橢圓總結(jié)(全).doc

1、橢圓一知識清單1. 橢圓的兩種定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2 的距離的和等于定長2a 2aF1 F2 的動點(diǎn)P 的軌跡，即點(diǎn)集M=P|PF|+|PF |=2a ， 2a |FF | ；（ 2aF1 F2時為線段 F1F2 ， 2aF1F2 無軌跡）。其中兩定1212點(diǎn) F1， F2 叫焦點(diǎn)，定點(diǎn)間的距離叫焦距。平面內(nèi)一動點(diǎn)到一個定點(diǎn)和一定直線的距離的比是小于1 的正常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，即點(diǎn)集M=P|PFe ，0 e 1 的常數(shù)。（ e1為拋物線； e1為雙曲線）d（利用第二定義 , 可以實現(xiàn)橢圓上的動點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化，定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線） .2 標(biāo)準(zhǔn)方程：（ 1）焦點(diǎn)

2、在 x 軸上，中心在原點(diǎn)：x2y 21 （a b 0）；a2b 2焦點(diǎn) F （ c， 0）， F（ c，0）。其中 ca2b2（一個 Rt 三角形）12（ 2）焦點(diǎn)在 y 軸上，中心在原點(diǎn)：y 2x 21（ ab 0）；a2b2焦點(diǎn) F1（ 0， c）， F2（ 0， c）。其中 ca 2b 2注意： 在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a b 0， ca 2b2 并且橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上；兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A 0，B 0，A B），當(dāng) A B 時，橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上， A B 時焦點(diǎn)在 y 軸上。3 參數(shù)方程： 焦點(diǎn)在 x 軸，xa cos（為參數(shù)）yb sin4 一

3、般方程： Ax 2By 21( A0,B 0)5. 性質(zhì)： 對于焦點(diǎn)在 x 軸上，中心在原點(diǎn)：x2y21（ a b 0）有以下性質(zhì)：a2b2坐標(biāo)系下的性質(zhì)： 范圍： |x|a， |y|b； 對稱性： 對稱軸方程為x=0， y=0，對稱中心為O（0， 0）；頂點(diǎn)： A1（ -a ， 0）， A2（ a， 0）， B1（ 0， -b ），B2（ 0， b），長軸 |A 1A2|=2a ，短軸 |B 1B2|=2b ；（ a 半長軸長， b 半短軸長）； 橢圓的準(zhǔn)線方程：對于 x2y 21，左準(zhǔn)線 l 1 : xa 2；右準(zhǔn)線 l 2 : xa2a 2b 2cc對于 y 2x 21，下準(zhǔn)線 l1 :

4、 ya 2；上準(zhǔn)線 l 2 : ya 2a 2b 2cc焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 pa2a 2c 2b 2cc（焦參數(shù)）cc橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對稱 焦半徑公式： P（ x0，y0）為橢圓上任一點(diǎn)。 |PF 1|= r左 =a+ex0，|PF 2|= r右 =a-ex 0；|PF 1|= r下 =a+ey0，|PF 2|=r上 =a-ey 0PF maxac, PF minac ，左加右減，上減下加 通徑： 過橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓通徑，通徑最短= 2b2 a平面幾何性質(zhì)： 離心率： e= cc21aa2 焦準(zhǔn)距 pb2

5、；準(zhǔn)線間距c 兩個最大角F1 PF2 max焦點(diǎn)在 y 軸上，中心在原點(diǎn)：6 焦點(diǎn)三角形 應(yīng)注意以下關(guān)系：(1) 定義： r 1r 22a2b（焦距與長軸長之比）0,1 ； e 越大越扁， e0 是圓。a2a2cF1 B2 F2 , A1PA2 maxA1B2 A2y 2x 2a 21（ a b 0）的性質(zhì)可類似的給出。b 2(2)余弦定理： r12 r22 2r 1r 2cos2 (2 c)(3)面積： SPF1F21r rsin12 |y|=c|y|=b2tan2122002(其中P(x0 , y0) 為橢圓上一點(diǎn)， |PF112212| r ，|PF | r，F(xiàn)PF )7. 共焦點(diǎn)的橢圓

6、系設(shè)法：把橢圓 x2y21（a b 0）的共焦點(diǎn)橢圓設(shè)為x2y21(b2 )a2b 2a 2b28. 特別注意：橢圓方程中的a,b,c,e與坐標(biāo)系無關(guān), 而焦點(diǎn)坐標(biāo), 準(zhǔn)線方程 , 頂點(diǎn)坐標(biāo), 與坐標(biāo)系有關(guān) . 因此確定橢圓方程需要三個條件: 兩個定形條件a,b, 一個定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程 .x1x2b12 y1 y2a （ a,b,c9. 弦長公式： AB1 k 2 x1 x211 k2為kacx1 x2a方程的系數(shù)考點(diǎn) 1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型 1: 橢圓定義的運(yùn)用 例 1 ( 湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2009 屆高三聯(lián)考 ) 橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，

