畢業(yè)論文 非線性方程的求解

1、畢業(yè)論文（設(shè)計） 題目（中文）： 非線性方程的求解 （英文）： the solution of nonlinear equations 目錄緒論11 非線性方程的簡介11.1非線性方程的背景11.2非線性方程的概念22非線性方程求解的數(shù)值方法32.1 二分法32.1.1 二分法的思想32.1.2 二分法的推理32.1.3 二分法的應(yīng)用42.2 牛頓迭代法42.2.1 迭代法42.2.2 牛頓迭代法62.3 改進牛頓迭代法102.3.1 改進牛頓迭代法的背景102.3.2 改進的法113 牛頓迭代法和改進牛頓迭代法的應(yīng)用123.1 牛頓迭代法的應(yīng)用123.2 改進牛頓迭代法的應(yīng)用194 結(jié)束語2

2、2參考文獻23致謝24i非線性方程的求解摘要非線性方程在實際問題中經(jīng)常出現(xiàn)，很多熟悉的線性模型都是在一定的條件下由非線性問題簡化得到的；非線性方程在科學(xué)與工程計算中的地位越來越重要,因此研究和探討非線性方程求解的方法是非常有必要的。 本文先開始介紹了非線性方程的概念及相關(guān)背景，再著重描述了非線性方程的求解的一些常用分法：二分法，迭代法，牛頓迭代法。在這些方法當中，牛頓迭代法是求解非線性方程的一種非常常用并且有效的方法，但是牛頓迭代法有一些應(yīng)用條件限制，因此提出了改進的牛頓迭代法；針對非線性方程的實例用上面提到的方法進行了數(shù)值計算，并且比較了牛頓迭代法和改進牛頓迭代法，最后介紹了牛頓迭代法在實際

3、生活中的應(yīng)用?！娟P(guān)鍵字】非線性方程 牛頓迭代法 數(shù)值計算the solution of nonlinear equationsabstractnonlinear equations appear frequently in practical problems, and many of us are familiar with the linear model obtained by the simplified nonlinear problems under certain conditions. nonlinear equations are becoming more and more

4、 important in science and engineering computing. therefore, it is necessary to study and explore ways to solve nonlinear equations.firstly, this paper recommend some basic conceptions and related background ofnonlinear equations, then describe some methods of the solution of nonlinear equation empha

5、tically, such as: the procedure of dichotomy, the iterate method, the newton iterate method and the improved newton iterate method. it is very useful and effective to use the newton iterate method for solving nonlinear equations in those methods. however, we propose the improved newton iterate metho

6、d because of the limits of the newton iterate method. also ,we have carried on the approximate calculation to the nonlinear equations and have compared the newton iterate method with the improved newton iterate method,in the end ,we introduce the application of the newton iterate method in the real

7、life.【key words】the nonlinear equations the newton iterate method numerical computationiii緒 論非線性是實際問題中經(jīng)常出現(xiàn)的，并且在科學(xué)與工程計算中的地位越來越重要，很多我們熟悉的線性模型都是在一定的條件下由非線性問題簡化得到的，為得到更符合實際的解答，往往需要直接研究非線性模型，從而產(chǎn)生非線性科學(xué)，它是21世紀科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要支柱.非線性問題的數(shù)學(xué)模型有無限維的如微分方程，也有有限維的.從線性到非線性是一個質(zhì)的變化，方程的性質(zhì)有本質(zhì)的不同，求解方法也有很大的差別.非線性方程的數(shù)值解法在實際中有廣泛的應(yīng)

