吳孟達-數(shù)學建模中的創(chuàng)新案例

1、23解決問題是第一原則，最合適的方法是最解決問題是第一原則，最合適的方法是最好的方法。好的方法。創(chuàng)造性可以體現(xiàn)在建模的各個環(huán)節(jié)上，并創(chuàng)造性可以體現(xiàn)在建模的各個環(huán)節(jié)上，并且可以有多種表現(xiàn)形式。且可以有多種表現(xiàn)形式。 4好創(chuàng)意來自于對數(shù)學方法的掌握程度與好創(chuàng)意來自于對數(shù)學方法的掌握程度與對問題理解的透徹對問題理解的透徹程度。程度。從實際出發(fā)往往是創(chuàng)新的源泉。從實際出發(fā)往往是創(chuàng)新的源泉。 56761m inii. .(,)8ijiijjstdij 30oi816minmaxii 9minZ. .,2ijijijijijsti03 0i0003 010某廠生產(chǎn)一種彈子鎖具，每個鎖具的鑰匙有某廠生產(chǎn)一種

2、彈子鎖具，每個鎖具的鑰匙有5 5個槽，個槽，每個槽的高度從每個槽的高度從1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6這這6 6個數(shù)中任取一數(shù)。個數(shù)中任取一數(shù)。由于工藝及其它原因，制造鎖具時對由于工藝及其它原因，制造鎖具時對5 5個槽的高度還有兩個槽的高度還有兩個限制：至少有個限制：至少有3 3個不同的數(shù)；相鄰兩槽的高度之差不能個不同的數(shù)；相鄰兩槽的高度之差不能為為5 5。滿足以上條件的所有互不相同的鎖具稱為一批。滿足以上條件的所有互不相同的鎖具稱為一批。 從顧客的利益出發(fā)，自然希望在每批鎖具中從顧客的利益出發(fā)，自然希望在每批鎖具中“一把鑰一把鑰匙開一把鎖匙開一把鎖”。但是在當前工藝條件下，對

3、于同一批中兩。但是在當前工藝條件下，對于同一批中兩個鎖具是否能夠互開，有以下試驗結(jié)果：若二者相對應的個鎖具是否能夠互開，有以下試驗結(jié)果：若二者相對應的5 5個槽的高度中有個槽的高度中有4 4個相同，另一個槽的高度差為個相同，另一個槽的高度差為1 1，則可，則可能互開；在其他情況下，不可能互開。能互開；在其他情況下，不可能互開。11原來，銷售部門在一批鎖具中隨意地取每原來，銷售部門在一批鎖具中隨意地取每6060個裝一箱出個裝一箱出售。團體顧客往往購買幾箱到幾十箱，他們抱怨購得的鎖具售。團體顧客往往購買幾箱到幾十箱，他們抱怨購得的鎖具會出現(xiàn)互開的情形?，F(xiàn)聘你為顧問，回答并解決以下的問題：會出現(xiàn)互開

4、的情形。現(xiàn)聘你為顧問，回答并解決以下的問題：（1 1）每一批鎖具有多少個，裝多少箱。）每一批鎖具有多少個，裝多少箱。（2 2）為銷售部門提出一種方案，包括如何裝箱，如何給箱子以標）為銷售部門提出一種方案，包括如何裝箱，如何給箱子以標志，出售時如何利用這些標志，使團體顧客不再或減少抱怨。志，出售時如何利用這些標志，使團體顧客不再或減少抱怨。（3 3）采取你的方案，團體顧客的購買量不超過多少箱，就可以保）采取你的方案，團體顧客的購買量不超過多少箱，就可以保證一定不會出現(xiàn)互開的情形。證一定不會出現(xiàn)互開的情形。（4 4）按照原來的裝箱辦法，如何定量地衡量團體顧客抱怨互開的）按照原來的裝箱辦法，如何定量

