第三章電介質物理導論第三章1

1、第三章第三章 交變電場中電介質的損耗交變電場中電介質的損耗1.具有慢極化具有慢極化 的電介質在交變電場作用下所表現(xiàn)出的介質特性（極化與的電介質在交變電場作用下所表現(xiàn)出的介質特性（極化與損耗）與電場頻率有關損耗）與電場頻率有關復介電常數(shù)復介電常數(shù)*2.導出以松弛極化為典型例證的導出以松弛極化為典型例證的德拜松弛極化與損耗理論德拜松弛極化與損耗理論 與頻率和溫度的關系與頻率和溫度的關系3.考慮電場強度考慮電場強度E與電位移與電位移D、電流、電流I（或電流密度（或電流密度j）與電壓）與電壓U（或電場（或電場強度強度E)之間的相位關系之間的相位關系有功功率損耗有功功率損耗*4.考慮漏導損耗以后，給出了

2、它對松弛極化產生的附加影響考慮漏導損耗以后，給出了它對松弛極化產生的附加影響*5.有損耗電介質的等效電路的計算方法有損耗電介質的等效電路的計算方法交變電場作用下電介質的特性交變電場作用下電介質的特性復介電常數(shù)復介電常數(shù)*、 tgtg31復介電常數(shù)和復折射率復介電常數(shù)和復折射率 3.1.1 復介電常數(shù)復介電常數(shù)1.1.平行板真空電容器平行板真空電容器的靜電容量：的靜電容量： C C0 00 0S Sd d。加上角頻率為加上角頻率為2f2f的交流電壓：的交流電壓：則在電極上出現(xiàn)電荷則在電極上出現(xiàn)電荷Q QC C0 0V V，并且與外加電壓同相位。，并且與外加電壓同相位。 由此可見，由此可見，電路中

3、電流與外加電壓差電路中電流與外加電壓差9090o o相位相位，見圖，見圖3131。I電路電流為電荷電路電流為電荷Q Q對時間的導數(shù)：對時間的導數(shù)：EidViS1VdSiSIj000 2.2.對于對于理想絕緣的介質理想絕緣的介質，相對介電常數(shù)為，相對介電常數(shù)為r r顯然此時的電容量具有新的值顯然此時的電容量具有新的值C Cr rC C0 0，相應的電流變?yōu)椋海鄳碾娏髯優(yōu)椋捍藭r，電流與電壓仍然相差此時，電流與電壓仍然相差9090o o相位。相位。E Ei ij jI IC CV Vi ie eC CV Vi id dt tQ Qd dI Ir r0 0r rt ti i0 0 E Ei ij

4、j0 0 3. 如果如果電介質是弱電導性的電介質是弱電導性的，存在一定的電導，那么，電容，存在一定的電導，那么，電容器就不再是理想的電容器，于是，電流對電壓的相位就不會恰器就不再是理想的電容器，于是，電流對電壓的相位就不會恰好相差好相差9090o o。因為此時增加了一個與電壓同相位的電導分量。因為此時增加了一個與電壓同相位的電導分量GVGV，故總的電流為兩部分電流的和：故總的電流為兩部分電流的和： I=iCV+GV=(iC+G)V此時電流與電壓的關系電流與電壓的關系如圖32所示。介質電導引起介質電導引起由交變電場引起由交變電場引起SIj dVE dSG dSC0r E)i (jor 0j=E0

5、r I=iCV+GV=(iC+G)V 在交變電場中電介質的特性參數(shù)為在交變電場中電介質的特性參數(shù)為* *和和* *，它們都與電場頻，它們都與電場頻率有關，這一點與電介質處于恒定電場中的介電常數(shù)和穩(wěn)態(tài)電導率率有關，這一點與電介質處于恒定電場中的介電常數(shù)和穩(wěn)態(tài)電導率有著本質上的差別。有著本質上的差別。Ej* 由由定義復電導率定義復電導率Eij* 由由定義復介電常數(shù)定義復介電常數(shù) ii*則則 為了便于考察在交變電場作用下電介質的性質，引入復介為了便于考察在交變電場作用下電介質的性質，引入復介電常數(shù)電常數(shù)* *，分成實部與虛部，且引入兩個實數(shù)，分成實部與虛部，且引入兩個實數(shù)和和于是于是* *可表示成可

6、表示成 *= i （39）= = ； =/=/ 其中，第一項其中，第一項( (包含包含)和第二項和第二項( (包含包含)分別為復介電分別為復介電常數(shù)的實部和虛部。均與常數(shù)的實部和虛部。均與有關，有關， 與極化響應的快慢有關，與極化響應的快慢有關， =/=/。 i*復介電常數(shù)復介電常數(shù)r*= ri r （310） 從相位關系上分析式從相位關系上分析式(39)(39)或式或式(3l0)(3l0)可知，可知，或或r r對應于損耗項，對應于損耗項，或或r r對應于電容項。對應于電容項。*= i 復相對介電常數(shù)復相對介電常數(shù)r r* * (complex relative dielectric cons

7、tant) (complex relative dielectric constant) 再由圖再由圖3232看出，看出，1.1.與電壓同相位的損耗電流分量與電壓同相位的損耗電流分量(I(Il lGV)GV)，2.2.電容電流分量（電容電流分量（I Ic ci CVi CV）3.3.合成電流合成電流I II Ic c與與I I之間形成一個之間形成一個角角介質損耗角介質損耗角(dielectric loss (dielectric loss angle).angle).或表示為：電容項電容項損耗項損耗項電容電流電容電流損耗電流損耗電流 CGIItgclrrtg IIcI Il l:損耗因素損耗因

8、素(dielectric loss factor)(dielectric loss factor)，r r:相對損耗因數(shù)相對損耗因數(shù)(relative dielectric loss factor)(relative dielectric loss factor)； :介電常數(shù)介電常數(shù)r r:相對介電常數(shù)，相對介電常數(shù)， 它們都依賴于頻率，只有當它們都依賴于頻率，只有當00，才是靜態(tài)介電常數(shù)。才是靜態(tài)介電常數(shù)。 由于由于j jii* *E E，當把式，當把式(39)(39)代入后，即得代入后，即得到下列表達式：到下列表達式：*= i （39） 式中，含式中，含的項與電場強度同相位，含的項與電場

