專題四特殊與一般的思想方法

1、專題四專題四 特殊與一般的思想方法特殊與一般的思想方法知識概要1. 由特殊到一般再由一般到特殊反復認識的過程是人們認識 世界的基本過程之一. 數(shù)學研究也不例外，這種由特殊到一般，由一般到特殊的研究數(shù)學問題的基本認識過程就是數(shù)學研究中特殊與一般的思想. 2. 由特殊到一般的思想的運用水平，能反映出考生的數(shù)學素 養(yǎng)和一般能力，所以考查特殊與一般的思想在高考中占有 重要位置. 在高考中，有意設(shè)計一些能集中體現(xiàn)特殊與一般 思想的試題，突出體現(xiàn)了特殊化方法的意義與作用. 如通過 構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊位置，利用特殊值、 特殊方程等方法解決一般問題、抽象問題、運動變化問題、 不確定問題等等. 專

2、題四 特殊與一般的思想方法考題剖析1. （2007岳陽）數(shù)列an中，若a1= , an= (n2,nn)則 a2007 的值為（） a. 1b. c. 1d. 221111na21專題四 特殊與一般的思想方法 解析解析a1= , an= (n2,nn) 則當n時，a2 = = = 2， 當n時，a3= = =1， 當n時，a4= = = ，同理a5=2, a6=1, 所以數(shù)列an是一個周期數(shù)列且t3， 故a2007a3=1.21111na111a2111211a211311a) 1(1121專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析 點評點評本題考查歸納、猜想思想方法.要求考生結(jié)合試題領(lǐng)悟“特殊與一

3、般”的思想，首先通過特例探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后利用這類規(guī)律來解題. 對于求遞推關(guān)系給出的數(shù)列某一項的問題，常見解法一是直接求通項再用通項來求某一項，二是直接將數(shù)列按順序?qū)懗觯菍懗霾糠猪棸l(fā)現(xiàn)規(guī)律用規(guī)律得出結(jié)論.專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析2. （2007常州）如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線 x= 對稱，那么a=_. 82. a= 1解析解析解法1：因為函數(shù)f(x)=sin2x+acos2x的圖 象關(guān)于直線x= 對稱， 則f(x)=f( x)即sin2x+acos2xsin2 +acos2得sin2x+acos2xcos2xasin2x恒成立所以（1a）(sin2x+

4、cos2x)=0恒成立，則必有1a0，所以a1.8x4x44專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析解法2：因為函數(shù)f(x)sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱，所以f(x)=f( x)取x0,則f()=f( )即有a1.844解法3：函數(shù)ysin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱，則函數(shù)在x= 處取得極值，又y=2cos2x2asin2x，所以 =2cos2( )2asin2( )0得a1.888| xy88專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析 點評點評本題主要考查三角函數(shù)的對稱性問題，若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱，則恒有f(x)=f(2ax)成立，但作為填空題，可以

5、取特值進行運算.專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析3. （2007湖南雅禮三月模擬）某地區(qū)的一種特色水果上市時 間僅能持續(xù)5個月，預測上市初期和后期會因供不應(yīng)求使價 格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù) 下跌, 現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù). f(x)=pqx；f(x)=px2+qx+1； f(x)=x(xq)2+p. （以上三式中p, q均為常數(shù)，且q1）. ()為準確研究其價格走勢，應(yīng)選哪種價格模擬函數(shù)，為什 么？ ()若f(0)=4, f(2)=6，求出所選函數(shù)f(x)的解析式（注：函數(shù) 的定義域是0,5，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1 日，以此類推）； （）為保證果農(nóng)

6、的收益，打算在價格下跌期間積極拓寬外 銷，請你預測該果品在哪幾個月份內(nèi)價格下跌. 專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析 解析解析()應(yīng)選f(x)=x(xq)2+p. 因為f(x)=pqx是單調(diào)函數(shù)； f(x)=px2+qx+1的圖象不具有先升再降后升特征； f(x)=x(xq)2+p中, f(x)=3x24qx+q2, 令f(x)=0，得x=q, x= , f(x)有兩個零點.可以出現(xiàn)兩個遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間.專題四 特殊與一般的思想方法3q考題剖析 ()由f(0)=4, f(2)=6得：,)2(26,42pqp, 3, 4qp解之得 (其中q=1舍去). 函數(shù)f(x)=x(x3)2+4，即

7、f(x)=x36x2 + 9x + 4（0 x5） （）由f(x)0，解得1x3 ,函數(shù)f(x)=x36x2 + 9x + 4在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞減，這種果品在5月，6月份價格下跌. 點評點評本題是一個簡單的數(shù)學建模問題，主要考查函數(shù)知識在實際生活中的運用，也是特殊與一般思想在生活中的運用.專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析4. （2007唐山）設(shè)函數(shù)fn(x)=1x+ nn* （）研究函數(shù)f2(x)的單調(diào)性； （）判斷fn(x)=0的實數(shù)解的個數(shù)，并加以證明. ,12321232nxxxn專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析解析解析（）f2(x)=1x + (x)=1+xx2=(x )