7、反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點(diǎn)A、 B是它的焦點(diǎn)，長軸長為2a，焦距為 2c，靜放在點(diǎn) A 的小球（小球的半徑不計） ，從點(diǎn) A 沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A 時，小球經(jīng)過的路程是yA 4aB 2(a c)C 2(a+c)D以上答案均有可能P 解析 按小球的運(yùn)行路徑分三種情況:CD(1)ACA, 此時小球經(jīng)過的路程為2(a c);OxABDBA, 此時小球經(jīng)過的路程為AB(2)2(a+c);(3)APBQA 此時小球經(jīng)過的路程為4a, 故選 DQ【名師指引】考慮小球的運(yùn)行路徑要全面【新題導(dǎo)練】1. 短軸長為5 ，離心率e21212的橢圓兩焦點(diǎn)為 F

8、 ， F ，過F 作直線交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)，則ABF3的周長為（）A.3B.6C.12D.24 解析 C.長半軸 a=3， ABF2 的周長為 4a=122. 已知 P 為橢圓 x2y21上的一點(diǎn)， M , N 分別為圓 ( x3)2y21和圓 ( x 3)2y24上的2516點(diǎn)，則 PMPN 的最小值為（）A 5B 7C 13D 15 解析 B.兩圓心 C、D 恰為橢圓的焦點(diǎn)，|PC|PD |10，PMPN 的最小值為 10-1-2=7題型 2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例 2 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸，一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長軸上較近的端點(diǎn)距離為4 24，求

9、此橢圓方程 .【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)a,b,c 的式子“描述”出來 解析 設(shè)橢圓的方程為x2y21 或 x2y 21(ab 0) ，a2b2b2a 2bc則 a c4(21) ，a2b2c2解之得： a42， b=c 4. 則所求的橢圓的方程為x2y21或 x2y 21.32161632【名師指引】準(zhǔn)確把握圖形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)a, b, c 的數(shù)量關(guān)系警示易漏焦點(diǎn)在y 軸上的情況【新題導(dǎo)練】3. 如果方程 x2+ky2=2 表示焦點(diǎn)在 y 軸的橢圓，那么實數(shù)k 的取值范圍是 _. 解析 (0,1).橢圓方程化為x2+ y 2=1. 焦點(diǎn)在 y 軸上，則2 2，即 k0， 0k

10、0 （* ）kmmm2 2kmm 1x1 x2 k2 2 ， x1x2k2 2x1 x2 2x2 AP 3 PB x1 3x2 2x1x2 3x222 2km2m 1消去 x2，得 3（ x1 x2） 4x1x20， 3（ k2 2 ） 4k2 2 02222整理得 4k m 2m k 201212 2222mm 時，上式不成立；m 時， k 2，444m 1211因3 k0 k22 2m0， 1或 2m 21 1即所求 m的取值范圍為（ 1， 2）（ 2， 1）【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點(diǎn)之一，應(yīng)充分重視向量的功能例 7橢圓 x2y21(ab 0) 上一點(diǎn) P 向 x

11、 軸引垂線 , 垂足恰為橢圓的左焦點(diǎn)F1 , A 為橢圓的右a2b2uuuvuuuv0) .頂點(diǎn)， B 是橢圓的上頂點(diǎn) , 且 ABOP(、求該橢圓的離心率 .、若該橢圓的準(zhǔn)線方程是x25 ，求橢圓方程 .uuuvuuuvABOP， PF1O BOA ,解析、 QABOP ，PF1FO1cPF1bcBOOAa，a又 P(c, y)c2PF11PF1b2，bc ,a2b2a2而 a2b2c2a22c2e2 .2、 Q x25 為準(zhǔn)線方程，a22 5a225c ,ca225ca210x2y2由 bc所求橢圓方程為21 105a2b2c2b5【新題導(dǎo)練】14. 設(shè)過點(diǎn) P x, y 的直線分別與x