9、強度同相位，含的項與電場強度的項與電場強度差差90o相位。相位。=/ （314） （320）)2xft(2iexpeEEx0 )2xft(2iexpeHHx0 3.1.2 電磁波在介質中的傳播及復折射率電磁波在介質中的傳播及復折射率 為衰減常數(shù)為衰減常數(shù) 為相位常數(shù)為相位常數(shù)電磁波在介質中的傳播方程電磁波在介質中的傳播方程(1)(1)當當x x一定時，電磁場強度對時間一定時，電磁場強度對時間(t)(t)呈周期性變化呈周期性變化，其周期其周期T為為(2)(2)波長：波長： 電磁波在介質中的傳播具有如下一些特性：電磁波在介質中的傳播具有如下一些特性：相位相差相位相差2的位置呈相同波形的位置呈相同波

10、形位置相差波長位置相差波長 ,n2x n2x（3 3）波速：波速：(4)(4)電磁場的絕對值以電磁場的絕對值以 的比例衰減的比例衰減。這里的。這里的 表示吸收。表示吸收。f2fTv 或：或：n)2xft( 時，相位相同，距離相差時，相位相同，距離相差x，傳播時間要經過時間，傳播時間要經過時間t2dxvffdt xe 在以在以* *和和* *表征的介質材料中的傳播，具有一個復速度表征的介質材料中的傳播，具有一個復速度 電磁波在以電磁波在以0 0和和0 0表征的表征的真空中的傳播速度真空中的傳播速度則為則為 C C(0 00 0) )1/21/2=3=310108 8米米/ /秒。秒。 2/1*)

11、(v 折射率折射率(refractive index)(refractive index)：電磁波在真：電磁波在真空中的傳播速度空中的傳播速度v v0 0和在介質中傳播速度和在介質中傳播速度v v* *之比之比。復折射率：復折射率：ikn)(vvn2/100*0* 式中式中n與與k分別為復折射率的實部與虛部中的分別為復折射率的實部與虛部中的兩個實數(shù)兩個實數(shù)這個復數(shù)關系式（式這個復數(shù)關系式（式322）就是著名的）就是著名的麥克斯韋關系式麥克斯韋關系式。式（式（3-21）可簡化為）可簡化為iknirr rrtg 在沒有損耗的電介質中，則有在沒有損耗的電介質中，則有 或或即：即：相對介電常數(shù)等于折射

12、率的平方相對介電常數(shù)等于折射率的平方。在第一章中我們實際上在。在第一章中我們實際上在許多場合下已經引用了式（許多場合下已經引用了式（327327）所表示的關系（）所表示的關系（p21p21、2626）。）。 rnrn2在交變電場中的電介質，由于復相對介電常數(shù)在交變電場中的電介質，由于復相對介電常數(shù)r r與頻率有與頻率有關，故折射率關，故折射率n n亦隨頻率變化，稱為。亦隨頻率變化，稱為。 “ “交流電場中電介質介電常數(shù)隨頻率變化的現(xiàn)象，交流電場中電介質介電常數(shù)隨頻率變化的現(xiàn)象，在介質理論中常稱為或簡稱在介質理論中常稱為或簡稱“彌散彌散”(dispersion)(dispersion)。這種現(xiàn)象

13、。這種現(xiàn)象的本質，就在于電極化的建立需要一個過程，換句話說，由于極的本質，就在于電極化的建立需要一個過程，換句話說，由于極化的慣性或滯后性，在不同頻率電場中，極化可能來不及響應或化的慣性或滯后性，在不同頻率電場中，極化可能來不及響應或完全來不及響應電場的變化。完全來不及響應電場的變化。色散現(xiàn)象色散現(xiàn)象彌散現(xiàn)象彌散現(xiàn)象32 介質損耗介質損耗 研究介質損耗問題，實質上就是研究能量轉換問題。研究介質損耗問題，實質上就是研究能量轉換問題。定義：定義：電介質在單位時間內每單位體積中，將電能轉化為熱能電介質在單位時間內每單位體積中，將電能轉化為熱能( (以發(fā)熱形式以發(fā)熱形式) )而消耗的能量。而消耗的能量

14、。 1. 1. 直流電場中，直流電場中， VEdSdEGUUIWvvRU22222單位時間內每單位體積所消耗的能量為單位時間內每單位體積所消耗的能量為 : : w wv vE E2=2=jEjE。 耗能耗能： 儲能儲能: :靜介電常數(shù)為靜介電常數(shù)為s s的電介質的電介質 在靜電場中所儲存的靜電能密度：在靜電場中所儲存的靜電能密度：VEdEdSCUWrr202202212121單位體積中的儲能：單位體積中的儲能： 由此可見，無論是儲存的能量密度還是消耗的能量密度，由此可見，無論是儲存的能量密度還是消耗的能量密度，其大小均與直流靜電場的電介質特性參數(shù)有關，因此，不必其大小均與直流靜電場的電介質特性

15、參數(shù)有關，因此，不必考慮與電場變化頻率的關系?？紤]與電場變化頻率的關系。 與頻率有關的介質特性參數(shù)與頻率有關的介質特性參數(shù)復電導率與復介電常數(shù)。復電導率與復介電常數(shù)。 在交變電場中，各相關矢量在交變電場中，各相關矢量( (I I、j j、V V、E E) )可能出現(xiàn)相位可能出現(xiàn)相位差的關系，因此，在討論交變場的介質損耗問題，必然應從研差的關系，因此，在討論交變場的介質損耗問題，必然應從研究電介質的動態(tài)行為入手。究電介質的動態(tài)行為入手。2.2.交變電場中交變電場中ii*正弦交變電場正弦交變電場： 電容電流超前于電壓的相角小于電容電流超前于電壓的相角小于/2/2， 介質極化的滯后性介質極化的滯后性