8、2 0 所以f2(x)在(,+)上單調(diào)遞減. （）f1(x)=1x有唯一實數(shù)解x=1. 由f2(0)=10, f2(2)=12+ 0，以及 f2(x)在(,+)單調(diào)遞減， 知f2(x)在(0, 2)有唯一實數(shù)解，從而f2(x)在(,+)有 唯一實數(shù)解.推斷fn(x)在(,+)有唯一實數(shù)解,3232xx2143322232專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析2f當n2時，由fn(x)=1x+ + nn*，得 fn(x)=1+xx2 +x2n3x2n2若x=1，則fn(x)=fn(1)=(2n1)0若x=0，則fn(x)=fn(0)=10若x1且x0時， 則fn(x)=當x1時，x+10, x2n

9、1+10, fn(x)0當x1時，x+10, x2n1+10, fn(x)0總之fn(x)0，fn(x)在(,+)單調(diào)遞減 fn(0)=1，3232xx,1212nxn1112xxn專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析又fn(2)=(12)+ ( )+( )+( )=1+( )22+( )24+( )22n2=1 0322232524254)122222(1222nnnn32215241122221nn22422) 12)(22(3225 4323 21nnnn 所以fn(x)在(0,2)有唯一實數(shù)解，從而fn(x)在(,+)有唯一實數(shù)解.綜上， fn(x)=0有唯一實數(shù)解.專題四 特殊與一般

10、的思想方法考題剖析 點評點評本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)及連續(xù)函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù)問題.用特殊的函數(shù)開路尋找到解題方法即判斷函數(shù)是單調(diào)的且圖象與x軸有交點，然后用一般方法來解題.專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析5. （2007全國第二次大聯(lián)考)已知函數(shù)y=f(x)對于任意實數(shù)x，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy. (1) 求f(0)的值； (2) 若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值，猜想f(n)的表達式并用 數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論(nn*)； (3) 若f(1)1，求證：f ( )0(nn*). n21專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析解析解析 (

11、1)令x=y=0，則f(0)=2f(0)， f(0)=0 (2)f (1)=1， f(2)=2f(1)+2=4， f(3)=f(2)+f(1)+4=9， f(4)=f(3)+f(1)+6=16， 猜想：f(n)=n2(nn*)，下面用數(shù)學歸納法證明： 當n=1時，顯然成立. 假設(shè)n=k (kn*)時成立，則有f(k)=k2 當n=k+1時， f(k+1)=f(k)+f(1)+2k= k2+1+2k= (k+1)2，結(jié)論也成立. 故f(n)=n2 (nn*)成立專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析 (3) 證明：f(1)1，f(1)=2f( )+ 1， f( ) = 0 可以證明 f 0 假設(shè)n

12、=k(kn*)時結(jié)論成立. 即f 0，則 212121n21n221k21k221專題四 特殊與一般的思想方法41221考題剖析 f =2f +2 f 0 即n=k+1時也成立， f 0 (nn*)k21121k121k121kk221121k)1(222221)2221(21kkkn21n221專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析 點評點評本題主要考查抽象函數(shù)的有關(guān)知識和數(shù)學歸納法的運用. 對于抽象函數(shù)求值通常是對抽象函數(shù)表達式賦特殊的值來求解，但對于常見的抽象函數(shù)表達形式可以類比熟悉的函數(shù)進行思考，如f(x)恒有關(guān)系式f(x+y)=f(x)f(y)成立可類比指數(shù)函數(shù)，f(x)恒有關(guān)系式f(

13、xy)=f(x)f(y)成立可類比對數(shù)函數(shù)等. 數(shù)學歸納法往往用于一些與自然數(shù)有關(guān)問題的解答，觀察歸納猜想證明是一個從特殊到一般的思考過程，也是一個嚴格而科學的探索問題和解決問題的過程，是思考問題的通常方法，對這種方法在高考中考查十分常見.專題四 特殊與一般的思想方法考題剖析 1. 特殊與一般的思想方法是廣泛適用的一種重要的數(shù)學 思想方法，對于一般性問題、抽象問題、運動變化問題和不確定問題都可考慮運用特殊與一般的思想方法去探求解題途徑. 2. 對于遞推數(shù)列問題，采用“歸納猜想證明”的方法去解決問題，首先通過特例探索，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，然后再用這個規(guī)律來解決其它特殊問題，這是特殊與一般思想最常見的應(yīng)用之一. 規(guī)律總結(jié)專題四 特殊與一般的思想方法3 3. 對于某些特殊的問題，如求值、比較大小等，要注意研究 其數(shù)量特