8、用，特別是在各種非線性問題的科學(xué)計算中更顯出它的重要性，而且，隨著計算機的廣泛應(yīng)用，有更多的領(lǐng)域涉及到非線性方程的求解問題，例如，動力系統(tǒng)，非線性有限元問題，非線性力學(xué)問題，還有非線性最優(yōu)化與非線性規(guī)劃問題等，因此，研究 性方程的解法就具有重要的實際意義.由于非線性方程的復(fù)雜性，在解法上除了極特殊的非線性方程外，直接法幾乎是不能使用的，這需借助于二分法，迭代法來求解.從計算的經(jīng)驗來看, newton迭代法用來求非線性方程一種非常常見的而且是有效的方法，所以我們有必要研究和探討求解非線性方程的newton方法.1 非線性方程的簡介1.1 非線性方程的背景非線性科學(xué)是一門研究非線性現(xiàn)象共性的基礎(chǔ)學(xué)

9、科.它是自20世紀六十年代以來，在各門以非線性為特征的分支學(xué)科的基礎(chǔ)上逐步發(fā)展起來的綜合性學(xué)科，被譽為本世紀自然科學(xué)的“第三次革命”.非線性科學(xué)幾乎涉及了自然科學(xué)和社會科學(xué)的各個領(lǐng)域，并正在改變?nèi)藗儗ΜF(xiàn)實世界的傳統(tǒng)看法.科學(xué)界認為：非線性科學(xué)的研究不僅具有重大的科學(xué)意義，而且對國計民生的決策和人類生存環(huán)境的利用也具有實際意義.由非線性科學(xué)所引起的對確定論和隨機論、有序與無序、偶然性與必然性等范疇和概念的重新認識，形成了一種新的自然觀，將深刻地影響人類的思維方法，并涉及現(xiàn)代科學(xué)的邏輯體系的根本性問題.非線性問題的“個性”很強，處理起來十分棘手.歷史上曾有過一些解非線性方程的“精品”，但與大量存在

10、的非線性方程相比，只能算是“鳳毛麟角”.因此，長期以來，對非線性問題的研究一直分散在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的各個領(lǐng)域.20世紀六十年代以來，情況發(fā)生了變化.人們幾乎同時從非線性系統(tǒng)的兩個極端方向取得了突破：一方面從可積系統(tǒng)的一端，即從研究多自由度的非線性偏微分方程的一端獲得重大進展.如在淺水波方程中發(fā)現(xiàn)了“孤子”，發(fā)展起一套系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，如反散射法，貝克隆變換等，對一些類型的非線性方程給出了解法；另一方面，從不可積系統(tǒng)的極端，如在天文學(xué)、生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域?qū)σ恍┛雌饋硐喈敽唵蔚牟豢煞e系統(tǒng)的研究，都發(fā)現(xiàn)了確定性系統(tǒng)中存在著對初值極為敏感的復(fù)雜運動.促成這種變化的一個重要原因十計算機的出現(xiàn)和廣泛應(yīng)用.科學(xué)

11、家們以計算機為手段，勇敢地探索那些過去不能用解析方法處理的非線性問題，從中發(fā)掘出規(guī)律性的認識，并打破了原有的學(xué)科界限，從共性、普適性方面來探討非線性系統(tǒng)的行為.在數(shù)值計算中，非線性問題也是經(jīng)常遇到的一類難題，特別是非線性方程組的數(shù)值求解問題構(gòu)成了非線性科學(xué)的一個重要組成部分.1.2非線性方程的概念非線性方程，就是因變量與自變量之間的關(guān)系不是線性的關(guān)系，一般可以表示為.這類方程很多，例如平方關(guān)系、對數(shù)關(guān)系、指數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)關(guān)系等等.下面這些例子就是常見的非線性方程：，.非線性方程可分為兩類：一類是多項式方程，這類方程可以定義為：，.另一類是非多項式方程，它不能用多項式方程的形式表示，沒有固定的