12、軸的正半軸和y 軸的正半軸交于A 、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn) Q 與點(diǎn) P 關(guān)于 y軸對稱， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 BP2PA，且 OQ AB1，則 P 點(diǎn)的軌跡方程是（）A.3 x 23 y21 x0, y0B.3 x 23y 21 x 0, y 022C. 3x23 y 21 x0, y 0D.3x23 y 21 x 0, y 022解析AB ( 3 x,3y), OQ(x, y)3 x23y21，選 A.2215.如圖，在 Rt 中， CAB=90， AB=2，AC= 2。一曲線 E 過點(diǎn) ，動點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動，ABC2C且保持 |+| 的值不變，直線l經(jīng)過 A 與曲線 E 交于 M、 N兩點(diǎn)。P

13、APB（ 1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E 的方程；（ 2）設(shè)直線 l 的斜率為 k，若 MBN為鈍角，求 k 的取值范圍。解：（ 1）以 AB所在直線為 x 軸， AB的中點(diǎn) O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A（ 1， 0）， B（1， 0）由題設(shè)可得|PA| |PB| |CA| |CB|222( 2)22 3 22 22222動點(diǎn) P 的軌跡方程為 x 2y 21(ab0) ，a 2b 2則a2,c1.a2c21b曲線 E 方程為 x 2y212（ 2）直線 MN的方程為 yk ( x1), 設(shè) M ( x1 , y1 ),設(shè) M ( x1 , y1 , ), N (x2 , y2 )由yk( x

14、1)得(122)2422(21)0x22 y 220kxkxk8k280方程有兩個不等的實數(shù)根x 1x24k 22 , x12(k 21)2kx22k221BM ( x11, y1 ), BN ( x21, y2 )BM BN ( x1 1)( x21) y1y2 (x1 1)( x2 1) k 2 (x1 1)( x1 1)(1 k 2 ) x1 x2( k21)( x1x2 ) 1 k 2(1 k22(k 21)(k21)(4k 22 ) 1 k27k 21)2k212k12k21 MBN是鈍角BMBN0即 7k21012k 2解得：7k777又 M、 B、 N三點(diǎn)不共線k0綜上所述， k

15、 的取值范圍是 (7 ,0)( 0,7 )77二典型例題考點(diǎn) 1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型 1: 橢圓定義的運(yùn)用例 2.點(diǎn) P為為橢圓x 2y 21(ab0) 上一點(diǎn)， F 、F 是橢圓的兩個焦點(diǎn)，試求：1PF2 取a2b212得最值時的P 點(diǎn)坐標(biāo)。題型 2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例 3. 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱軸，一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長軸上較近的端點(diǎn)距離為 4 2 4，求此橢圓方程 .考點(diǎn) 2 橢圓的幾何性質(zhì)題型 1: 求橢圓的離心率（或范圍）例 4. 在 ABC 中，A300,| AB | 2, S ABC 3 若以 A， B 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C ，則該橢圓的離

16、心率 e題型 2: 橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對稱性等）x2y2例 5.已知實數(shù) x, y 滿足 41222, 求 xy x 的最大值與最小值考點(diǎn) 3 橢圓的最值問題題型 1:動點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時涉及的距離、面積的最值x2y2例 6.橢圓 161xy 9 0的距離的最小值為 _9上的點(diǎn)到直線 l:題型 2.一、的最值若 A 為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)（異于焦點(diǎn)） ， P 是 C 上的一個動點(diǎn)， F 是 C 的一個焦點(diǎn)， e 是 C 的離心率，求的最小值。例 7.已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A（ 2，1）， F 是橢圓 C 的左焦點(diǎn)， P 為橢圓 C 上的動點(diǎn)，求的最小值。二、的最值若 A為橢圓C 內(nèi)一定點(diǎn)（異于焦

17、點(diǎn)） ， P 為C 上的一個動點(diǎn)，F(xiàn) 是C 的一個焦點(diǎn)，求的最值。例8已知橢圓的最大值與最小值。內(nèi)有一點(diǎn)A（ 2，1），F(xiàn) 為橢圓的左焦點(diǎn)，P 是橢圓上動點(diǎn)， 求三、的最值若 A為橢圓C 外一定點(diǎn)，為 C 的一條準(zhǔn)線，P 為C上的一個動點(diǎn)，P 到的距離為d，求的最小值。例 9.已知橢圓外一點(diǎn) A（5， 6），為橢圓的左準(zhǔn)線，P 為橢圓上動點(diǎn)，點(diǎn)P 到的距離為 d，求的最小值。四、橢圓上定長動弦中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最值例 10.定長為的線段 AB 的兩個端點(diǎn)分別在橢圓上移動，求AB 的中點(diǎn) M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離?？键c(diǎn) 4 直線與橢圓相交問題題型 1 直線與橢圓相交求弦長(1) 常用分析一元二次方

