(完整版)不定積分測(cè)驗(yàn)題.doc

1、不定積分練習(xí)題一、選擇題、填空題：1、（1sin2 x)dx_2、若 x是的原函數(shù)，則：2_2ef ( x)x f (ln x)dx、_3 sin(ln x)dx、已知ex2是的一個(gè)原函數(shù)，則2xdx_;4f ( x)f (tan x)sec、在積分曲線族dx 中，過(guò)點(diǎn)的積分曲線是y_;5x x(1,1)、f ( x),則f (axb)dx_;6 F (x)、設(shè)f ( x)dx1c,則 f (e x )_;7x2exdx、設(shè)xf (x)dxarcsin xc,則1dx_;8f ( x)_、1x,則f ( x) _;9 f (ln x)、若f ( x)在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)f (x) _;10(a,

2、b)( a, b)必有導(dǎo)函數(shù)( B)必有原函數(shù)必有界( D)必有極限( A)( C)、若xf ( x) dxx sin xsin xdx,則f ( x)_;11、若F (x)f ( x),(x) f ( x),則f ( x) dx _12( A)F ( x) ( B)(x)(C ) ( x) c(D) F ( x)( x) c13、下列各式中正確的是：( A)df (x)dxf (x)( B)df (x)dxf (x)dxdx(C )df ( x)f ( x)(D)df ( x)f (x)c14、設(shè) f ( x)e x , 則： f (ln x) dx_x( A)1(B) ln x c1c(D

3、 )ln x cc(C)xx1/1015、1dx_x(1x)( A)1 arcsin xc(B)arcsinxc(C)2arcsin(2x1) c2( D)arcsin(2x1) c16、若 f ( x)在 a,b上的某原函數(shù)為零，則在a,b上必有 _( A) f ( x)的原函數(shù)恒等于零；(B) f ( x)的不定積分恒等于零；(C ) f ( x)恒等于零； (D ) f (x)不恒等于零 , 但導(dǎo)函數(shù) f ( x)恒為零。二、計(jì)算題：(1)1dx(2)dx(3) cosxdxx(x2)21x2 4x2(4)sin xdx(5)5x1dx(6)sin 2xdxcosx1x2x4xsin4s

4、in2 x2cosx(7)2ln x1(8)1dx(9)arcsin x3(ln x)2 dxx2dxxcos2 x 4 tan x(10)cosxsin x dx(11)sin xcosx dx(12)sin4 xdx1sin2 xsin xcosx1cosx(13)dxln x2 dxarcsinx1sin4x(14)x)(15)xdx(11(16)ex1dxarctanx1sin xcos xe2 x4(17)1xdx(18)1sin2 xdx(19)1x2arctan xdx(20)x ln(1x2 ) dx(21)tan3 xdxx21x2(22)1dx(23)xdx(24)x31c

5、osx100 dxe2 x1(x1)(25)2 x2(26)arctanxdx(27)arctanexe(tan x 1) dxx2(122 xdxx)e(28)設(shè) f (sin 2 x)x,求：xxf (x)dxsin x1已知的一個(gè)原函數(shù)為ln2x,求：xf ( x)dx(29)f (x)2/10答案：一、選擇題、填空題1) 1 (xsin x)c2)1 x2c3) xsin(lnx)cos(ln x)c4)e tan2 xc22213 6) 1 F (ax b) c 7) e 2 x35) 2x 2c 8)1 (1 x2 ) 2c 9)exx ca310) B11)C 12)C13)D1

6、4)C15) D16)C二、計(jì)算題：1) 1 lnx1 ln x212)c2)4x21c442( xx3)2(x sinxcosx ) c4)2 ln2 secx2sec 2 x1c5)2lnx13ln x 2c231 ln 2sin 2 x6)1c7)1c8) 4 (tan x) 4c2x2 ln x39)1 arcsin xln 11x2c10)arctan(sinx)1ln(2cos x )cxx2 22cos x11) 1 (sin xcos x)1ln sec(x4)tan( x)c222412) 1 ( x1 sin 2x)1 sin 3 xc13) 1 tan x1arctan(

7、2 tan x)c2232214)ln xln xln 1x)c15)21x arcsinxx c1x16) 1 arctan ex1 ln x1 ln( e2 x4)c17)21x arctan x2lnxx )c224818)2 arctan(2 tan x)arctan(sin x)21lncos x2c22cos x219) x arctan x1ln(1x2 )1(arctan x)2c20)1ln 2 (1x2 )c21)1tan2 xln cos xc222x222)ln1e2 xe xc23)x cot xln sin xln csc xcot xcsin x24)1 ( x1