12、形式.求解第一類多項式方程，現(xiàn)在已經(jīng)有了比較成熟的理論和方法.現(xiàn)在比較常用的一種數(shù)值方法是迭代法，能通過迭代次數(shù)的增加，從而越來越接近方程的解，求解第二類非多項式方程，是現(xiàn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個重點研究方向.一般來說，求解此類方程是采用隨機搜索的辦法.2非線性方程求解的數(shù)值方法2.1 二分法2.1.1 二分法的思想 二分法是區(qū)間迭代法的一種.它是重復(fù)運用零點存在性定理,每次將區(qū)間壓縮一半且其中一個區(qū)間至少包含一個根,逐步縮短區(qū)間,直至最終區(qū)間長度滿足一定的精度要求為止.2.1.2 二分法的推理先考察有根區(qū)間a,b,取中點，將它分成兩半，然后進行根的搜索，即檢查與是否同號，如果確系同號，說明所求的根

13、在的右側(cè)，這時令=,=.否則必在的左側(cè)，這時令=，=，不管出現(xiàn)哪一種情況，新的有根區(qū)間,的長度僅為,的一半.對壓縮了有根區(qū)間,又可施行同樣的過程，即用中點=（+）/2，以將區(qū)間,再分為兩半，然后通過根的搜索判定所求根在的哪一側(cè)，從而又確定一個新的有根區(qū)間，長度是,的一半.如此反復(fù)二分下去，可得出一系列有根區(qū)間，其中每個區(qū)間都是前一個區(qū)間的一半，因此的長度=，當時趨向零，就是說，如果二分過程無限地繼續(xù)下去，這些區(qū)間最終必將收縮于一點，該點顯然就是所求的根.每次二分后，設(shè)取有根區(qū)間的中點作為根的近似值，則在二分過程中可以獲得一個近似根的序列 ，則該序列必以根為極限.不過在實際計算時，不可能完成這個

14、無限過程，其實也沒有這個必要，因為數(shù)值分析的結(jié)果允許帶有一定的的誤差，由于： 只要二分足夠多次（即k充分大）便有，這里為預(yù)定的精度.2.1.3 二分法的應(yīng)用例1 求方程在區(qū)間內(nèi)的一個實根，要求準確到小數(shù)點后第二位.解 這里,而，取的中點=將區(qū)間二等分，由于，即與同號，故所求的根在右側(cè)，這時應(yīng)=,而得到新的有根區(qū)間,.如此反復(fù)二分下去，二分過程無需贅述，現(xiàn)在預(yù)估所要二分的次數(shù)，按誤差估計式，只要二分6次，便能達到預(yù)定的精度: 二分法計算結(jié)果如表1所示表1二分法的計算結(jié)果數(shù)據(jù)表k01.01.51.25-11.251.375+21.3751.3125-31.31251.3438+41.34381.3

15、281+51.32811.3203-61.32031.3242-2.2 牛頓迭代法2.2.1 迭代法2.2.1.1 迭代法的思想迭代法是一種逐步逼近的方法，首先選定方程f( x) = 0 的一個近似根后，然后使用某個固定公式，反復(fù)校正這個根的近似值，使之逐步精確化，一直到滿足給定的精度要求為止.2.2.1.2 迭代法的推理設(shè)方程有根，把方程化為等價方程 這種方程是隱式的，不能直接得出它的根，但如果給出根的某個猜測值代放在的右端，可得，然后，又可取作為猜測值，進一步得到，如此反復(fù)迭代如果按公式 確定的數(shù)列有極限，則稱迭代過程式收斂，這時極限值顯然就是方程的根.這種迭代法又稱為不動點迭代法，由迭代

16、過程所產(chǎn)生的數(shù)列并不都是收斂于某個數(shù)，與迭代方程的選取有關(guān).2.2.1.3 迭代法的誤差公式定理1 假定函數(shù)滿足下列條件： 對任意，有 存在正數(shù)，使對任意，有 則迭代過程對任意初值均收斂于方程的根，且有如下誤差估計式： 證明 由式有 據(jù)此反復(fù)遞推得，于是對任意正整數(shù)，有：，在上式中令，注意到，即得，證畢.2.2.1.4 迭代法的局部收斂性定理2 設(shè)為方程的根，在的鄰近連續(xù)且，則迭代過程在鄰近具有局部收斂性.證明 由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，存在的某個鄰域r：，使對任意成立。此外，對任意，總有，這是因為于是，依據(jù)定理1可以斷定，迭代過程對任意初值均收斂，證畢.2.2.2 牛頓迭代法2.2.2.1 牛頓迭代