5、地衡量團體顧客抱怨互開的程度（試對購買一、二箱者給出具體結(jié)果）。程度（試對購買一、二箱者給出具體結(jié)果）。 1213論文一（電子科大）論文一（電子科大） 一、問題的重述與分析一、問題的重述與分析 每個鎖具的鑰匙有每個鎖具的鑰匙有5 5個槽，令個槽，令hi為第為第i個槽的高度，用個槽的高度，用 12345( ,)h h h h h記一個鎖具，則一批鎖具應滿足如下條件：記一個鎖具，則一批鎖具應滿足如下條件： 條件條件1 1 1,2,3,4,5,6 ;ih 條件條件2 12345,h h h h h中至少有三個數(shù)不相同；中至少有三個數(shù)不相同； 條件條件3 14,2,3,4,5iih hi滿足以下條件的

6、兩個鎖具滿足以下條件的兩個鎖具 1234512345(,)(,)h hhhhhhhhh與可以互開，并把這兩個鎖具稱為一個可以互開，并把這兩個鎖具稱為一個互開對互開對： 521()1iiihh（*） 14 我們所關心的問題是：每一批鎖具共有多少個，如何衡量隨我們所關心的問題是：每一批鎖具共有多少個，如何衡量隨機裝箱造成的團體顧客的抱怨程度以及采取何種方案裝箱來盡量機裝箱造成的團體顧客的抱怨程度以及采取何種方案裝箱來盡量避免團體顧客的抱怨。避免團體顧客的抱怨。 二、模型假設二、模型假設1、鑰匙的每個槽的高度在生產(chǎn)過程中能夠嚴格控制；、鑰匙的每個槽的高度在生產(chǎn)過程中能夠嚴格控制；2、滿足條件（、滿足

7、條件（*）的兩個鎖具一定能夠互開。）的兩個鎖具一定能夠互開。三、模型建立與求解三、模型建立與求解1、確定一批鎖具的總數(shù)、確定一批鎖具的總數(shù) 一批鎖具的總數(shù)為一批鎖具的總數(shù)為7776 -（6+450+456+792+192）= 5880 個個裝箱總數(shù)為裝箱總數(shù)為 5880/60=98 箱箱 152、裝箱方案、裝箱方案 設槽高之和為設槽高之和為H，則，則 1234512345( ,)(,)h h h h hhhhhh與是互開對是互開對 1HH設設 12345( ,)h h h h h是一個鎖具，則是一個鎖具，則 12345(7,7,7,7,7)hhhhh也是一個鎖具，并且也是一個鎖具，并且 ih(

8、7)ih與鎖具，故所有鎖具分為兩部分：奇類與偶類，且數(shù)量相等，各占鎖具，故所有鎖具分為兩部分：奇類與偶類，且數(shù)量相等，各占一半。一半。 奇偶性恰好相反，稱為對偶奇偶性恰好相反，稱為對偶 分奇、偶類分別裝箱，一批鎖具中奇偶各裝分奇、偶類分別裝箱，一批鎖具中奇偶各裝49箱，作上標記，箱，作上標記，則只要團體顧客購買不超過則只要團體顧客購買不超過49箱，就可以保證不會出現(xiàn)互開現(xiàn)象。箱，就可以保證不會出現(xiàn)互開現(xiàn)象。 163、方案最優(yōu)性的證明、方案最優(yōu)性的證明 用計算機對互開對數(shù)進行窮舉計算得到在一批鎖具中互開對用計算機對互開對數(shù)進行窮舉計算得到在一批鎖具中互開對總數(shù)為總數(shù)為22778對。對。 用頂點表

9、示鎖具，用邊表示可互開，得到圖用頂點表示鎖具，用邊表示可互開，得到圖 0( ,)G V E ，其中其中 588022778VE，記記 V1=奇類鎖具，奇類鎖具，V2 =偶類鎖具，則偶類鎖具，則G0是是一個二分圖，一個二分圖，記作記作 012( ,).G V V E 要證明要證明49箱是最優(yōu)結(jié)果，等價于證明圖箱是最優(yōu)結(jié)果，等價于證明圖G0的最大點無關集含的最大點無關集含2990點，或等價于證明圖點，或等價于證明圖G0存在完美匹配。存在完美匹配。 引理引理1 二分圖二分圖 12( ,)G V V E含有覆蓋含有覆蓋V1的每個頂點的匹配的充要的每個頂點的匹配的充要條件是對任意條件是對任意 01VV有