16、D D與與E E在時間上有一個明顯的相位差在時間上有一個明顯的相位差 D DEE的關系式不再適用。的關系式不再適用。電容器的電容量也不能再用電容器的電容量也不能再用C Cr rC C0 0的簡單公式。的簡單公式。 設在平行平板介質電容器上，加上正弦交變電場：設在平行平板介質電容器上，加上正弦交變電場： EE0cost （328）這部分能量以這部分能量以w表示，那么：表示，那么：介質損耗的定義：電介質在單位時間內每單位體積所介質損耗的定義：電介質在單位時間內每單位體積所 損失的能量。損失的能量。wjEDDjt j: 單位時間單位面積通過的電量單位時間單位面積通過的電量 單位時間內面電荷密度的變化

17、單位時間內面電荷密度的變化tj而由高斯定律而由高斯定律sQSdDDD S Q 平行平板電容器平行平板電容器設設tieEE00()itDjiE et 012()()itDiE eiEEiEDD tg D1D2E D落后落后E角角DE)i (jor 積分積分對比對比D D0 0coscos與與E E具有相同相位；具有相同相位；D D0 0sinsin與與E E具有具有2 2的相位差，的相位差，當當E=E0COSttDj第一部分與電場第一部分與電場E E的相位差是的相位差是2 2，不會引起介質中的能量損耗，不會引起介質中的能量損耗電流密度此時分成了兩部分：電流密度此時分成了兩部分：第二部分與電場第二

18、部分與電場E E同相位，引起能量損耗；同相位，引起能量損耗；每秒鐘介質單位體積中的能量損耗：每秒鐘介質單位體積中的能量損耗： sincos，因此，常稱，因此，常稱sin或或cos為功率因數(shù)。其中，為功率因數(shù)。其中，為介質損耗角為介質損耗角，為功率因數(shù)角為功率因數(shù)角。 特殊地，若特殊地，若D與與E之間在時間上沒有可觀察的相位差，即之間在時間上沒有可觀察的相位差，即0，于是由式，于是由式(335)可見：可見： w0這一結果說明，極化強度與交變電場同相位，極化過程不存這一結果說明，極化強度與交變電場同相位，極化過程不存在滯后現(xiàn)象，亦就是極化完全來得及跟隨電場變化，此時不在滯后現(xiàn)象，亦就是極化完全來得

19、及跟隨電場變化，此時不存在交流電場下的由極化引起的損耗。存在交流電場下的由極化引起的損耗。IIcI Il l 若若D D與與E E之間的相位，相差之間的相位，相差角，角，D D與與E E的關系表達為的關系表達為現(xiàn)在引用復介電常數(shù)現(xiàn)在引用復介電常數(shù)*來表示來表示介質在正弦交變電場中的介質損耗；介質在正弦交變電場中的介質損耗；tjtDj*= i （39）(3-31)電場相差電場相差90o相位，為無功分量相位，為無功分量與電場同相位，損耗分量，或與電場同相位，損耗分量，或有功分量。有功分量。交流電場下介質每秒鐘每單位體積內所耗散的能量；交流電場下介質每秒鐘每單位體積內所耗散的能量； 在交流電場振幅一

20、定的情形下，所消耗的能量與在交流電場振幅一定的情形下，所消耗的能量與成正比，成正比，這也就是將這也就是將稱為損耗因子的原因。稱為損耗因子的原因。v介質損耗通常都是用介質損耗角的正切介質損耗通常都是用介質損耗角的正切(tangent(tangentof dielectric loss angle)tgof dielectric loss angle)tg來表示來表示v研究介質損耗的重點，集中于能表征電介質在交變電場中損研究介質損耗的重點，集中于能表征電介質在交變電場中損耗特性的參數(shù)耗特性的參數(shù)tgtg上。上。具有如下兩個明顯的優(yōu)點：具有如下兩個明顯的優(yōu)點： (1) tg(1) tg值可以和介電常

21、數(shù)值可以和介電常數(shù)同時直接測量得到。且一般只需同時直接測量得到。且一般只需要采用通用的電橋法和諧振法測量，要采用通用的電橋法和諧振法測量，(2) tg(2) tg值與測量試樣大小與形狀均無關，為電介質自身屬性，值與測量試樣大小與形狀均無關，為電介質自身屬性，并且在許多情形下，并且在許多情形下，tgtg值比值比值對介質特性的改變敏感得多。值對介質特性的改變敏感得多。 1 電介質不是理想絕緣體，不可避免地存在電介質不是理想絕緣體，不可避免地存在漏電導漏電導，要產生，要產生漏導損耗漏導損耗，由這種損耗機構決定的，由這種損耗機構決定的tgtg值值 在在D D與與E E之間形成相位差而引起的介質損耗的機

22、構主要有以下三種：之間形成相位差而引起的介質損耗的機構主要有以下三種：隨電場頻率隨電場頻率f的增高，的增高，tg成倒數(shù)關系下降，成倒數(shù)關系下降，僅電導的存在不會使電介質出現(xiàn)高頻下發(fā)熱嚴重的問題。僅電導的存在不會使電介質出現(xiàn)高頻下發(fā)熱嚴重的問題。 2 電介質中發(fā)生的電介質中發(fā)生的慢極化慢極化(例如，與熱運動密切有關的熱離子例如，與熱運動密切有關的熱離子極化及熱轉向極化等極化及熱轉向極化等)：建立時間較長建立時間較長(約約104109秒秒)，當電場變化頻率超過一定限度，當電場變化頻率超過一定限度時，這些慢極化來不及建立而產生極化滯后現(xiàn)象。時，這些慢極化來不及建立而產生極化滯后現(xiàn)象。 介質的極化強度

23、介質的極化強度P滯后于電場強度滯后于電場強度E，此時將消耗一部分能量，形，此時將消耗一部分能量，形成介質損耗。成介質損耗。這部分由慢極化產生的介質損耗是電介質在交變電場中使用時產生這部分由慢極化產生的介質損耗是電介質在交變電場中使用時產生的介質損耗的主要部分，且有著自身的特殊規(guī)律。的介質損耗的主要部分，且有著自身的特殊規(guī)律。當電場頻率增高時，電介質的當電場頻率增高時，電介質的tg可能在一定頻率下不減小反而可能在一定頻率下不減小反而增大，且可能出現(xiàn)最大值，這種反常現(xiàn)象常稱為增大，且可能出現(xiàn)最大值，這種反?，F(xiàn)象常稱為“反常分散反常分散”現(xiàn)現(xiàn)象，見圖象，見圖34。 為了便于全面比較，圖中同時畫出了為