17、法的背景牛頓迭代法（newtons method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（newton-raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法.多數(shù)方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.2.2.2.2 牛頓迭代法的推導(dǎo) 通過taylor 進行理論推導(dǎo)設(shè)是f(x)=0的一個近似根，把f(x)在處泰勒展開：若取前兩項近似代替，則=0的近似線性方程為設(shè)，設(shè)其根為，則的計算公式為 這即是牛頓法，稱為牛頓迭代公式，其迭代函數(shù)為 通過微分中值定理進行推導(dǎo)設(shè)是根的某個預(yù)測值，用迭代公式校正一次得，而由微分中值定理有

18、其中介于與之間.假定改變不大，近似地取某個近似值l，則由得 可以期望，按上式右端可得是比更好的近似值.將每得到一次改進值算作一步，并用和分別表示第步的校正值和改進值，則加速迭代計算方案可表述如下：校正 改進 其中中的可以是多種多樣的，當時，相應(yīng)的迭代公式是 運用前面的加速技巧，對于迭代過程，其加速公式如下：記，上面兩個式子可以合并寫成這種迭代公式通常稱為簡化的公式，其相應(yīng)的的迭代函數(shù)是 需要注意的是，由于是的估計值，而，這里的實際上是的估計值，如果用代替式中的，則得如下形式的迭代函數(shù)：，其相應(yīng)的迭代公式 這就是著名的公式.2.2.2.3 法的幾何解釋對于方程，如果是線性函數(shù)，則對它求根是容易的

19、，法實質(zhì)上是一種線性化方法，其基本思想是將非線性方程逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解.圖1 與軸的交點圖方程的解可解釋為曲線與軸的交點的橫坐標,（見圖1）取初值，將在初值處作taylor展開得：取線性部分作為的近似值，有：，若，則有類似，我們也能得到：這樣一直下去，我們可以得到迭代序列由上面圖可知，過曲線上橫坐標為的點引切線，并將該切線與x軸的交點的橫坐標坐為新的近似值，類似這樣下去，我們可以得一個切線方程：這樣求得的值必滿足式，由于這種幾何背景，牛頓法亦稱切線法.2.2.2.4 法的局部收斂性對于一種迭代過程，為了保證它是有效的，需要肯定它的收斂性，同時考察它的收斂速度.所謂收斂速度，是指在接近

20、收斂過程中迭代誤差的下降速度.定義 設(shè)迭代過程收斂于方程的根，如果迭代誤差當時成立下列漸近關(guān)系式 則稱該迭代過程是階收斂的，特別地，=1時稱為線性收斂，時稱為超線性收斂，=2時稱為平方收斂.定理 對于迭代過程，如果在所求根的鄰近連續(xù)，并且 則該迭代過程在點鄰近是階收斂的.證明 由于，據(jù)定理可以馬上斷定迭代過程具有局部收斂性.再將在根處展開，利用條件，則有注意到 ，由上式可得 因此對于迭代誤差，有，這表明迭代過程確實是階收斂的，證明完畢.由上面定理可知，迭代過程的收斂速度依賴于迭代函數(shù)的選取.對于公式，其迭代函數(shù)為，假定是的一個單根，即，則由上式知，于是依據(jù)定理可以斷定，法在根的鄰近是平方收斂的

