)，桿oa的角速度，則桿oa的動(dòng)能為 ，滑塊b的動(dòng)能為。圖12.23 圖12.24三、選擇題1若質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能保持不變，則 c 。(a) 其動(dòng)量必守恒 (b) 質(zhì)點(diǎn)必做直線運(yùn)動(dòng)(c) 質(zhì)點(diǎn)必做勻速運(yùn)動(dòng) (d) 質(zhì)點(diǎn)必做變速運(yùn)動(dòng)2汽車靠發(fā)動(dòng)機(jī)的內(nèi)

4、力做功， d 。(a) 汽車肯定向前運(yùn)動(dòng) (b) 汽車肯定不能向前運(yùn)動(dòng)(c) 汽車動(dòng)能肯定不變 (d) 汽車動(dòng)能肯定變3如圖12.25所示，半徑為、質(zhì)量為的均質(zhì)滑輪上，作用一常力矩，吊升一質(zhì)量為的重物，則重物上升高度的過程中，力矩的功= a 。(a) (b) (c) (d) 04均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m，半徑為r，在水平面上作純滾動(dòng)，設(shè)某瞬時(shí)其質(zhì)心速度為，則此時(shí)圓盤的動(dòng)能是 b 。(a) (b) (c) (d) 5如圖12.26所示，三棱柱b沿三棱柱a的斜面運(yùn)動(dòng)，三棱柱a沿光滑水平面向左運(yùn)動(dòng)。已知a的質(zhì)量為，b的質(zhì)量為；某瞬時(shí)a的速度為，b沿斜面的速度為。則此時(shí)三棱柱b的動(dòng)能t = d 。(a) (b

5、) (c) (d) 圖12.25 圖12.266如圖12.27所示，兩均質(zhì)輪質(zhì)量為，半徑均為，用繞在兩輪上的繩系在一起。設(shè)某瞬時(shí)兩輪的角速度分別為和，則系統(tǒng)的動(dòng)能t = d 。圖12.27(a) (b) (c) (d) 四、計(jì)算題12-1 擺錘質(zhì)量為m，擺長為，如圖12.28所示。求擺錘由點(diǎn)a至最低位置點(diǎn)b，以及由a點(diǎn)經(jīng)過最低位置點(diǎn)b到點(diǎn)c的過程中擺錘重力所做的功。解：根據(jù)重力做功的公式，擺錘由點(diǎn)a至最低位置點(diǎn)b，擺錘重力所做的功為 擺錘由a點(diǎn)經(jīng)過最低位置點(diǎn)b到點(diǎn)c的過程中擺錘重力所做的功為12-2 重量為的剛體在已知力的作用下沿水平面滑動(dòng)，力與水平面夾角。如接觸面間的動(dòng)摩擦系數(shù)，求剛體滑動(dòng)距

6、離時(shí)，作用于剛體各力所做的功及合力所做的總功。解：計(jì)算滑動(dòng)摩擦力剛體滑動(dòng)距離時(shí)，滑動(dòng)摩擦力所做的功為 主動(dòng)力所做的功為 其它力不做功。合力所做的總功為 12-3 彈簧原長為，剛度系數(shù)為，一端固定，另一端與質(zhì)點(diǎn)相連，如圖12.29所示。試分別計(jì)算下列各種情況時(shí)彈簧力所做的功。 (1) 質(zhì)點(diǎn)由至；(2) 質(zhì)點(diǎn)由至；(3) 質(zhì)點(diǎn)由至。 圖12.28 圖12.29解：根據(jù)彈力做功的公式，計(jì)算下列各種情況時(shí)彈簧力所做的功。（1）質(zhì)點(diǎn)由至，彈簧力所做的功為 （2）質(zhì)點(diǎn)由至，彈簧力所做的功為 （3）質(zhì)點(diǎn)由至，彈簧力所做的功為12-4 計(jì)算圖示各物體的動(dòng)能。已知物體均為均質(zhì)，其質(zhì)量為，幾何尺寸如圖12.30所

7、示。圖12.30解：（a）桿子作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，它的動(dòng)能為 （b）圓盤繞o點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，它的動(dòng)能為 （c）圓盤繞o點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，它的動(dòng)能為 （d）圓盤在水平面上作純滾動(dòng)，它的動(dòng)能為 12-5 如圖12.31所示，與彈簧相連的滑塊，可沿固定的光滑圓環(huán)滑動(dòng)，圓環(huán)和彈簧都在同一鉛直平面內(nèi)。已知滑塊的重量，彈簧原長為，彈簧剛度系數(shù)。求滑塊從位置a運(yùn)動(dòng)到位置b過程中，其上各力所做的功及合力的總功。解：根據(jù)重力做功的公式，滑塊從位置a運(yùn)動(dòng)到位置b過程中，重力所做的功為 根據(jù)彈力做功的公式，滑塊從位置a運(yùn)動(dòng)到位置b過程中，彈力所做的功為 而，代入上式，可得 合力的總功為 12-6 長為、質(zhì)量為的均質(zhì)桿以球鉸鏈固定