18、程解的情況，僅有還不夠，且用數(shù)形結(jié)合的思想。(2)弦的中點(diǎn)，弦長等，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，但0 這一制約條件不同意。x1x2b212a （ a,b,cAB1 kx1x21y1y21 k為方程的系數(shù)）k2ax1 x2ca例 11. 已知直線 l 過橢圓 8x29y272 的一個焦點(diǎn)， 斜率為2， 與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，求弦MNl的長。題型 2“點(diǎn)差法”解題。 “設(shè)而不求”的思想。當(dāng)涉及至平行法的中點(diǎn)軌跡，過定點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡，過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程，用“點(diǎn)差法”來求解。步驟： 1. 設(shè) A(x 1,y 1) B(x 2,y 2) 分別代入橢圓方程；2. 設(shè) p( x0 , y0 )y

19、1y2b2 (x1x2 )b2 x0為 AB 的中點(diǎn)。兩式相減，x2a2 ( y1y2 )a 2 y0x13. 得出 ky1y2x1x2注：一般的，對橢圓x2y21上弦 AB 及中點(diǎn)， M ，有 K AB K OMb2a2b 2a 2例 12. 已知橢圓 x2y 21 ， 求斜率為2 的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程2考點(diǎn)五 . 軌跡問題這一問題難，但是解決法非常多，有如下幾種。1. 直接法：根據(jù)條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)動點(diǎn)(x ， y) ，直接列出動點(diǎn)所應(yīng)滿足的方程。2. 代入法：一個是動點(diǎn)Q(x0,y 0) 在已知曲線 F(x,y)=0，上運(yùn)動，而動點(diǎn)P(x,y)與 Q點(diǎn)滿足某種關(guān)系，要求P 點(diǎn)的軌跡。

20、其關(guān)鍵是列出P、 Q兩點(diǎn)的關(guān)系式x0f (x, y)yoy(x, y)3. 定義法：通過對軌跡點(diǎn)的分析，發(fā)現(xiàn)與某個圓錐曲線的定義相符，則通過這個定義求出方程。4. 參數(shù)法：在 x，y 間的方程 F(x,y)=0xf (t)難以直接求得時，往往用(t 為參數(shù) ) 來反映yy(t)x， y 之間的關(guān)系。常用的參數(shù)有斜率k 與角等。例 13： ABC 的一邊的的頂點(diǎn)是B(0,6) 和 C(0,-6)，另兩邊斜率的乘積是4，求頂點(diǎn) A 的軌跡方9程：基礎(chǔ)訓(xùn)練A 組1橢圓2x23y26 的焦距是（）A 2B2(32)C25D2(32 )2 F1、F2 是定點(diǎn)，|F 1F2|=6，動點(diǎn)M滿足|MF1|+|

21、MF2|=6 ，則點(diǎn)M的軌跡是（）A橢圓B直線C線段D圓3P 是橢圓 x 2y 21上一點(diǎn)， P 到右焦點(diǎn) F2 的距離為1，則 P 到相應(yīng)左焦點(diǎn)的準(zhǔn)線距離為 （）4A3B2 3C3D2 36324若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F1（1， 0），F(xiàn)2（3， 0），則其離心率為（）A 3B 2C 1D 143244若橢圓的對稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)組成一個正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短是距離為3 ，這個橢圓方程為（）A x2y 21B x2y 21129912C x2y 2或 x2y 21D以上都不對12919126離心率 e1 ，一個焦點(diǎn)是F0, 3的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為_ .27與橢圓

22、4 x 2+ 9 y2=36有相同的焦點(diǎn) , 且過點(diǎn) ( 3， ) 的橢圓方程為 _ 8. 設(shè)雙曲線x2y21 （ a 0,b 0）的漸近線與拋物線2+1 相切，則該雙曲線的離心率等于a2b2y=x_9. 已知橢圓 C : x2y21 的右焦點(diǎn)為 F , 右準(zhǔn)線為 l ，點(diǎn) Al ，線段 AF 交 C 于點(diǎn) B ，若2uuuruuuruuuurFA3FB , 則 | AF |=_10已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，離心率e25 ，求橢圓的方程，短軸長為 8311已知 A、 B 為橢圓x225y 2=1 上兩點(diǎn)， F 為橢圓的右焦點(diǎn)，若 |AF|+|BF8a2+ 9a222|= 5 a，AB中點(diǎn)到橢2圓左準(zhǔn)線的距離為3 ，求該橢圓方程212. 求橢圓 x2y21(a b 0) 的內(nèi)接矩形面積的最大值