21、.2.3 改進牛頓迭代法2.3.1 改進牛頓迭代法的背景牛頓迭代法是解非線性方程最著名和最有效的方法之一，在單根附近它比一般的迭代法有較快的收斂速度，但要注意它也有缺點:首先，它對迭代初值選取要求嚴格，初值選取不好，可能導(dǎo)致不收斂;其次，它迭代一次要計算的值，這勢必會增加計算量，因此在這種情況下，提出改進的法是非常有必要的.2.3.2 改進的法2.3.2.1 simpson牛頓法和幾何平均牛頓法設(shè)是方程的根，是可導(dǎo)函數(shù)，顯然成立：若將上面公式的右端積分用數(shù)值積分simpson公式近似代替，并令，則得： 上式中用近似代替，整理得迭代格式 中關(guān)于是隱式的，這給求解帶來很大的麻煩，為了避免隱式求解，

22、我們提出了預(yù)估校正式： 式是牛頓迭代法與simpson公式相結(jié)合得到的，我們稱它為simpson牛頓方法.若將右端用代替，則得到迭代格式： 當時，取，當，取，為了避免隱式求解，同樣給出了式的預(yù)估校正式： 的取法同上，我們稱為幾何平均牛頓方法.2.3.2.2 牛頓下山法牛頓法的缺點之一是其收斂依賴與初值的選取，若偏離所求根較遠，則牛頓法可能發(fā)散，為了防止迭代發(fā)散，我們對迭代過程再附加一項條件，既具有單調(diào)性： 滿足這項要求的算法稱為下山法.將法與下山法結(jié)合起來使用，即我們可在下山法保證函數(shù)值穩(wěn)定下降的前提下，用法加快了收斂速度.為此將法計算結(jié)果: 與前一步的近似值適當加權(quán)平均作為新改進值，即其中稱

23、為下山因子，在希望挑選下山因子時，希望使單調(diào)性條件成立.注意：下山因子的選擇是個逐步探索的過程，從開始反復(fù)將減半進行試算，如果能定出值使單調(diào)性條件成立，則稱下山“成功”，與此相反，如果在上述過程中找不到使條件成立的下山因子，則稱“下山失敗”，這時需另選初值重算.3 牛頓迭代法和改進牛頓迭代法的應(yīng)用3.1 牛頓迭代法的應(yīng)用例1應(yīng)用牛頓迭代法和，分別導(dǎo)出求的迭代公式并求 解 方程的牛頓迭代法公式： ， 由題意知: 牛頓迭代法公式 =再由題意知:牛頓迭代法公式=結(jié)論分析：本題主要應(yīng)用牛頓迭代法公式和極限還有導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，計算量大，著重考察對迭代法思想的深刻理解.例2方程在附近有根，把方程寫成3種不

24、同的等價形式：(1) ，對應(yīng)迭代格式：(2) ，對應(yīng)迭代格式：(3) ，對應(yīng)迭代格式：討論這些迭代格式在時的收斂性.若迭代收斂，試估計其收斂速度，選一種收斂格式計算出附近的根到4位有效數(shù)字.（收斂速度的計算和比較）解 ，故方程在上有根.，故方程在上有根.，故方程在上有根.對于迭代式（1）：， 而，故該迭代局部收斂，且收斂速度為1階的.對于迭代式（2）：在上，又故該迭代在上整體收斂，且收斂速度為一階的.對于迭代式（3）：在1，2上的值域為，該迭代式不收斂取迭代式，取初值進行計算，其結(jié)果如下：，結(jié)論分析：這題主要是分析迭代法的收斂性，以及收斂速度，著重考察對迭代法的收斂性和收斂速度的理解.例3 用

25、newton迭代法解方程在初值附近的根，并用數(shù)學(xué)工具軟件matlab求解.（保留小數(shù)點后6位有效數(shù)字）解 由題意知初值，由牛頓迭代公式:代入其中得 ，迭代4次后，發(fā)現(xiàn)與近似相等，因此得到此方程在初值一個根為1.732051（保留小數(shù)點6位有效數(shù)字）下面用數(shù)學(xué)工具軟件matlab求解.首先牛頓迭代法在matlab的計算程序如下：function x=newton(fname,dfname,x0,e)%用途：newton迭代法解非線性方程f(x)=0%格式：x=nanewton(fname,dfname,x0,e)x 返回數(shù)值解.%fname和dfname分別表示f(x)及其導(dǎo)函數(shù)%f(x),x0