8、，并以等角速度繞鉛直線轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖12.32所示。若桿與鉛直線的夾角為，試求桿的動(dòng)能。圖12.31 圖12.32解：將桿分成許多微段，先計(jì)算微段的動(dòng)能 整個(gè)桿子的動(dòng)能為 12-7 摩擦阻力等于正壓力與滑動(dòng)摩擦系數(shù)的乘積。為測定動(dòng)摩擦系數(shù)，把料車置于斜坡頂處，讓其無初速度地下滑，料車最后停止在c處，如圖12.33所示。已知，試求料車運(yùn)行時(shí)的動(dòng)摩擦系數(shù)。解：料車在坡頂處無初速度地下滑最后停止在c處，在該過程中重力和摩擦力均要做功，由動(dòng)能定理，可知它們做功的和等于零。料車在坡頂處下滑到c處，重力所做的功為 式中為料車的重力。而料車在坡頂處下滑到c處，摩擦力所做的功為 而，即摩擦力所做的功為由動(dòng)能定理可

9、知，合力的功為零，即 解得 12-8 如圖12.34所示，一不變力偶矩作用在絞車的均質(zhì)鼓輪上，輪的半徑為，質(zhì)量為。繞在鼓輪上繩索的另一端系一質(zhì)量為的重物，此重物沿傾角為的斜面上升。設(shè)初始系統(tǒng)靜止，斜面與重物間的摩擦系數(shù)為。試求絞車轉(zhuǎn)過后的角速度。圖12.33 圖12.34解：選系統(tǒng)為研究對象，受力分析和運(yùn)動(dòng)分析如圖所示。絞車轉(zhuǎn)過，重物向上滑動(dòng)的距離。在此過程中，作用在鼓輪上的力偶矩所做的功為，滑動(dòng)摩擦力所做的功為，重物重力所做的功為，而其它的力均不做功。故絞車轉(zhuǎn)過后，系統(tǒng)所受的全部力做功的和為 初始系統(tǒng)靜止，系統(tǒng)的動(dòng)能。設(shè)絞車轉(zhuǎn)過后的角速度為，則重物沿斜面上升的速度為，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能為 由動(dòng)能

10、定理，有 解得絞車轉(zhuǎn)過后的角速度為 12-9 兩均質(zhì)桿和各重為，長為，在點(diǎn)由鉸鏈相連，放在光滑的水平面上，如圖12.35所示。由于和端的滑動(dòng)，桿系在鉛垂平面內(nèi)落下。設(shè)點(diǎn)初始時(shí)的高度為，開始時(shí)桿系靜止，試求鉸鏈落地時(shí)的速度大小。 圖12.35 解：選系統(tǒng)為研究對象，受力分析如圖所示。設(shè)點(diǎn)由高度下落到地面時(shí)的速度為，而此時(shí)和兩點(diǎn)的速度均為零。即落到地面時(shí)，桿和的速度瞬心分別為和兩點(diǎn)。桿和的角速度為由于開始時(shí)桿系是靜止的，即系統(tǒng)初始時(shí)的動(dòng)能，鉸鏈落到地面時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為 點(diǎn)由高度下落到地面時(shí)，系統(tǒng)所受的全部力做功為 由動(dòng)能定理，有 解得鉸鏈落地時(shí)的速度 12-10 兩均質(zhì)桿和用鉸鏈相連，桿的端放在光

11、滑的水平面上，桿的端為固定鉸支座，如圖12.36所示。已知兩桿的質(zhì)量均為，長均為，在桿上作用一不變的力偶矩，桿系從圖示位置由靜止開始運(yùn)動(dòng)。試求當(dāng)桿的端碰到鉸支座時(shí)，桿端的速度。 圖12.36解：選系統(tǒng)為研究對象，受力分析如圖所示。運(yùn)動(dòng)過程中，桿繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿作平面運(yùn)動(dòng)。由點(diǎn)、b的速度方向，可知桿的速度瞬心如圖所示。點(diǎn)b的速度為由于，所以。當(dāng)桿的端碰到鉸支座時(shí)，、b 、三點(diǎn)共線。點(diǎn)的速度為初始時(shí)桿系是靜止的，即系統(tǒng)初始時(shí)的動(dòng)能。桿的端碰到鉸支座時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為 桿的端碰到鉸支座時(shí)，系統(tǒng)所受的全部力做功為 由動(dòng)能定理，有 解得兩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為解得桿的端碰到鉸支座時(shí)，桿端的速度 12-11 如圖1