10、有 00()1GNVV（）定理定理 二分圖二分圖 012(,)G V VE的的V1，V2是它的兩個最大點無關集。是它的兩個最大點無關集。 17證證 由奇類鎖具與偶類鎖具的對稱性可知由奇類鎖具與偶類鎖具的對稱性可知 012(,)GV VE滿足滿足 （1），即），即G0中含有覆蓋中含有覆蓋V1中每個頂點的匹配中每個頂點的匹配M，顯然，顯然M也覆蓋了也覆蓋了V2中的每個頂點，于是中的每個頂點，于是M是完美匹配，亦即是完美匹配，亦即G0的最大點無關集包的最大點無關集包含點數(shù)不可能超過含點數(shù)不可能超過2980，所以我們的銷售方案是最優(yōu)的。，所以我們的銷售方案是最優(yōu)的。 評注評注 證明有誤，例如右圖證明有

11、誤，例如右圖. .結(jié)論是正確的，已有計算機證明結(jié)論是正確的，已有計算機證明. .但尚未見到理論證明。但尚未見到理論證明。4. 定量分析顧客抱怨互開的程度定量分析顧客抱怨互開的程度(1) 對于隨機裝箱的方案對于隨機裝箱的方案 互開對總數(shù)為互開對總數(shù)為m = 22778對，平均每個鎖具與其它鎖具能組成對，平均每個鎖具與其它鎖具能組成的互開對數(shù)為的互開對數(shù)為 7.752940mE 對。對。 18 隨機裝箱時，某一個指定的鎖具與箱中的其余隨機裝箱時，某一個指定的鎖具與箱中的其余59個組成互開個組成互開對的平均數(shù)為對的平均數(shù)為 1597.750.0785879E （個）（個） 一箱中平均互開對數(shù)為一箱中

12、平均互開對數(shù)為 1160()2.332EE m（對）（對） 同理可知：同理可知：k箱鎖具中，能與某一個指定鎖具互開的鎖具個數(shù)平均為箱鎖具中，能與某一個指定鎖具互開的鎖具個數(shù)平均為 6015879kkEE（個）（個） 于是于是k箱中平均含有的互開對數(shù)為箱中平均含有的互開對數(shù)為 6022778()(601)2587998kkkEE mkk19顯然，顯然，E (mk)越大，顧客抱怨程度越大。越大，顧客抱怨程度越大。 k 1 2 49E (mk) 2.33 9.41 5693.5（2） 對于奇偶分類裝箱的方案對于奇偶分類裝箱的方案當購買量不超過當購買量不超過49箱時，不會抱怨。箱時，不會抱怨。 當購買

13、量超過當購買量超過49箱時，先從奇類中取出箱時，先從奇類中取出49箱，再從偶類中箱，再從偶類中任取出任取出k-49箱出售，平均互開對數(shù)為箱出售，平均互開對數(shù)為 2277849()60(49)22778294049kkE mk（對）（對） 故奇偶分類裝箱后團體顧客的抱怨程度減少了。故奇偶分類裝箱后團體顧客的抱怨程度減少了。模型評價：模型評價：（1）分析出色，結(jié)構(gòu)完整、嚴謹，較圓滿地解決題；分析出色，結(jié)構(gòu)完整、嚴謹，較圓滿地解決題；（2）轉(zhuǎn)化為圖論問題，轉(zhuǎn)化出色，但最優(yōu)性證明有誤；（）轉(zhuǎn)化為圖論問題，轉(zhuǎn)化出色，但最優(yōu)性證明有誤；（3）銷售）銷售方案不大符合實際；（方案不大符合實際；（4）抱怨程度的