26、為迭代初值，e精度要求（默認為1e-4)if narginex0=x;x0=x;x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);end然后，當時，f(x)0, f(x)0,即f(x)恒正，所以根在0，2，我們先用圖解法找初值，在用newton法程序newton.m求解.fun=inline(x3+x2-3*x-3);fplot(fun,0,2);grid on;圖2求根圖由圖2可知方程有唯一正根在1.6，1.8之間，我們?nèi)〕踔?.5代入newton程序之中得：dfun=inline(3*x2+2*x-3);format long;newton(fun,dfun,1.

27、5,1e-4);format short;ans=1.73205080756888而用matlab本身的函數(shù)fzero求出來的結(jié)果為：format longfzero(inline(x3+x2-3*x-3),1.5);format shortans=1.73205080756888例4 住房是居民消費一個主要部分，大部分人選擇銀行按揭貸款，然后在若干年內(nèi)逐月分期還款，如果你借了10萬，還款額一定超過10萬.解 設(shè)貸款總額為，貸款期限為n個月，采取逐月等額方式償還本息，若為第k個月的欠款數(shù)，a為月還款，r為月利率，我們得到那些列迭代關(guān)系式那么因此得到月還款計算公式：下面是一則報紙在2002年2月

28、12日第二版上一則房產(chǎn)廣告：表2房貸數(shù)據(jù)表建筑面積總價30%首付70%按揭月還款85.9836萬10.8萬30年1436元不難算出，你向銀行總共借了25.2萬，30年內(nèi)共要還款51.96萬，約為當初借款的兩倍，這個案例中的貸款年利率的是多少呢？我們根據(jù)a=0.1436， =25.2，n=360，由上a的求解公式得到：我們令 則該問題轉(zhuǎn)化為非線性方程求解的問題，令求出r我們先用newton函數(shù)求解，在matlab中輸入如下程序：常識1：r應(yīng)比當時活期存款月利率略高一些，我們用當時的活期存款利率為0.0198/2作為迭代初值，為剔除r=0這個沒有意義的根，我們對稍作變形；clear;fun=inl

29、ine(25.2*(1+r)360/0.1436-(1+r)360-1)/r,r)fun=inline function;fun(r)=25.2*(1+r)360/0.1436-(1+r)360-1)/rdfun=inline(25.2*360*(1+r)359/0.1436-(360*(1+r)360-1)/(r2);r=newton(fun,dfun,0.0198/2,1c-4);r=12*r;然后求到結(jié)果：r=0.0553由是得到年利率為5.53%.下面我們用matlab中的fzero函數(shù)檢驗一下：clear;fun=inline(25.2*(1+r)360-(1+r)360-1)/r*

30、0.1436,r)fun=inline functionfun(r)=25.2*(1+r)360-(1+r)360-1)/r*0.1436r=fzero(fun,0.0198/2);r=12*rr=0.05533.2 改進牛頓迭代法的應(yīng)用例1 求方程的根，取初值（要求用三種方法）解 （1）由題意知，用牛頓法公式：將代入，迭代5次得：（2）由simpson牛頓法，將代放，迭代3次得，. （3）由幾何平均牛頓法，將代放，迭代3次得，.結(jié)論分析：此題應(yīng)用三種方法求解非線性方程，其中應(yīng)用牛頓迭代法，迭代5次得到了所要的結(jié)果，而用別的兩種方法：simpson牛頓法和幾何平均牛頓法只迭代了三次就得到了結(jié)果，說明這兩種方法加快了迭代速度.例2 求方程的根解 (1) 取，用牛頓法公式：