12、2.37所示曲柄連桿機(jī)構(gòu)位于水平面內(nèi)。曲柄重為w1，長為r，連桿重為w2，長為l，滑塊重為w3，曲柄及連桿均可視為均質(zhì)細(xì)長桿。今在曲柄上作用一不變轉(zhuǎn)矩m，當(dāng)aob = 時(shí)，a點(diǎn)的速度為，求當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)至水平向右位置時(shí)a點(diǎn)的速度。圖12.37 解：選整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖所示。在運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻，曲柄作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，連桿作瞬時(shí)平動(dòng)，滑塊作平動(dòng)。當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)至水平向右位置時(shí)，由及方向，根據(jù)速度投影定理可知，即點(diǎn)為連桿的速度瞬心。通過上面分析，我們可以先計(jì)算兩位置系統(tǒng)的動(dòng)能： 在曲柄由aob = 位置轉(zhuǎn)至水平向右位置的過程中，各力做功之和為 由動(dòng)能定理，有 解得a點(diǎn)的速度為 12-12 帶式輸送機(jī)

13、如圖12.38所示，物體a重量為w1，帶輪的重量均為w，半徑為r，視為均質(zhì)圓盤，輪b由電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)，其上受不變轉(zhuǎn)矩m作用。系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，不計(jì)傳送帶的質(zhì)量，求重物a沿斜面上升距離為s時(shí)的速度和加速度。圖12.38解：選系統(tǒng)為研究對象，受力分析和運(yùn)動(dòng)分析如圖所示。重物a沿斜面上升距離為s時(shí)，帶輪轉(zhuǎn)過的角為。此過程中，各力做功的代數(shù)和為 初始時(shí)系統(tǒng)是靜止的，即系統(tǒng)初始時(shí)的動(dòng)能。重物a沿斜面上升距離為s時(shí)，假設(shè)重物a的速度為，則系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為 由動(dòng)能定理，有 （1）解得重物a沿斜面上升距離為s時(shí)的速度為 如果對（1）式兩邊同時(shí)對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，可得重物a沿斜面上升距離為s時(shí)的加速度為 12-13

14、如圖12.39所示兩個(gè)相同的均質(zhì)滑輪，半徑均為r，重量均為w，用繩纏繞連接。如動(dòng)滑輪由靜止落下，帶動(dòng)定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)，求動(dòng)滑輪質(zhì)心c的速度與下落距離h的關(guān)系并求點(diǎn)c的加速度。圖12.39解：分別選整體和兩滑輪為研究對象，受力和運(yùn)動(dòng)分析如圖所示。設(shè)動(dòng)滑輪由靜止落下距離h時(shí)，動(dòng)滑輪質(zhì)心c的速度為，此時(shí)兩輪的角速度分別為和，角加速度分別為和。（1）對于均質(zhì)滑輪應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，有 對于均質(zhì)滑輪，根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有 選繩索為動(dòng)系，對均質(zhì)滑輪質(zhì)心應(yīng)用點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)加速度合成定理有 其中：，聯(lián)立求解可得，。由于系統(tǒng)初始靜止，兩輪均由靜止開始且以等角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)，所以在任意時(shí)刻，兩輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，即有

15、（2）對于整個(gè)系統(tǒng)，應(yīng)用動(dòng)能定理，有 （1）選繩索為動(dòng)系，對均質(zhì)滑輪質(zhì)心應(yīng)用點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理有這樣，（1）式可寫為 解得 動(dòng)滑輪質(zhì)心c的速度為 12-14 均質(zhì)桿的質(zhì)量為，其兩端懸掛在兩條平行等長的繩子上，如圖12.40所示。桿處于水平位置，設(shè)其中一繩突然斷了，試求此瞬時(shí)另一繩的張力。圖12.40dcbao解：選均質(zhì)桿為研究對象，受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖所示。繩斷開瞬間，端只有切向加速度，法向加速度。以點(diǎn)為基點(diǎn)，由作質(zhì)心的加速度合成圖。桿作平面運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有 補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，有 聯(lián)立求解，可得另一繩的張力為 12-15 均質(zhì)桿可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端鉸接一圓盤，圓盤可繞鉸在鉛垂