14、分析不夠深入。）抱怨程度的分析不夠深入。20論文二（蘭州鐵道學院）論文二（蘭州鐵道學院） 較實際的一種銷售方案：序貫銷售。較實際的一種銷售方案：序貫銷售。裝箱分奇偶兩類，按槽高裝箱分奇偶兩類，按槽高H及字典序從小到大裝箱。及字典序從小到大裝箱。 H8： （11123）（）（11132）（）（11213）（）（11231）（）（11321） H9： （11124）（）（11142）（）（11214）（）（11223） 這樣，每一個鎖具在一批鎖具中的位置是唯一確定的。計算這樣，每一個鎖具在一批鎖具中的位置是唯一確定的。計算任一鎖具的最小可互開距離，再對所有最小距離求極小值，得到任一鎖具的最小可互開

15、距離，再對所有最小距離求極小值，得到計算結(jié)果為：計算結(jié)果為：2562. 2563/60=42.7 故序貫銷售時團體顧客最大購買量為故序貫銷售時團體顧客最大購買量為42箱時不會出現(xiàn)互開現(xiàn)象。箱時不會出現(xiàn)互開現(xiàn)象。 啟示：從實際背景出發(fā)，深入一步思考，尋找創(chuàng)新點。啟示：從實際背景出發(fā)，深入一步思考，尋找創(chuàng)新點。 21論文三（合肥工大）論文三（合肥工大） 顧客的抱怨程度一方面取決于購買的總數(shù)量，另一方面取決顧客的抱怨程度一方面取決于購買的總數(shù)量，另一方面取決于檢驗的結(jié)果，并且從心理學的角度考慮，顧客更偏重于檢驗結(jié)果。于檢驗的結(jié)果，并且從心理學的角度考慮，顧客更偏重于檢驗結(jié)果。 檢驗方法：從購買的檢驗

16、方法：從購買的T箱中取出箱中取出t箱，再從這箱，再從這t箱中每箱各取箱中每箱各取m把，把，對取出的對取出的tm把鎖具作完全互開試驗。把鎖具作完全互開試驗。 定義抱怨函數(shù)為：定義抱怨函數(shù)為： 21(,)nKnKC TeT其中，其中，K1 ： 表示購買箱數(shù)在整個抱怨程度中所占的比重；表示購買箱數(shù)在整個抱怨程度中所占的比重； K2 ： 表示檢驗結(jié)果在整個抱怨程度中所占的比重；表示檢驗結(jié)果在整個抱怨程度中所占的比重； n ： 顧客檢驗到有顧客檢驗到有n次互開的比率次互開的比率21 0 0 %ntmnC22對購買一箱，對購買一箱，m10的情形進行具體分析的情形進行具體分析 。210100%nnC如果如果

17、 為確定參數(shù)為確定參數(shù)K1，K2，認為：，認為： 122,TT(1)(2),nn則則 (1)(2)122 ( ,)(,)nnC TC T所以所以 11K 當互開率達到當互開率達到 2106215C時，抱怨達到極值，設為時，抱怨達到極值，設為100. 所以所以 215ln1002K 所以，所以， 15ln10021(,)nnC TeT23以下就購買以下就購買1、2箱情形作具體分析。箱情形作具體分析。用計算機進行用計算機進行1000次模擬檢驗，得互開次數(shù)統(tǒng)計結(jié)果為：次模擬檢驗，得互開次數(shù)統(tǒng)計結(jié)果為： 互開次數(shù)互開次數(shù)n 0 1 2 3 4 5 6 7 概率概率Pn（%） 13.7 26.9 28.

