牛頓二項(xiàng)式定理

1、牛頓二項(xiàng)式定理目錄二項(xiàng)式定理 發(fā)現(xiàn)歷程 應(yīng)用 1. 排列與組合 2. 二項(xiàng)式定理 3. 系數(shù)性質(zhì) 4. 賦值法二項(xiàng)式的遞推 加法定理 數(shù)形趣遇 算式到算圖二項(xiàng)式定理 發(fā)現(xiàn)歷程 應(yīng)用 1. 排列與組合 2. 二項(xiàng)式定理 3. 系數(shù)性質(zhì) 4. 賦值法二項(xiàng)式的遞推 加法定理 數(shù)形趣遇 算式到算圖展開編輯本段二項(xiàng)式定理 binomial theorem 二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克牛頓于1664、1665年間提出。 此定理指出： 其中，二項(xiàng)式系數(shù)指. 等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做二項(xiàng)展開式。 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為 其i項(xiàng)系數(shù)可表示為:見圖右，即n取i的組合數(shù)目。 因此系數(shù)亦可表示為帕斯卡三角形(

2、Pascals Triangle) 二項(xiàng)式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n為正整數(shù)時(shí)的展開式。(a+b)n的系數(shù)表為： 1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 1 6 15 20 15 6 1 n=6 （左右兩端為1，其他數(shù)字等于正上方的兩個(gè)數(shù)字之和） 編輯本段發(fā)現(xiàn)歷程在我國(guó)被稱為賈憲三角或楊輝三角，一般認(rèn)為是北宋數(shù)學(xué)家賈憲所首創(chuàng)。它記載于楊輝的詳解九章算法(1261)之中。在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西的著作算術(shù)之鑰(1427)中也給出了一個(gè)二項(xiàng)式定理系數(shù)表，他所用的計(jì)算方法與賈憲

3、的完全相同。在歐洲，德國(guó)數(shù)學(xué)家阿皮安努斯在他1527年出版的算術(shù)書的封面上刻有此圖。但一般卻稱之為帕斯卡三角形，因?yàn)榕了箍ㄔ?654年也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)果。無論如何，二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)，在我國(guó)比在歐洲至少要早300年。 1665年，牛頓把二項(xiàng)式定理推廣到n為分?jǐn)?shù)與負(fù)數(shù)的情形，給出了的展開式。 編輯本段應(yīng)用二項(xiàng)式定理在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和，以及差分法中有廣泛的應(yīng)用。 排列與組合1、Cn0+Cn1+Cn2CnkCnn=2n 2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+(-1)nCnn=0 證明：由(a+b)n=C(n,0)an+C(n,1)a(n-1)*b+C(n,2)a(n-2)*b2+.+C

4、(n,n)bn 當(dāng)a=b=1時(shí)，代入二項(xiàng)式定理可證明1 但a=-1，b=1時(shí)代入二項(xiàng)式定理可證明2 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理:叫二項(xiàng)式系數(shù)（0rn）.通項(xiàng)用Tr+1表示，為展開式的第r+1項(xiàng)，且, 注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別. 系數(shù)性質(zhì)對(duì)稱性： 增減性和最大值：先增后減 n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為：Tn/21 n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，為：T(n+1)/2，T(n+1)/21 賦值法掌握“賦值法”這種利用恒等式解決問題的思想. 證明：n個(gè)（a+b）相乘，是從（a+b）中取一個(gè)字母a或b的積。所以（a+b）n的展開式中每一項(xiàng)都是)ak*b(n-k)的形式。對(duì)于每一

5、個(gè)ak*b(n-k)，是由k個(gè)(a+b)選了a,（a的系數(shù)為n個(gè)中取k個(gè)的組合數(shù)（就是那個(gè)C右上角一個(gè)數(shù)，右下角一個(gè)數(shù)）。（n-k）個(gè)(a+b)選了b得到的（b的系數(shù)同理）。由此得到二項(xiàng)式定理。 二項(xiàng)式系數(shù)之和: 2的n次方 而且展開式中奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于2的(n-1)次方 二項(xiàng)式定理的推廣： 二項(xiàng)式定理推廣到指數(shù)為非自然數(shù)的情況： 形式為 注意：|x|1 (a+b)n=C(n,0)an+C(n,1)a(n-1)*b+C(n,2)a(n-2)*b2+.+C(n,n)bn 編輯本段二項(xiàng)式的遞推 推廣公式二項(xiàng)式展開后各項(xiàng)的系數(shù)依次為：圖推廣公式 其中，第1個(gè)數(shù)=1，從