24、了便于全面比較，圖中同時畫出了Pf()曲線。曲線?！胺闯７稚⒎闯７稚ⅰ爆F(xiàn)象的出現(xiàn)，正是由于某些慢極化所致。現(xiàn)象的出現(xiàn)，正是由于某些慢極化所致。 這種效應產生在紅外到紫外的光頻范圍內。這種效應產生在紅外到紫外的光頻范圍內。光是一種電磁波，它在介質中傳播的相速及介質的折射率光是一種電磁波，它在介質中傳播的相速及介質的折射率n n均均依賴于頻率。依賴于頻率。n n隨頻率而變化的現(xiàn)象隨頻率而變化的現(xiàn)象色散現(xiàn)象，根據(jù)電磁場理論，可以色散現(xiàn)象，根據(jù)電磁場理論，可以證明色散的存在同時將伴隨有能量的耗散。證明色散的存在同時將伴隨有能量的耗散。 3原子、離子或電子的振動所產生的共振效應。原子、離子或電子的振動所

25、產生的共振效應。33 弛豫現(xiàn)象弛豫現(xiàn)象電介質在恒定電場中，發(fā)生的幾種極化都需要經歷一定的時間電介質在恒定電場中，發(fā)生的幾種極化都需要經歷一定的時間. 快極化：快極化：如電子位移極化和離子位移極化需時極短如電子位移極化和離子位移極化需時極短( (1010151510101212秒秒) )。這對于電介質通常應用的頻率。這對于電介質通常應用的頻率無線電頻率范圍無線電頻率范圍(5(510101212HzHz以下以下) )來講，可以認為是瞬時完成的。來講，可以認為是瞬時完成的。 慢極化：慢極化：例如熱轉向極化，要達到極化的穩(wěn)定狀態(tài)，一般需例如熱轉向極化，要達到極化的穩(wěn)定狀態(tài)，一般需要經歷要經歷10106

26、 6秒甚至更長時間。因此這類極化在外施電場頻率較秒甚至更長時間。因此這類極化在外施電場頻率較高時，就有可能來不及跟隨電場的變化，表現(xiàn)出極化的滯后性，高時，就有可能來不及跟隨電場的變化，表現(xiàn)出極化的滯后性，這部分極化常稱為這部分極化常稱為松弛極化松弛極化，其極化建立過程則是不可忽視的。，其極化建立過程則是不可忽視的。對電介質極化強度來說，一般可表示為對電介質極化強度來說，一般可表示為 式中，式中，P P位移極化強度位移極化強度；P Pr r松弛極化強度松弛極化強度。極化的。極化的建立過程或極化強度隨時間的變化如圖建立過程或極化強度隨時間的變化如圖3535所示。所示。加電場 tppprmrmppp

27、切線切線與與)1 (trmrePP或簡稱或簡稱松弛時間松弛時間(relaxation time)，與溫度有關。，與溫度有關。移去電場移去電場當時間足夠長時，當時間足夠長時，Pr減小減小且實際上接近零且實際上接近零trmrePP松弛時間的含義松弛時間的含義: t時，極化強度時，極化強度P r降為原來極化強度的降為原來極化強度的1e所需要的時間。所需要的時間。在電介質處于恒定電場在電介質處于恒定電場(f0)(f0)情形下，即使最慢的情形下，即使最慢的極化也極化也不存在滯后現(xiàn)象不存在滯后現(xiàn)象，正是由于這種原因，在研究恒定電，正是由于這種原因，在研究恒定電場中的電介質特性時，只需考察電介質的場中的電介

28、質特性時，只需考察電介質的靜態(tài)特性靜態(tài)特性，而不必，而不必研究其動態(tài)特性研究其動態(tài)特性(dynamic property).(dynamic property).當電介質工作在交變電場中時，就需要研究其當電介質工作在交變電場中時，就需要研究其動態(tài)性質動態(tài)性質。建立動態(tài)方面的理論要比建立靜態(tài)理論困難得多建立動態(tài)方面的理論要比建立靜態(tài)理論困難得多, ,在研究電在研究電介質的動態(tài)特性時，介質的動態(tài)特性時，弛豫現(xiàn)象弛豫現(xiàn)象占據(jù)著重要的地位。占據(jù)著重要的地位。 電介質的動態(tài)特性電介質的動態(tài)特性 將一個脈沖電壓加在電介質上，電壓振幅為將一個脈沖電壓加在電介質上，電壓振幅為V V0 0，脈沖時間，脈沖時間間

29、隔為間隔為t t1 1t tl ldtdt，見圖，見圖36(a)36(a)。一、弛豫過程一、弛豫過程首先考察線性電介質對可變電場的響應問題。首先考察線性電介質對可變電場的響應問題。然后從然后從定性定性與與定量定量兩個方面，確立兩個方面，確立復介電常數(shù)的頻率特性復介電常數(shù)的頻率特性。tt1, tt2, V=0;t1 t t2 V=V0充電電流：充電電流：t tt t1 1， i=0i=0 t=t t=t1 1, i=i, i=i 瞬時充電電流瞬時充電電流 t t1 1t tt t2 2，i=ii=ia a(t) (t) 強度逐漸減小，強度逐漸減小， 這種隨時間逐漸減小的電流被稱為這種隨時間逐漸減

30、小的電流被稱為吸收電流吸收電流(absorption current)(absorption current)。放電電流：放電電流： 在在t t2 2時刻切斷電源，短路時刻切斷電源，短路 t=tt=t2 2 i=i i=i瞬時放電電流瞬時放電電流 i i=- i=- i t tt t2 2 i=ii=ia a(t) (t) 強度逐漸減小，強度逐漸減小， 殘余電流殘余電流 i ia a(t)=- i(t)=- ia a(t) (t) 這一實驗結果說明：由于電介質存在緩慢極化，使得極化這一實驗結果說明：由于電介質存在緩慢極化，使得極化滯滯后后于電壓的變化，并出現(xiàn)隨時間降落的吸收電流或殘余電流，我于