18、6 17.9 8.7 2.9 0.9 0 購買一、二箱的平均互開率為（每箱抽樣購買一、二箱的平均互開率為（每箱抽樣10把）：把）： 6110.04nnnP6210.01nnnP故購買一、二箱的平均抱怨程度分別為：故購買一、二箱的平均抱怨程度分別為： 1(1,)3.98C2(2,)0.71C即購買一箱的團體顧客抱怨程度更大。即購買一箱的團體顧客抱怨程度更大。啟示：從實際出發(fā)，察人所未察，見人所未見。啟示：從實際出發(fā)，察人所未察，見人所未見。24論文論文四四（中國科大）中國科大） 抱怨程度與互開的鎖具對數(shù)抱怨程度與互開的鎖具對數(shù)x，能夠被其它鎖具打開的鎖具個，能夠被其它鎖具打開的鎖具個數(shù)數(shù)y以及必

19、須報廢的鎖具的最小數(shù)目以及必須報廢的鎖具的最小數(shù)目有關。例如，有兩對互開，有關。例如，有兩對互開，可以有兩種情形：可以有兩種情形： 它們分別對應它們分別對應x2，y4以及以及x2，y3. 另外，在一箱鎖具中，出現(xiàn)一個鎖具被至少三個其它鎖具打另外，在一箱鎖具中，出現(xiàn)一個鎖具被至少三個其它鎖具打開的概率開的概率p0充分小，證明如下：充分小，證明如下： 設一個給定鎖具被至少三個其它設一個給定鎖具被至少三個其它鎖具打開的概率為鎖具打開的概率為p1，則，則 13587959max: 4100.0001587959kikkiipk 25所以，所以， 01600.006pp故故p0可以忽略，只考慮一箱中每一

20、個鎖具至多與兩個鎖具可以互可以忽略，只考慮一箱中每一個鎖具至多與兩個鎖具可以互開的情形，定義抱怨函數(shù)為：開的情形，定義抱怨函數(shù)為： 2xy則一箱：則一箱： (2)9.09Exy二箱：二箱： (2)36.19Exy啟示：精巧，于細微處見功力。啟示：精巧，于細微處見功力。 1x2x3x4x5x6x表一：表一：10年降水量信息年降水量信息x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 x11x121981276.2324.5158.6412.5292.8258.4334.1303.2292.9243.2159.7331.21982251.6287.3349.5297.4227.8453.6321.545

21、1.0466.2307.5421.1455.11983192.7438.2289.9366.3466.2239.1357.4219.7245.7411.1357.0353.21984246.2232.4243.7372.5460.4158.9298.7314.5256.6327.0296.5423.01985291.7311.0502.4254.0245.6324.8401.0266.5251.3289.9255.4362.11986466.5158.9223.5425.1251.4321.0315.4317.4246.2227.5304.2410.71987258.6327.4432.140

22、3.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.61988453.4365.5357.6258.1278.8467.2355.2228.4453.6315.6456.3407.21989158.5271.0410.2344.2250.0360.7376.4179.4159.2342.4331.2377.71990324.8406.5235.7288.8192.6284.9290.5343.7283.4281.2243.7411.1首先考慮各站10年降水向量之間的相關性，計算相關矩陣，根據(jù)相關系數(shù)大小將12個變量分為三類：強相關變量：x3 ,x7 (3,7 =

23、 0.81)； 中度相關變量： x4 , x6 , x8 , x10 , x11 , x12 (0.4 i,j 0.7)； 輕度相關變量：其他變量。顯然，強相關及中度相關變量應優(yōu)先考慮刪除。其次考慮標準差。對于標準差較大的站，其個性其次考慮標準差。對于標準差較大的站，其個性特征就越明顯，因而包含的信息量就越大。在同等條特征就越明顯，因而包含的信息量就越大。在同等條件下，可優(yōu)先考慮刪除標準差較小的站。件下，可優(yōu)先考慮刪除標準差較小的站。表二：各站年降水量標準差表二：各站年降水量標準差xx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 x11x12x95.176.8102.760.789.389.436.180.7103.854.382.134.9綜合以上兩項指標，可以考慮刪除的站有：綜合以上兩項指標，可以考慮刪除的站有： D = x4 , x6 , x7 , x8 , x10 , x11 , x12 在在中任取中任取個變量（個變量（r = 3,4,7）作為擬刪除變量）作為擬刪除變量的組合，這樣的組合共有的組合，這樣的組合共有99種。對每一種組合作關于種。對每一種組合作關于其余變量的線性擬合，根據(jù)剩余方差最小并且