多角思維多度探究-一道雙曲線離心率題的拓展

1、 多角思維，多度探究一道雙曲線離心率題的拓展 摘要：圓錐曲線中涉及橢圓或雙曲線的離心率問題一直是考試的一個熱點問題，也是歷年高考中比較常見的一個基本考點，知識板塊融合巧妙，破解思維與方法多樣，能有效開拓學(xué)生的解題視野與深度，提升學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識，充分體驗到數(shù)學(xué)探究的樂趣，并收獲到成功的喜悅，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心關(guān)鍵詞：雙曲線；圓；橢圓；離心率；切線；坐標(biāo)；幾何圓錐曲線中涉及橢圓或雙曲線的離心率問題一直是考試的一個熱點問題，也是歷年高考中比較常見的一個基本考點，倍受命題者的青睞此類問題?？汲Ｐ?，內(nèi)涵豐富，融合度高，可以巧妙把解析幾何中的相關(guān)知識融入其中，也可以交匯函數(shù)、不等式、平面向

2、量等其他相關(guān)知識，知識板塊融合巧妙，破解思維與方法多樣，是數(shù)學(xué)能力提升與思維拓展養(yǎng)成，創(chuàng)新意識與核心素養(yǎng)培養(yǎng)的好場所1問題呈現(xiàn)【問題】（燕博園2020屆高三年級綜合能力測試（cat）（一）數(shù)學(xué)理科11）已知雙曲線m： =1（ba0）的焦距為2c，若m的漸近線上存在點t，使得經(jīng)過點t所作的圓c：（xc）2+y2=a2的兩條切線互相垂直，則雙曲線m的離心率的取值范圍是（ ）a（1， b（ ， c（ ， d（ ， 此題以雙曲線為問題背景，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及切線的性質(zhì)等來巧妙設(shè)置，進(jìn)而確定雙曲線的離心率的取值范圍難度中等，內(nèi)涵豐富，把解析幾何中的直線、圓、圓錐曲線等

3、相關(guān)知識加以合理交匯融合，是一個數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力展示全面的創(chuàng)新性問題2問題破解方法1：（坐標(biāo)法）解析：不失一般性，設(shè)點t在雙曲線m的漸近線bxay=0上，其坐標(biāo)為（t，t），設(shè)經(jīng)過點t所作的圓c的兩條切線分別為ta、tb，其中切點分別為a、b，連接ca、cb，則知cata，cbtb，而由題可知tatb，所以四邊形tacb是正方形，可得|ct|=a，而c（c，0），則有|ct|= =a，整理可得t22ct+c22a2=0，由題可知以上關(guān)于t的二次方程有實根，則判別式=4c24 （c22a2）0，整理可得c23a2，又由ba0，可得b2a2，即c2a2a2，亦即c22a2，則有2a2c23a2，

4、可得2e23，則有 a0，則有aba，即1b0）的焦距為2c，若m上存在點t，使得經(jīng)過點t所作的圓c：x2+y2=b2的兩條切線互相垂直，則橢圓m的離心率的取值范圍是（ ）a ，1） b ， ） c ，1） d ，1）解析：設(shè)經(jīng)過點t所作的圓c的兩條切線分別為ta、tb，其中切點分別為a、b，連接ca、cb，則知cata，cbtb，而由題可知tatb，所以四邊形tacb是正方形，可得|ct|=b，結(jié)合點t在橢圓m上，可知b0，b0）的焦距為2c，若m的兩條漸近線上各僅存在一個點t，使得經(jīng)過點t所作的圓c：（xc）2+y2=a2的兩條切線互相垂直，則雙曲線m的離心率是（ ）a b c2 d解析：

5、設(shè)經(jīng)過點t所作的圓c的兩條切線分別為ta、tb，其中切點分別為a、b，連接ca、cb，則知cata，cbtb，而由題可知tatb，所以四邊形tacb是正方形，可得|ct|=a，而圓心c（c，0）到雙曲線m的漸近線bxay=0的距離為d= =b，而m的兩條漸近線上各僅存在一個點t滿足條件，可知b=a，所以雙曲線m的離心率e= = = ，故選擇答案：b探究3：同樣，改變變式1的條件，改變“m上存在點t”為“m上僅存在兩個點t”，進(jìn)而來確定橢圓的離心率的值問題【變式3】已知橢圓m： + =1（ab0）的焦距為2c，若m上僅存在兩個點t，使得經(jīng)過點t所作的圓c：x2+y2=b2的兩條切線互相垂直，則橢

6、圓m的離心率是（ ）a b c d解析：設(shè)經(jīng)過點t所作的圓c的兩條切線分別為ta、tb，其中切點分別為a、b，連接ca、cb，則知cata，cbtb，而由題可知tatb，所以四邊形tacb是正方形，可得|ct|=b，由于m上僅存在兩個點t，結(jié)合對稱性知這兩個點t恰好就是橢圓m的左右頂點，可知b=a，所以橢圓m的離心率e= = = ，故選擇答案：b探究4：改變原來題目條件中圓的方程，同時改變原來“m的漸近線上存在點t”為“m上存在點t”，同樣來確定雙曲線的離心率的取值范圍問題【變式4】已知雙曲線m： =1（a0，b0）的焦距為2c，若m上存在點t，使得經(jīng)過點t所作的圓c：x2+y2=b2的兩條切線互相垂直，則雙曲線m的離心率的取值范圍是（ ）a ，+） b ，+） c ，+） d ，+）解析：設(shè)經(jīng)過點t所作的圓c的兩條切線分別為ta、tb，其中切點分別為a、b，連接ca、cb，則知cata，cbtb，而由題可知tatb，所以四邊形tacb是正方形，可得|ct|=b，而點t在雙曲線m上，可知ba，即 ，所以雙曲線m的離心率e= = ，+），故選擇答案：b4解后反思結(jié)合一道充分交匯與融合解析幾何中的直線、圓、圓錐曲線等相關(guān)知識的雙曲線的離心率問題，抓住題目本質(zhì)，認(rèn)真分析，通過坐標(biāo)法和幾何法等角度切入來解決問題，并在此基礎(chǔ)上不同方式加以探究、拓展、深入，有效實現(xiàn)“認(rèn)真解答一個題，拓廣解