31、電壓的變化，并出現(xiàn)隨時間降落的吸收電流或殘余電流，我們將這種現(xiàn)象稱為們將這種現(xiàn)象稱為介質弛豫現(xiàn)象介質弛豫現(xiàn)象。 圖圖36(c)36(c)所示為電流的積分值，亦就是相應的所示為電流的積分值，亦就是相應的電荷變化電荷變化情況：情況： t tt tl l， Q=0Q=0 t=t t=t1 1 Q=Q= Q Q， 瞬時充電電荷瞬時充電電荷 t t1 1t tt t2 2 Q=Q Q=Qa a(t)+Q(t)+Q Q Qa a(t)(t)是對應于吸收電流是對應于吸收電流i ia a的充的充 電電荷；電電荷； t=tt=t2 2 Q= Q Q= Q 與與i相對應的是相對應的是瞬時放電電荷瞬時放電電荷， t

32、 tt t2 2 Q=QQ=Qa a 由殘余電流所緩慢放出的電荷。由殘余電流所緩慢放出的電荷。 Qa 充電時：充電時： t=tt=t1 1 ，在脈沖間隔內，由在脈沖間隔內，由t t1 1到到t t2 2，t=tt=t2 2 ()asQQCV i=dQ/dt 由于弛豫現(xiàn)象的存在，電容量也不是一個恒定由于弛豫現(xiàn)象的存在，電容量也不是一個恒定的量，而是隨著時間變化：的量，而是隨著時間變化：電流的變化電流的變化電容的變化電容的變化電容量隨時間而逐漸增加，電容量隨時間而逐漸增加，定量表達式：定量表達式： 式中式中(t)(t)為為衰減函數(shù)衰減函數(shù)(decay function)(decay functio

33、n)或或后效函數(shù)后效函數(shù)(after (after effect function)effect function)，它與電容的形狀和電壓無關，而是由電介質的成分、結構以它與電容的形狀和電壓無關，而是由電介質的成分、結構以及溫度等因素確定的函數(shù)，并且是及溫度等因素確定的函數(shù)，并且是歸一化歸一化的，即的，即 CCCs1電荷的變化電荷的變化VCdt)t(VCdt)t(iQ1010aa VCV)CC(VCVCQQQs11a 如果加在線性電介質上的電壓是隨時間變化的，例如象圖如果加在線性電介質上的電壓是隨時間變化的，例如象圖3737所示那樣，所示那樣，V(t)V(t)在時刻在時刻t tl l、t t2

34、 2、t t3 3、t t4 4時分別加上時分別加上V(tV(t1 1) )、V(tV(t2 2) )、V(tV(t3 3) )、V(tV(t4 4) )。 可視為可視為一個個脈沖電壓一個個脈沖電壓(每個脈沖電壓振幅不同，脈沖間每個脈沖電壓振幅不同，脈沖間隔不同隔不同)的合成的合成。二、隨時間變化的電壓與電流及電介質中的二、隨時間變化的電壓與電流及電介質中的全電流全電流 可應用前面的結果，利用可應用前面的結果，利用疊加原理疊加原理，就能方，就能方便地求出便地求出總的吸收電流隨時間的變化總的吸收電流隨時間的變化； i1iiisa)tt ()t (V)CC() t (I吸收電流隨時間變化的情況：吸

35、收電流隨時間變化的情況： 如果如果V(t)V(t)是是連續(xù)變化連續(xù)變化的，的，在在無限小無限小的時間間隔的時間間隔dudu內，相繼加上內，相繼加上具有相同具有相同微小電壓微小電壓dV(u)dV(u)，用積分形式改寫式，用積分形式改寫式(351)(351)：du)ut (du)u(dV)CC() t (It0sa 將上式積分變量換為將上式積分變量換為x，且，且xt-u,或或u t-u,du=-dx，則上式變?yōu)?，則上式變?yōu)閐x)x(dt)xt (dV)CC() t (It0sa 電介質的全電流電介質的全電流：瞬時充電電流瞬時充電電流+吸收電流吸收電流+漏導電流漏導電流 由式由式(354)(354)

36、可見，通過電介質的全電流包括三部分，即：可見，通過電介質的全電流包括三部分，即：1.1.瞬時充電電流瞬時充電電流( (第一項第一項) )，它是隨時間迅速變化的；，它是隨時間迅速變化的；2.2.吸收電流吸收電流( (第二項第二項) )，它是隨時間緩慢減小的，其衰減特性，它是隨時間緩慢減小的，其衰減特性取決于衰減函數(shù)取決于衰減函數(shù)(x)(x)或或(t)(t)；3.3.漏導電流漏導電流( (第三項第三項) )，它是不隨時間變化的恒量，只取決于，它是不隨時間變化的恒量，只取決于介質的漏電導。這三部分電流的變化特性如圖介質的漏電導。這三部分電流的變化特性如圖3838所示。所示。+GV(t)34 Kram

37、ersKrnig關系式關系式(略略) 討論了弛豫現(xiàn)象以后，便可利用上節(jié)得出的結果，討論了弛豫現(xiàn)象以后，便可利用上節(jié)得出的結果，通過通過電流密度與電場強度之間的關系推導出復介電常數(shù)的頻率特電流密度與電場強度之間的關系推導出復介電常數(shù)的頻率特性性，即所謂，即所謂KramersKrnigKramersKrnig關系式。關系式。 電介質極化的頻域響應電介質極化的頻域響應將式將式(354)關于關于電流強度的表達式換為電流密度電流強度的表達式換為電流密度的表示式，的表示式，只需代入以下幾種關系：只需代入以下幾種關系： 頻域響應比時域響應的測量更容易和精確頻域響應比時域響應的測量更容易和精確頻域響應就是以頻

38、率作參變量，極化響應是頻率的函數(shù)頻域響應就是以頻率作參變量，極化響應是頻率的函數(shù)著名的著名的KK 關系關系克拉默斯克拉默斯-克勒尼希關系克勒尼希關系 +GV(t)下面研究交變電場的情況。下面研究交變電場的情況。 xdxsin)x()(Exdxcos)x()(Ei)t( j0s0s E (3-56) 方程方程(359)(359)和和(360)(360)表明：相對介電常數(shù)的實部表明：相對介電常數(shù)的實部r r和和虛部虛部r r都依賴于同一個衰減函數(shù)都依賴于同一個衰減函數(shù)(x)(x)，它可以寫成傅里葉，它可以寫成傅里葉變換式：變換式：這里引入這里引入是為了不要產生誤解而認為是為了不要產生誤解而認為si