8、) 963 ( x1) 973 (x1) 981 ( x1) 99c25)e2x tan xc969798926)arctan x1 (arctan x) 21 lnx2cx221x227)1 e 2 x arctan x1 e x1 arctan exc22228) 2arcsin x 1 x 2 x c29)2ln xln 2 xc高等數(shù)學(xué)測(cè)試題（三）中值定理、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分3/10一、選擇題（每小題4 分，共 20 分）1、 下列函數(shù)在 1,1上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是（C）Ay exBy ln xC y 1 x2D y11x22、曲線 y( x 1)3 的拐點(diǎn)是（ B）A( 1,8)B(1,

9、0)C(0,1) D(2,1)3、已知函數(shù)f (x)(x1)(x2)( x3)( x4) ，則 f (x)0 有（ C）實(shí)根A一個(gè)B兩個(gè)C三個(gè)D四個(gè)4、設(shè)函數(shù) f ( x) 在 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)，則在 (a,b) 內(nèi) f ( x)0 是函數(shù)f ( x) 在 (a, b) 內(nèi)單調(diào)增的（ B）A必要非充分條件B充分非必要條件C充要條件 D無(wú)關(guān)條件5、如果 f (x0 )0, f(x0 )0，則（ B）Af ( x0 ) 是函數(shù) f ( x) 的極大值Bf ( x0 ) 是函數(shù) f ( x) 的極小值Cf ( x0 ) 不是函數(shù) f ( x) 的極值D不能判定 f (x0 ) 是否為函數(shù)f ( x

10、) 的極值二、填空題（每小題4 分，共 20 分）1、 函數(shù) y ln( x 1) 在 0,1上滿足拉格朗日定理的11=ln 22、 函數(shù) f ( x)1 x33x29x 在閉區(qū)間 0,4上的最大值點(diǎn)為 x =433、 函數(shù) y x4(2,0)(0,2)的單調(diào)減少區(qū)間是x4、 若函數(shù) f (x) 在 xa 二階可導(dǎo)，則f (ah)f (a)f(a) =1 flimhh(a)h 025、 曲線 yx3的鉛直漸近線為 x22x三、解答題1、（ 7 分）計(jì)算 lim( 11 )x0x ex1解：原式 = limex1xlimex1limex1x(ex1)xxxxxex2x 0x 0e xe1x 0e

11、 e4/102、（ 7 分）計(jì)算limx ln xx0ln x1解：原式 = limlimxlim(2x )0x01x01x0x2xx3、（ 7 分）計(jì)算 lim( sin x) x1x0x解：令y( sin x)1x,ln y1ln sin xxxxln sin xxx cosxsin xx cos x sin xlimln ylimxlimlim0所 以原 式 =xxx2x 0x0x0 sin xx0e01axb xc x1) x4、（ 7 分）計(jì)算 lim(3x0( a xbxcx1ln( axb xcx )ln 3解：令y) x,ln y3xlimlnylimln( axbxc x )

12、ln 3limax ln abx ln bcx ln cln3abc 所以原式xaxbxcxx 0x0x 0ln 3abc3abc= e5、（ 10 分）設(shè)函數(shù) f (x), g(x) 在 a,b 上連續(xù)，在 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，且f (a) f (b)0，證明：存在(a, b) ，使得 f()f ()g ()0證明：設(shè)F (x)f ( x)eg ( x) ， 由 f ( x), g ( x) 的連續(xù)性知：F ( x) 在 a,b 上連續(xù)，在 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，且 F (a)F (b)0 ，由羅爾定理知存在(a, b) ，使得F ()0即f ()eg( )f () g ()eg ()0 ，所

13、以 f( )f () g( )0證畢。6、（ 10 分）證明：當(dāng)x0時(shí)， xx2ln(1x)x25/10證明：令f (x)ln(1x)x ， f ( x)11x( x0)1x01x因此f ( x) 在 (0,) 內(nèi)單調(diào)減，所以f ( x)f (0)0 ，即ln(1x)x令 g( x)ln(1x)( xx2) ， g ( x)11 xx20 ( x0)21x1 x因此g( x) 在 (0,) 內(nèi)單調(diào)增，所以g( x)g (0)0 ，即ln(1x)x2x，總之當(dāng)2x 0x2ln(1x)x 證畢。時(shí)， x27（ 12 分）設(shè)函數(shù)f ( x) 在 x0的鄰域內(nèi)具有三階導(dǎo)數(shù)，且lim(1xf ( x)