16、平內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖12.41所示。已知桿長為l，質(zhì)量為，圓盤的半徑為，質(zhì)量為。摩擦不計(jì)，初始時(shí)桿水平，且桿和圓盤靜止。試求桿與水平線成角時(shí)，桿的角速度和角加速度。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力分析和運(yùn)動(dòng)分析如圖所示。系統(tǒng)初始靜止，其動(dòng)能。當(dāng)桿與水平線成角時(shí)，桿的角速度為。因圓盤作平動(dòng)，故系統(tǒng)的動(dòng)能為 將，代入上式，得 桿從水平位置轉(zhuǎn)動(dòng)到與水平線成角的過程中，系統(tǒng)所受的全部力做功為 由動(dòng)能定理，有 （1）解得桿的角速度為 將（1）式對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得桿的加速度為 12-16 如圖12.42所示，半徑為，質(zhì)量為的圓輪i沿水平面作純滾動(dòng)，在此輪上繞一不可伸長繩子，繩的一端繞過滑輪ii后懸掛一質(zhì)量為的物體m

17、，定滑輪ii的半徑為，質(zhì)量為，圓輪i和滑輪ii可視為均質(zhì)圓盤。系統(tǒng)開始處于靜止。求重物下降h高度時(shí)圓輪i質(zhì)心的速度，并求繩的拉力。圖12.41 圖12.42解：分別選整體和物體m為研究對象，受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖所示。系統(tǒng)初始靜止，其動(dòng)能。重物下降h高度時(shí)設(shè)重物下降的速度為，則圓輪i和滑輪ii轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為，圓輪i質(zhì)心的速度為。此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能為 重物由靜止開始下降h高度的過程中，系統(tǒng)所受的全部力做功為 由動(dòng)能定理，有 （1）解得重物的速度為 圓輪i質(zhì)心的速度為 將（1）式對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得到重物的加速度為 對重物m應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，有 解得繩的拉力為12-17 如圖12.43所示機(jī)構(gòu)中，滾輪

18、和鼓輪均為均質(zhì)體，質(zhì)量分別為，半徑均為r，斜面傾角為，如不計(jì)繩子的質(zhì)量和滾動(dòng)摩擦，滾輪c在斜面上作純滾動(dòng)。今在鼓輪上作用一力偶矩m。試求：(1) 鼓輪的角加速度；(2) 軸承o的約束反力。解：不妨設(shè)系統(tǒng)初始是靜止的，這樣初始系統(tǒng)的動(dòng)能。在鼓輪上作用一力偶矩m后，設(shè)鼓輪轉(zhuǎn)過角后其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，滾輪質(zhì)心c的向上運(yùn)動(dòng)速度為，滾輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，系統(tǒng)的動(dòng)能為 鼓輪轉(zhuǎn)過角的過程中，系統(tǒng)所受的全部力做功的代數(shù)和為 由動(dòng)能定理，有上式兩邊同時(shí)對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，可得 對鼓輪應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，有 解得繩子拉力為 對鼓輪應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有 解得軸承o的約束反力為 12-18 如圖12.44所示的系統(tǒng)中，物塊及兩

19、均質(zhì)輪的質(zhì)量為，輪半徑為。輪上緣纏繞一剛度系數(shù)為的無重彈簧，輪在地面上作無滑動(dòng)地滾動(dòng)。初始時(shí)，彈簧無伸長，此時(shí)在輪上掛一重物，試求當(dāng)重物由靜止下落為時(shí)的速度和加速度，以及輪與地面間的摩擦力。圖12.43 圖12.44解：分別選整體和輪為研究對象，受力及運(yùn)動(dòng)分析如圖所示。系統(tǒng)初始靜止，其動(dòng)能。重物下降h高度時(shí)設(shè)重物下降的速度為，則圓輪i和滑輪ii轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為，輪c質(zhì)心的速度為。此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能為 重物由靜止開始下降h高度的過程中，系統(tǒng)所受的全部力做功為 由動(dòng)能定理，有 （1）解得重物的速度為 將（1）式對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得到重物的加速度為 對輪c應(yīng)用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有 解得acknowle

20、dgements my deepest gratitude goes first and foremost to professor aaa , my supervisor, for her constant encouragement and guidance. she has walked me through all the stages of the writing of this thesis. without her consistent and illuminating instruction, this thesis could not havereached its pres

21、ent form. second, i would like to express my heartfelt gratitude to professor aaa, who led me into the world of translation. i am also greatly indebted to the professors and teachers at the department of english: professor dddd, professor ssss, who have instructed and helped me a lot in the past two

22、 years. last my thanks would go to my beloved family for their loving considerations and great confidence in me all through these years. i also owe my sincere gratitude to my friends and my fellow classmates who gave me their help and time in listening to me and helping me work out my problems during the difficult course of the thesis. my deepest gratitude goes first and foremost to professor aaa , my supervisor, for her constant encouragement and guidance. she has walked me through all the stages of the wri