39、nsinx x成了成了cosxcosx的的復合函數(shù)，因為要先單獨對含復合函數(shù)，因為要先單獨對含的函數(shù)積分，此處的函數(shù)積分，此處稱為積稱為積分虛變量，避免了與分虛變量，避免了與變量混淆。變量混淆。KramersKrnig關系式KramersKrnig色散公式 描述了描述了在交變電場下復介電常數(shù)隨頻率的變化情況在交變電場下復介電常數(shù)隨頻率的變化情況，積分，積分式子是一個與式子是一個與有關的量，有關的量， 變化對復介電常數(shù)產生影響，變化對復介電常數(shù)產生影響，而這種影響是由交變電場下材料被極化（電容器被充電）時而這種影響是由交變電場下材料被極化（電容器被充電）時的吸收電流造成的的吸收電流造成的 材料的

40、極化不能完全跟上電場的變化，材料的極化不能完全跟上電場的變化，導致復介電常數(shù)的頻率相關性。導致復介電常數(shù)的頻率相關性。 d)(2)(022rrr d)(2)(022rrr35 德拜方程德拜方程 KramersKrnig KramersKrnig色散公式，雖然表明了復介電常數(shù)與頻率色散公式，雖然表明了復介電常數(shù)與頻率的相關性，但由于式中包含了未確定的衰減函數(shù)的相關性，但由于式中包含了未確定的衰減函數(shù)( (或稱弛豫函或稱弛豫函數(shù)數(shù)) (t) (t)，因此利用色散公式還不能具體計算并討論復介電因此利用色散公式還不能具體計算并討論復介電常數(shù)與頻率的關系常數(shù)與頻率的關系。 要解決這一問題，關鍵在于給出弛

41、豫函數(shù)的具體表達式要解決這一問題，關鍵在于給出弛豫函數(shù)的具體表達式德拜德拜(Debye) (Debye) 首先提出并建立了復介電常數(shù)與頻率的關系式首先提出并建立了復介電常數(shù)與頻率的關系式。對馳豫函數(shù)作簡化對馳豫函數(shù)作簡化 / te1) t (從吸收電流從吸收電流中推出中推出:0) t (i ,ta 又要求又要求因此提出的簡化是合理的因此提出的簡化是合理的合理性討論合理性討論=)1 (122 )1 (22 =)1(1)(C22 / te1) t ()1 ()( S22 0 xirrsrrdxe ) x ()()()(C)()(rrsrr )(S)()(rrsr 德拜方程是討論介質極化弛豫特性的重

42、要關系式，它為德拜方程是討論介質極化弛豫特性的重要關系式，它為計算與討論介電常數(shù)（計算與討論介電常數(shù)（r r）和損耗因子）和損耗因子( )( )以及介質損以及介質損耗角正切耗角正切(tg)(tg)的頻率關系奠定了基礎。的頻率關系奠定了基礎。r 德拜方程德拜方程(Debye equations) (Debye equations) i1)(rrsr*r22rrsrr11)()( 22rrsrrsrr)()()(tg 221)()( rrsr1.1.：松弛時間常數(shù)，是一個與時間無關但與溫度有關的常數(shù)。：松弛時間常數(shù)，是一個與時間無關但與溫度有關的常數(shù)。2.2.表示為：表示為：1n1n常數(shù)常數(shù)3.3

43、.隨溫度隨溫度T的變化呈指數(shù)規(guī)律變化。的變化呈指數(shù)規(guī)律變化。t t上升，上升，呈指數(shù)下降。呈指數(shù)下降。 因此，在討論德拜方程的性質時，必須注意到因此，在討論德拜方程的性質時，必須注意到r r與與r r的大的大小既與頻率小既與頻率有關，也與溫度有關，也與溫度T T有關，前者可從方程式中直接看出，有關，前者可從方程式中直接看出，而后者則隱含在介電常數(shù)和松弛時間與溫度有關的特性中而后者則隱含在介電常數(shù)和松弛時間與溫度有關的特性中. . 的含義的含義kTU （非常重要）（非常重要）本節(jié)將主要討論：本節(jié)將主要討論：（1 1）r r、r r與頻率的關系。與頻率的關系。 此時，假設此時，假設r r和和r r

44、都是溫度的已知函都是溫度的已知函數(shù)，且設數(shù)，且設也是已知的。也是已知的。（2 2）分別研究不同溫度時，）分別研究不同溫度時，r r、r r、tgtg與頻率的關系。與頻率的關系。（1） r rr時，頻率很高時，時，頻率很高時，相對介電常數(shù)可用光頻下相對介電常數(shù)表示，相對介電常數(shù)可用光頻下相對介電常數(shù)表示，這時這時慢極化對慢極化對 無貢獻無貢獻r rsr0 時，頻率很低時，時，頻率很低時，相對介電常數(shù)可用靜態(tài)相對介電常數(shù)表示，相對介電常數(shù)可用靜態(tài)相對介電常數(shù)表示，所有極所有極化都能跟上電場變化化都能跟上電場變化r r討論討論r r()()、r r()()以及以及tgtg與頻率的關系與頻率的關系系l

45、ogrs r22rrsrr11)()( （2） ， 頻率很高或很低時，損耗頻率很高或很低時，損耗 因子都很小因子都很小 在某個中間的時， 達到峰值 )(r 0)( r0)(0r ，)(r )(r 0)( r最大時，rm 11求極值：求極值：221)()( rrsr2rrsrm 時時， 1m2rrsr rrsrrstg221)()( rrsr0（3）tg tg 0 tg 求極值 0)tg( 22rrsrrsrr)()()(tg rrsrrsm2tg rrsm1rrs1mmm2 2 當溫度為當溫度為T2 2且且T2 2Tl l時，時，r r()()、r r()()以及以及tgtg與頻率的關系與頻率