6、第2個(gè)數(shù)開始，后面的每一個(gè)數(shù)都可以用前面的那個(gè)數(shù)表示為 這就是二項(xiàng)式展開“系數(shù)遞推”的依據(jù). 二項(xiàng)式系數(shù)遞推實(shí)際上是組合數(shù)由到的遞推. 編輯本段加法定理來自二項(xiàng)式性質(zhì) 將楊輝三角形中的每一個(gè)數(shù)，都用組合符號(hào)表示出來， 則得圖右的三角形. 自然，“肩挑兩數(shù)”的性質(zhì)可寫成組合的 加法式. 如 這里，（1）相加兩數(shù)和是“下標(biāo)相等，上標(biāo)差1” 的兩數(shù)；（2）其和是“下標(biāo)增1，上標(biāo)選大”的組合數(shù). 一般地，楊輝三角形中第n+1行任意一數(shù)，“肩挑 兩數(shù)”的結(jié)果為組合的加法定理： 有了組合的加法定理，二項(xiàng)式(a+b)展開式的證明就變得非常簡(jiǎn)便了. 編輯本段數(shù)形趣遇 算式到算圖二項(xiàng)式定理與楊輝三角形是一對(duì)天然

7、的數(shù)形趣遇，它把數(shù)形結(jié)合帶進(jìn)了計(jì)算數(shù)學(xué). 求二項(xiàng)式展開式系數(shù)的問題，實(shí)際上是一種組合數(shù)的計(jì)算問題. 用系數(shù)通項(xiàng)公式來計(jì)算，稱為“式算”；用楊輝三角形來計(jì)算，稱作“圖算”. 【圖算】 常數(shù)項(xiàng)產(chǎn)生在展開后的第5、6兩項(xiàng). 用“錯(cuò)位加法”很容易“加出”楊輝三角形第8行的第5個(gè)數(shù). 簡(jiǎn)圖如下： 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 15 20 15 6 1 35 35 21 70 56 圖上得到=70，=56. 故求得展開式中常數(shù)項(xiàng)為70 256 = 42 【點(diǎn)評(píng)】 “式算”與“圖算”趣遇，各揚(yáng)所長(zhǎng)，各補(bǔ)所短. 楊輝三角形本來就是二項(xiàng)式展開式的算圖. 對(duì)楊輝三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它

8、的第6行： 1，6，15，20，15，6，1 那么他可以心算不動(dòng)筆，對(duì)本題做到一望而答. 楊輝三角形在3年內(nèi)考了5個(gè)（相關(guān)的）題目，這正是高考改革強(qiáng)調(diào)“多想少算”、“邏輯思維與直覺思維并重”的結(jié)果. 這5個(gè)考題都與二項(xiàng)式展開式的系數(shù)相關(guān)，說明數(shù)形結(jié)合思想正在高考命題中進(jìn)行深層次地滲透. 利用二項(xiàng)式推出牛頓切線法開方 開立方公式： 設(shè)A = X3,求X.稱為開立方。 開立方有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的公式： X(n+1)=Xn+(A/X2-Xn)1/3 (n，n+1是下角標(biāo)） 例如，A=5，,即求 5介于1的3次方;至2的3次方;之間（1的3次方=1，2的3次方=8） 初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1

9、.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我們?nèi)0 = 1.9按照公式： 第一步：X1=1.9+（5/1.92;-1.9)1/3=1.7。 即5/1.91.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.51495841/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位數(shù)值,，即1.7。 第二步：X2=1.7+（5/1.72;-1.7)1/3=1.71。 即5/1.71.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.031/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位數(shù)，比前面多取一位數(shù)。 第三步：X3=1

10、.71+（5/1.712;-1.71)1/3=1.709. 第四步：X4=1.709+（5/1.7092;-1.709)1/3=1.7099 這種方法可以自動(dòng)調(diào)節(jié)，第一步與第三步取值偏大，但是計(jì)算出來以后輸出值會(huì)自動(dòng)轉(zhuǎn)?。坏诙?，第四步輸入值 偏小，輸出值自動(dòng)轉(zhuǎn)大。即5=1.70993; 當(dāng)然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。1.8，1.9中的任何一個(gè),都是X1 = 1.7 。當(dāng)然，我們?cè)趯?shí)際中初始值最好采用中間值，即1.5。 1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。 如果用這個(gè)公式開平方，只需將3改成2，2改成1。即 X(n + 1) = Xn + (A / Xn

11、 ? Xn)1 / 2. 例如，A=5： 5介于2的平方至3的平方;之間。我們?nèi)〕跏贾?.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取 中間值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2； 即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.51/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數(shù)2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23； 即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.0721/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位數(shù)。 第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。 即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.0121/2=0.006,2.23+0.006=2.236. 每一步多取一位數(shù)。這個(gè)方法又叫反