14、)x1e3x 0x（1）求 f (0),f(0),f (0)1（2）求 lim(1f ( x) ) xx 0x解：（ 1）因?yàn)閘im(1xf (x) x1x 0x由于分母極限為0，所以 limln(1x0lim f ( x)0 ，又因?yàn)閒 (x) 在 xx 0xln(1 xf ( x)e3 ，所以x)lim3x 0xxf ( x) )0 ，即 lim( xf (x) 0xx0x0連續(xù)，則lim f (x)f (0)0x 0(0) lim f (x)f (0)ln(1f0 ，由 limx0x0x0ln(1xf ( x)xf (x)xxlimlimlim(1x0xx0xx 0limf ( x)2

15、，即limf(x)2 ，由此得x0x2x 02xx f (x) )x 3 得xf (x)2)3 ，所以xf (0)lim f ( x)f (0)4x 0x01ln(1f ( x) )f ( x)f ( x)limxlimxlim（2） lim(1f ( x) ) xx2e2ex 0xex 0xex 0x 0x8、（ 10 分）設(shè)函數(shù) f (x) 在開(kāi)區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)連續(xù)， ax1x2 b ，試證：在開(kāi)區(qū)間(a,b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) c ，使得6/10t1 f ( x1 ) t2 f ( x2 ) (t1t2 ) f (c)(t10, t2 0)證明：因?yàn)?f ( x) 在 (a, b)

16、 內(nèi)連續(xù)， a x1x2b ，所以f (x) 在 x1, x2 上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值定理知，f ( x) 在 x1 , x2 上存在最大值M 和最小值 m，即在 x1, x2 上， mf ( x) M ，所以(t1 t2 )mt1 f ( x1 ) t2 f (x2 )(t1 t2 )M，又因?yàn)?t1t20 ，所以t1 f ( x1 ) t 2 f ( x2 )c ( x1 , x2 ) ( a, b) ，使得mM ，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知：存在t1 t2t1 f ( x1 ) t 2 f ( x2 )t1f (c) ，即t 2t1 f ( x1 )t 2 f ( x2 )(t1

17、1. 選擇題（ 1 ）設(shè)函數(shù)f (x) 在 (0,（C.）A. 依賴于 s, t , xt2 ) f (c)(t10, t20)證畢。2)內(nèi)連續(xù)，且 I1stf (tx )dx(s 0,t 0) ，則 I 的值s0sB. 依賴于 s, tC. 依賴于 t ，不依賴于 sD. 依賴于 s（2）設(shè)在 a,b 上 f (x)0, f ( x)0, f(x)0,，不依賴于 t令b1 f (a) f (b)( b a) ，則（B. ）.s1f (x)dx, s2 f (b)(b a), s3a2A. s1C. s3 s1（ 3） F ( x)A. 正常數(shù)提示： F ( x)s2s3B. s2s2D. s

18、2x2xesin t sin tdt ，則 F ( x) 為（B. 負(fù)常數(shù)C.恒為零2esin t sin tdt0,F (0)00s1s3s3s1A. ） . D. 不為常數(shù)esin t sintdt22txesin t sintdt ，而esin tsin tdt0(4) 下列反常積分發(fā)散的是（D.）e sin x sin xdt .A.11dxB.xe x2dx11x 27/10111C.2 xdxD.dx2 x ln1sin x2. 計(jì)算題（1）求 lim1 (12n)nnn21n24n 2n212n解：原式lim1nnnnn1 (1)21(2)21 ( n ) 2nnn1x2 1dx

19、01 x 2（2）設(shè)函數(shù) f (x) 可導(dǎo)，且 f (0)0， F ( x)x t n 1 f ( x nt n )dt ，0求 limF (x) .x 0x 2n1xn解：令uxntn，則 F ( x)f (u)du ，n01nn 1所以 limF ( x)lim n f ( x)nxlim 1f (x n )x0x 2nx 02nx 2n1x 0 2nxnlim1f (x n )f ( 0)1f( 0)x 02nxn02n（5）已知 lim ( xa ) xate2t dt ，求 a 的值 .xxa2axa2 ax1 a2 t2 a x a解：由條件有 lim (1)tde，xxa2即 e

20、2 a 1 te2 t1 e2t a1 ae2 a1 e2 a24245所以 a.2（6）設(shè)連續(xù)非負(fù)函數(shù)滿足f (x) f (x)1(x) ，求 I2cos xdx .解：令 tx ， I2cos(t)dt2costdt21 f (t )2 11f (t )21f ( x)22f (x) cos xdx ，從而 2I2 cos xdx 2 ，故 I 1 .1 f ( x)28/103. 當(dāng) x0, t0 時(shí) f(x) 滿足方程xttxf (u)dutxf (u) duf (u)du111且 f (x) 在 0,) 有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù) ,又 f (1)3, 求 f ( x) .解：兩邊對(duì)求導(dǎo)，得xf ( xt)xf (u)du xf (t ) ，1()x()(1) ，令，得xffxfxu du1對(duì) x 求導(dǎo)，得 f ( x)xf