46、的關系 (1)(1)T2 2時（時（T2T1)，r r 松弛時間松弛時間隨溫度的升高呈指數(shù)式減小，隨溫度的升高呈指數(shù)式減小， 同一頻率同一頻率下，下，r r值提高，但最大、最小值不變。值提高，但最大、最小值不變。r r曲線將向頻率增高的方向移動。（要保持曲線將向頻率增高的方向移動。（要保持r r不不變，變， )( )(某個頻率下的某個頻率下的r值有所提高）值有所提高） 系logrs 同理，如果溫度變成同理，如果溫度變成T3 3，且，且T3 3T2 2T1 1，根據(jù)同樣的理由，根據(jù)同樣的理由，T3 3時的時的r r曲線將落在更靠近高頻的一側。曲線將落在更靠近高頻的一側。22rrsrr11)()(

47、 (2)T2時，時，r和和tg與頻率的關系曲線同樣地將移向高頻與頻率的關系曲線同樣地將移向高頻方向方向，相應地，出現(xiàn)在，相應地，出現(xiàn)在r、tg最大值對應的頻率都分別移向最大值對應的頻率都分別移向高頻方向，高頻方向， m、 但它們的最大值但它們的最大值(r、tg)卻基本不變卻基本不變(見圖見圖39a、39b)。若溫度提高到若溫度提高到T3且且T 3T2T1，兩組曲線均分別地向高頻方向，兩組曲線均分別地向高頻方向移動。移動。 圖圖39(b) r與頻率與頻率的關系的關系1m rrsm1m 圖3(c) tg與頻率與頻率的關系的關系 rrsm136 電介質的弛豫機構與松弛時間電介質的弛豫機構與松弛時間（

48、略）（略）3.6.1 極性液體的德拜模型極性液體的德拜模型3.6.2 極性固體的德拜理論極性固體的德拜理論3.6.3 離子型固體介質的弛豫機構與松弛時間離子型固體介質的弛豫機構與松弛時間364 柯爾一柯爾圓弧率與松弛時間分布柯爾一柯爾圓弧率與松弛時間分布Cole-Cole圓弧率圓弧率22rrsrr11)()( 2rrs2r2rrsr)2()2( 22rrsr1)()( r光頻光頻頻率為頻率為02rrsrm 若以損耗若以損耗 作為縱軸，以相對介電常數(shù)作為縱軸，以相對介電常數(shù) 作為橫軸，作為橫軸， r r2rrs2r2rrsr)2()2( 以半徑以半徑2rrs 圓心圓心 2rrs （ ，0）rr

49、坐標軸坐標軸 2rrs rrs 圓弧上的每一點，對應于由德拜方程計算出的某一圓弧上的每一點，對應于由德拜方程計算出的某一頻率下的頻率下的r r和和r r值。值。重要的前提假設條件，即認為電介質只具有一個松重要的前提假設條件，即認為電介質只具有一個松弛時間值。弛時間值。 通過實驗方法，測出每一頻率通過實驗方法，測出每一頻率(2f)2f)下的下的r r和和r r值，然后連成圓弧，以此來校核德拜方值，然后連成圓弧，以此來校核德拜方程，一般地說，如果實驗得出半圓，就與德拜方程相程，一般地說，如果實驗得出半圓，就與德拜方程相吻合。松弛時間就只有吻合。松弛時間就只有個。個。但事實上，實驗結果常常但事實上，

50、實驗結果常常不是半圓而是一個圓弧不是半圓而是一個圓弧，這說明德拜方程與實際有偏離這說明德拜方程與實際有偏離多個松弛時間。多個松弛時間。圖34 幾種材料的 colecole圖冰在冰在55時，幾乎有時，幾乎有理想理想的德拜特性的德拜特性其他材料明顯其他材料明顯偏離偏離在假設具有單一松弛在假設具有單一松弛時間條件下導出的德拜方程時間條件下導出的德拜方程 圓心遠遠落在圓心遠遠落在r r軸之下，軸之下，在在r r軸以上僅顯示一條軸以上僅顯示一條圓弧圓弧。r r軸軸與與圓弧和圓弧和r r軸的交點到軸的交點到圓心的連線圓心的連線間的夾角間的夾角表示表示和德拜特性偏離的程度和德拜特性偏離的程度這個角張得越大，

51、則表示與德拜特性偏離越遠這個角張得越大，則表示與德拜特性偏離越遠。 37 介質損耗與溫度的關系介質損耗與溫度的關系 德拜方程式的重要意義：德拜方程式的重要意義：v給出了介電性能參數(shù)與頻率的關系給出了介電性能參數(shù)與頻率的關系已討論。已討論。v給出了介電性能參數(shù)與溫度的關系。給出了介電性能參數(shù)與溫度的關系。 r r、r r和和tgtg與溫度的關系與溫度的關系這些參數(shù)與溫這些參數(shù)與溫度的關系主要是由松弛時間度的關系主要是由松弛時間與溫度有關來體現(xiàn)的。與溫度有關來體現(xiàn)的。 T T 時，曲線向高頻方向移動。時，曲線向高頻方向移動。 這是由于這是由于T T ，為保持，為保持不變，不變， 需需 將溫度范圍劃

52、分為將溫度范圍劃分為低溫區(qū)與高溫區(qū)低溫區(qū)與高溫區(qū)，討論討論r r、r r、 tgtg與溫度的關系。與溫度的關系。 ererrNN 001)1( 獻獻，則則介介電電常常數(shù)數(shù)為為若若極極化化僅僅由由位位移移極極化化貢貢0rsrdN 22rrsrr11)()( 1222221()BTrsrBrsrTrrAB eTtgAB eT 另可得22rrsrr11)()( 可得下式：可得下式：)eB1(TAT/B2212rr 代入代入1.低溫區(qū)低溫區(qū) 由式由式(3124)(3124)可知，可知，qr r與溫度的關系主要決定于第二項中的分母與溫度的關系主要決定于第二項中的分母q當溫度變化時，當溫度變化時，e e2

53、B/2B/T對溫度的依賴性要比對溫度的依賴性要比T本身對溫度的依賴性本身對溫度的依賴性強烈。強烈。q在低溫區(qū)，在低溫區(qū)，r r隨溫度的變化主要取決于分母中的隨溫度的變化主要取決于分母中的e e2B/2B/T， 即即當溫度當溫度T升高時，升高時，r r隨之增大。隨之增大。)eB1(TAT/B2212rr r T分母中的第一項和第二項可以略去分母中的第一項和第二項可以略去 TB1rTB2212rTB1eTBAeBTeBAtg 1222221()BTrsrBrsrTrrABeTtgAB eT 主要取決于主要取決于 的變化的變化，T tgTBe TBe 隨溫度隨溫度T的升高，的升高， tg 值明顯增大

54、值明顯增大 tg T2 2 高溫區(qū)高溫區(qū) 溫度高時，松弛時間溫度高時，松弛時間明顯減小明顯減小( (見見3121)3121)，于是由式于是由式(3124)(3124)可知：可知：r r與溫度的關系主要決定于與溫度的關系主要決定于A/A/T，r r:T :T r r 即隨溫度即隨溫度T T的升高，差不多成反比地減小。的升高，差不多成反比地減小。 結論：結論： r在整個溫區(qū)內的變化趨勢在整個溫區(qū)內的變化趨勢在低溫區(qū)，在低溫區(qū)，r隨溫度隨溫度T的升高而增大的升高而增大；高溫區(qū)高溫區(qū)r隨溫度隨溫度T的升高成反比地減小。的升高成反比地減小。當當從低溫過渡到高溫時從低溫過渡到高溫時，r必經過一個極大值必經

55、過一個極大值按照極化理論不難理解，按照極化理論不難理解，r的極大值便是靜態(tài)相對介電常數(shù)的極大值便是靜態(tài)相對介電常數(shù)rsTArrs （3-123）其中其中rr差不多與溫度無關，故差不多與溫度無關，故rs與溫度的關系主要由與溫度的關系主要由A/A/T項決定，項決定， 畫出在一定頻率下整個溫度范圍內畫出在一定頻率下整個溫度范圍內r r與溫度與溫度T T的關系曲線，的關系曲線，見圖見圖318318。由圖中可以看出，當頻率變動，如頻率增高時，極大值將向高溫方由圖中可以看出，當頻率變動，如頻率增高時，極大值將向高溫方向移動，反之亦然。向移動，反之亦然。解釋：解釋：2 2 1 , 1 , r r不變，即保持

56、不變，即保持不變，要求不變，要求 T T 對對tgtg的溫度關系來說，在高溫區(qū)，在式的溫度關系來說，在高溫區(qū)，在式(3125)(3125)中的中的 項可能比項可能比 項小，如果將其略去，則該項小，如果將其略去，則該式可簡化為式可簡化為很明顯，很明顯，tgtg隨溫度的升高而減小。隨溫度的升高而減小。TTBrrTBrrsrrseBTAeBTAtg2212122)( 低溫區(qū)低溫區(qū)tgtg隨溫度升高而增大，隨溫度升高而增大，高溫區(qū)高溫區(qū) tgtg隨溫度的升高隨溫度的升高而減小。而減小。 推知在具有弛豫性質的介質損耗角正切與溫度的關系中將推知在具有弛豫性質的介質損耗角正切與溫度的關系中將出現(xiàn)出現(xiàn)最大值最

57、大值。 由由tgtg關系中，已求出在滿足關系中，已求出在滿足 的條件的條件下，下，tgtg具有極大值。具有極大值。 改寫為改寫為由此可見，當頻率一定時，在符合由上式表示的松弛時間由此可見，當頻率一定時，在符合由上式表示的松弛時間m m所所對應的溫度下，對應的溫度下，tgtg達到最大值。達到最大值。結論結論 rrsm1 rrsm1于是，在從低溫到高溫的整個溫度范圍內，于是，在從低溫到高溫的整個溫度范圍內，tgtg隨溫度變化的特性曲線如圖隨溫度變化的特性曲線如圖319319所示。所示。 若頻率提高若頻率提高(如由如由12)，tg達到最大值所對應達到最大值所對應的溫度亦相應提高，即移向高溫方向，的溫

58、度亦相應提高，即移向高溫方向，解釋：解釋： m 要求要求Tm ，才能保持，才能保持tg不變。不變。 r r與溫度的關系特性與與溫度的關系特性與tgtg與溫度的關系特性類似，與溫度的關系特性類似，當溫度一定時當溫度一定時，當頻率一定時當頻率一定時，在滿足，在滿足m m1/1/條件所對應的溫度下，條件所對應的溫度下，r r具有最大值。將這一條件與式具有最大值。將這一條件與式(3128)(3128)相比較，相比較，顯然可見，出現(xiàn)顯然可見，出現(xiàn)r r最大值對應的溫度將略最大值對應的溫度將略 ？于出現(xiàn)于出現(xiàn)tgtg最最大值所對應的溫度。大值所對應的溫度。為了便于比較，圖為了便于比較，圖320320中同時

59、畫出了中同時畫出了r r、r r與溫度的關系曲線。與溫度的關系曲線。最最大大時時 1m rrsm1高高 m m 要求要求T Tm m 才能保持才能保持 不變。不變。r rT變化后，使變化后，使 達到最大值，達到最大值， r r應為應為r2rrs 38計及漏電導時的介質損耗計及漏電導時的介質損耗 在導出在導出KramersKrnigKramersKrnig關系式及德拜方程式時，關系式及德拜方程式時，暫不計及漏導電流及其所引起的損耗。暫不計及漏導電流及其所引起的損耗。 但是，對于任何一個實際電介質，當受到外電場作但是，對于任何一個實際電介質，當受到外電場作用時所發(fā)生的物理過程用時所發(fā)生的物理過程

60、由弛豫機構導致的電流密度由弛豫機構導致的電流密度+ + 由漏電導機構導致的電流密度由漏電導機構導致的電流密度， 這樣在綜合了對電介質中電流密度各種貢獻以后，這樣在綜合了對電介質中電流密度各種貢獻以后，實際電介質中的電流矢量圖將如圖實際電介質中的電流矢量圖將如圖321321所示。所示。 由圖可見，電介質中產生損耗的有功電流密度計有如下兩個分量：由圖可見，電介質中產生損耗的有功電流密度計有如下兩個分量： jlp由弛豫過程產生的有功電流密度；由弛豫過程產生的有功電流密度； jlc由漏導引起的電流密度。由漏導引起的電流密度。 而不產生損耗的無功電流密度也有兩個分量，而不產生損耗的無功電流密度也有兩個分